第1頁（共1頁）2023年湖南省衡陽市中考數學試卷一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）（2023?岳陽）中國是最早采用正負數表示相反意義的量、并進行負數運算的國家，若收入500元記作+500元，則支出237元記作（）A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474元2．（3分）（2023?岳陽）下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm3．（3分）（2023?岳陽）下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（3分）（2023?岳陽）作為中國非物質文化遺產之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，其左視圖的大致形狀是（）A． B． C． D．5．（3分）（2023?岳陽）計算（12x3）2A．x6 B．14x6 C．14x5 D．6．（3分）（2023?岳陽）據共青團中央2023年5月3日發布的中國共青團團內統計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．數據7358萬用科學記數法表示為（）A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×1067．（3分）（2023?岳陽）對于二次根式的乘法運算，一般地，有a?b=A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0 D．a≥0，b≥08．（3分）（2023?岳陽）如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C9．（3分）（2023?岳陽）《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞免同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞免各幾何．”設有x只雞，y只兔，依題意，可列方程組為（）A．x+y=354x+2y=94 B．x+y=94C．x+y=352x+4y=94 D．10．（3分）（2023?岳陽）某射擊運動隊進行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如下表．甲、乙兩名選手成績的方差分別記為S甲2和S乙2．則S甲2和S乙2的大小關系是（）測試次數12345甲510938乙86867A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．無法確定11．（3分）（2023?岳陽）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°”．假設三角形沒有一個內角小于或等于60°，即三個內角都大于60°．”，則三角形的三個內角的和大于180°．這與“三角形的內角和等于180°”這個定理矛盾，所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°．上述推理使用的證明方法是（）A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法12．（3分）（2023?岳陽）已知m＞n＞0，若關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜xx＜x1＜x2二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13．（3分）（2023?岳陽）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，﹣2）所在象限是第象限．14．（3分）（2023?岳陽）一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區別．布袋中的球已經攪勻，從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是．15．（3分）（2023?岳陽）已知x＝5，則代數式3x?4?2416．（3分）（2023?岳陽）已知關于x的方程x2+mx﹣20＝0的一個根是﹣4，則它的另一個根是．17．（3分）（2023?岳陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以點C為圓心，r為半徑作圓，當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，r的值為．18．（3分）（2023?岳陽）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環排列，共需要正五邊形的個數是．三、解答題（本大題共8個小題，19～20題每題6分，21～24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分，解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．）19．（6分）（2023?岳陽）計算：|﹣3|+420．（6分）（2023?岳陽）解不等式組：x?4≤0①2(x+1)＜3x②21．（8分）（2023?岳陽）2023年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日，為提高學生安全防范意識和自我防護能力，某學校舉行了校園安全知識競賽活動．現從八、九年級中各隨機抽取15名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優秀，共分成四組，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并給出下面部分信息：八年級抽取的學生競賽成績在C組中的數據為：84，84，88九年級抽取的學生競賽成績為：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學生競賽成績統計表年級平均數中位數眾數優秀率八87a9860%九8786bc根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數．22．（8分）（2023?岳陽）如圖，正比例函數y=43x的圖象與反比例函數y=12x（（1）求點A的坐標．（2）分別以點O、A為圓心，大于OA一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線BC，交x軸于點D．求線段OD的長．23．（8分）（2023?岳陽）隨著科技的發展，無人機已廣泛應用于生產生活，如代替人們在高空測量距離和高度，圓圓要測量教學樓AB的高度，借助無人機設計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學樓底部243米的C處，遙控無人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學樓AB的頂部B處的俯角為30°，CD長為49.6米．已知目高CE為1.6米．（1）求教學樓AB的高度．（2）若無人機保持現有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度繼續向前勻速飛行．求經過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線EB．24．（8分）（2023?岳陽）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F，交⊙O于點H，DB交AC于點G．（1）求證：AF＝DF．（2）若AF=52，sin∠ABD=5525．（10分）（2023?岳陽）[問題探究]（1）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．在線段AO上任取一點P（端點除外），連接PD、PB．①求證：PD＝PB；②將線段DP繞點P逆時針旋轉，使點D落在BA的延長線上的點Q處．當點P在線段AO上的位置發生變化時，∠DPQ的大小是否發生變化？請說明理由；③探究AQ與OP的數量關系，并說明理由．[遷移探究]（2）如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他條件不變．試探究AQ與CP的數量關系，并說明理由．26．（12分）（2023?岳陽）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，連接AC，過B、C兩點作直線．（1）求a的值．（2）將直線BC向下平移m（m＞0）個單位長度，交拋物線于B′、C′兩點．在直線B′C′上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線B′C′的距離最大．若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，請求出直線BP的解析式；若不存在，請說明理由．

2023年湖南省衡陽市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）（2023?岳陽）中國是最早采用正負數表示相反意義的量、并進行負數運算的國家，若收入500元記作+500元，則支出237元記作（）A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474元【分析】根據正數和負數表示相反意義的量，收入記為正，可得支出表示方法．【解答】解：收入500元記作+500元，則支出237元應記作﹣237元，故選：B．【點評】本題考查了正數和負數，相反意義的量用正數和負數表示．2．（3分）（2023?岳陽）下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm【分析】根據兩邊之和大于第三邊判斷即可．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴長度為1cm，2cm，3cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；B、∵3+5＝8，∴長度為3cm，8cm，5cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；C、∵4+5＜10，∴長度為4cm，5cm，10cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；D、∵4+5＞6，∴長度為4cm，5cm，6cm的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是三角形的三邊關系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵．3．（3分）（2023?岳陽）下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A、B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．4．（3分）（2023?岳陽）作為中國非物質文化遺產之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，其左視圖的大致形狀是（）A． B． C． D．【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【解答】解：從左邊看，紫砂壺的壺嘴在正中間，只有選項B符合題意．故選：B．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．5．（3分）（2023?岳陽）計算（12x3）2A．x6 B．14x6 C．14x5 D．【分析】根據積的乘方和冪的乘方計算方法進行計算即可．【解答】解：原式=(12)2×(x故選：B．【點評】本題主要考查積的乘方和冪的乘方的計算方法，是必考的知識點，一定要熟練掌握，并能靈活運用．6．（3分）（2023?岳陽）據共青團中央2023年5月3日發布的中國共青團團內統計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．數據7358萬用科學記數法表示為（）A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×106【分析】利用科學記數法的法則解答即可．【解答】解：7358萬＝73580000＝7.358×107，故選：A．【點評】本題主要考查了科學記數法，表示較大的數，熟練掌握科學記數法的法則是解題的關鍵．7．（3分）（2023?岳陽）對于二次根式的乘法運算，一般地，有a?b=A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0 D．a≥0，b≥0【分析】根據二次根式的乘法法則，即可解答．【解答】解：對于二次根式的乘法運算，一般地，有a?b=ab．該運算法則成立的條件是a≥0，故選：D．【點評】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關鍵．8．（3分）（2023?岳陽）如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C【分析】由平行四邊形的判定方法，即可判斷．【解答】解：A、因為AD∥BC，AD＝BC，因此由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故A不符合題意；B、因為AD∥BC，AB∥DC，因此由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故B不符合題意；C、AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故C符合題意；D、因為AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查平行四邊形的判定，關鍵是掌握平行四邊形的判定方法．9．（3分）（2023?岳陽）《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞免同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞免各幾何．”設有x只雞，y只兔，依題意，可列方程組為（）A．x+y=354x+2y=94 B．x+y=94C．x+y=352x+4y=94 D．【分析】根據今有雞免同籠，上有三十五頭，可以得到x+y＝35，再根據下有九十四足，可以得到2x+4y＝94，然后即可得到相應的方程組．【解答】解：由題意可得，x+y=352x+4y=94故選：C．【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．10．（3分）（2023?岳陽）某射擊運動隊進行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如下表．甲、乙兩名選手成績的方差分別記為S甲2和S乙2．則S甲2和S乙2的大小關系是（）測試次數12345甲510938乙86867A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．無法確定【分析】直接根據圖表數據的波動大小進行判斷即可．【解答】解：圖表數據可知，甲數據在3至10之間波動，偏離平均數數據較大；乙數據在6至8之間波動，偏離平均數數據較小；即甲的波動性較大，即方差大，∴S甲2＞S乙2，故選：A．【點評】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．11．（3分）（2023?岳陽）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°”．假設三角形沒有一個內角小于或等于60°，即三個內角都大于60°．”，則三角形的三個內角的和大于180°．這與“三角形的內角和等于180°”這個定理矛盾，所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°．上述推理使用的證明方法是（）A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法【分析】根據反證法證明命題的方法判斷．【解答】解：證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°”．假設三角形沒有一個內角小于或等于60°，即三個內角都大于60°．”，則三角形的三個內角的和大于180°．這與“三角形的內角和等于180°”這個定理矛盾，所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°，這種證明方法是反證法，故選：A．【點評】本題考查的是反證法，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確．12．（3分）（2023?岳陽）已知m＞n＞0，若關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜xx＜x1＜x2【分析】畫出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據一元二次方程與二次函數的關系的關系，觀察圖象可得答案．【解答】解：關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點的橫坐標，關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點的橫坐標，如圖：由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，故選：B．【點評】本題考查一元二次方程與二次函數的關系，解題的關鍵是畫出圖象，數形結合解決問題．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13．（3分）（2023?岳陽）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，﹣2）所在象限是第三象限．【分析】根據第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案．【解答】解：點P（﹣3，﹣2）在第三象限，故答案為：三．【點評】此題主要考查了點的坐標，關鍵是掌握四個象限內點的坐標符號．14．（3分）（2023?岳陽）一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區別．布袋中的球已經攪勻，從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是14【分析】根據一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，可以計算出從布袋中任取1個球，取出紅球的概率．【解答】解：∵一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，∴從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是33+9故答案為：14【點評】本題考查概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的概率．15．（3分）（2023?岳陽）已知x＝5，則代數式3x?4?24x2【分析】根據分式的減法法則把原式化簡，把x的值代入計算即可．【解答】解：原式==3x?12=3(x?4)=3當x＝5時，原式=3故答案為：13【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的減法法則是解題的關鍵．16．（3分）（2023?岳陽）已知關于x的方程x2+mx﹣20＝0的一個根是﹣4，則它的另一個根是5．【分析】設方程的另一個解為t，則利用根與系數的關系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可．【解答】解：設方程的另一個解為t，根據根與系數的關系得﹣4t＝﹣20，解得t＝5，即方程的另一個根為5．故答案為：5．【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2=?ba，x1x217．（3分）（2023?岳陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以點C為圓心，r為半徑作圓，當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，r的值為245【分析】設⊙C與AB所在的直線相切，切點為點D，連接CD，根據切線的性質得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB=AC2+BC2=10，則12AB?CD=12AC?BC＝S△AOB，所以【解答】解：設⊙C與AB所在的直線相切，切點為點D，連接CD，∵CD是⊙C的半徑，AB與⊙C相切于點D，∴AB⊥CD，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=A∵12AB?CD=12AC?BC＝S∴12×10CD解得CD=24∴r＝CD=24故答案為：245【點評】此題重點考查切線的性質、勾股定理、根據面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．18．（3分）（2023?岳陽）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環排列，共需要正五邊形的個數是10．【分析】先求出多邊形的每一個內角為108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【解答】解：∵多邊形是正五邊形，∴正五邊形的每一個內角為：15∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五邊形的個數是360°÷36°＝10．故答案為：10．【點評】本題主要考查正多邊形與圓，多邊形內角和問題，熟練掌握相關知識點是解題關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，19～20題每題6分，21～24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分，解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．）19．（6分）（2023?岳陽）計算：|﹣3|+4【分析】利用絕對值的意義，算術平方根的意義和有理數的乘法法則化簡運算即可．【解答】解：原式＝3+2+（﹣2）＝3+2﹣2＝3．【點評】本題主要考查了實數的運算，絕對值的意義，算術平方根的意義和有理數的乘法法則，熟練掌握上述法則與性質是解題的關鍵．20．（6分）（2023?岳陽）解不等式組：x?4≤0①2(x+1)＜3x②【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【解答】解：x?4≤0①2(x+1)＜3x②解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x＞2，∴原不等式組的解集為：2＜x≤4．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．21．（8分）（2023?岳陽）2023年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日，為提高學生安全防范意識和自我防護能力，某學校舉行了校園安全知識競賽活動．現從八、九年級中各隨機抽取15名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優秀，共分成四組，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并給出下面部分信息：八年級抽取的學生競賽成績在C組中的數據為：84，84，88九年級抽取的學生競賽成績為：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學生競賽成績統計表年級平均數中位數眾數優秀率八87a9860%九8786bc根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝84，b＝100，c＝80%；（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數．【分析】（1）根據中位數、眾數的意義，分別求出八年級的中位數，和九年級的眾數；（2）利用樣本估計總體即可．【解答】解：（1）八年級的競賽成績從小到大排列后，處在中間位置的一個數是84，因此中位數是84，即a＝84；九年級的競賽成績出現次數最多的是100，共出現3次，因此眾數是100，即b＝100；九年級的競賽成績中80分及以上的共有12人，因此優秀率為1215×100%＝80%，即故答案為：84，100，80%；（2）500×6+6答：估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數約200人．【點評】本題考查了方差、平均數、中位數、眾數的意義和計算方法，掌握各個統計量的計算方法是正確計算的前提．22．（8分）（2023?岳陽）如圖，正比例函數y=43x的圖象與反比例函數y=12x（（1）求點A的坐標．（2）分別以點O、A為圓心，大于OA一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線BC，交x軸于點D．求線段OD的長．【分析】（1）將正比例函數與反比例函數的解析式聯立，組成方程組，解方程組即可求出點A的坐標；（2）設點D的坐標為（x，0）．根據線段垂直平分線的性質得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．【解答】解：（1）解方程組y=43x得x=3y=4∴點A的坐標為（3，4）；（2）設點D的坐標為（x，0）．由題意可知，BC是OA的垂直平分線，∴AD＝OD，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x=25∴D（256，0），OD=【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了線段垂直平分線的性質．23．（8分）（2023?岳陽）隨著科技的發展，無人機已廣泛應用于生產生活，如代替人們在高空測量距離和高度，圓圓要測量教學樓AB的高度，借助無人機設計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學樓底部243米的C處，遙控無人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學樓AB的頂部B處的俯角為30°，CD長為49.6米．已知目高CE為1.6米．（1）求教學樓AB的高度．（2）若無人機保持現有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度繼續向前勻速飛行．求經過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線EB．【分析】（1）過點B作BM⊥CD于點M，則∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，通過解直角三角形可得出BM的長度，再結合AB＝CM＝CD﹣DM，即可求出結論；（2）延長EB交DN于點G，則∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，利用銳角三角函數的定義求出∠MBE＝30°，從而可得∠DEG＝60°，然后在Rt△EDG中，利用銳角三角函數的定義求出DG的長，最后進行計算即可解答．【解答】解：（1）過點B作BM⊥CD于點M，則∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，BM＝AC＝243米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM?tan∠DBM＝243×∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．答：教學樓AB的高度為25.6米；（2）延長EB交DN于點G，則∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝243米，EM＝CM﹣CE＝24米，∴tan∠MBE=EM∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝90°＝30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CE﹣CE＝48米，∴DG＝ED?tan60°＝483（米），∴483÷43∴經過12秒時，無人機剛好離開了小明的視線．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．24．（8分）（2023?岳陽）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F，交⊙O于點H，DB交AC于點G．（1）求證：AF＝DF．（2）若AF=52，sin∠ABD=55【分析】（1）由D是弧AC的中點，得出AD=CD，再由垂徑定理得出AD=AH，根據等弧所對圓周角相等得出∠（2）證明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE=12，設AE＝x，根據勾股定理求出【解答】（1）證明：∵D是弧AC的中點，∴AD=∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直徑，∴AD=∴CD=∴∠ADH＝∠CAD，∴AF＝DF．（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠B＝90°，∵∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠B，∴sin∠ADE=5∴tan∠ADE=1設AE＝x，則DE＝2x，∵DF＝AF=5∴EF＝2x?5∵AE2+EF2＝AF2，∴x＝2，∴AD=AEsin∠ADE=∴AB=AD∴AB＝10，∴⊙O的半徑為5．【點評】本題考查了圓的相關性質的應用，解直角三角形、勾股定理的計算是解題關鍵．25．（10分）（2023?岳陽）[問題探究]（1）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．在線段AO上任取一點P（端點除外），連接PD、PB．①求證：PD＝PB；②將線段DP繞點P逆時針旋轉，使點D落在BA的延長線上的點Q處．當點P在線段AO上的位置發生變化時，∠DPQ的大小是否發生變化？請說明理由；③探究AQ與OP的數量關系，并說明理由．[遷移探究]（2）如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他條件不變．試探究AQ與CP的數量關系，并說明理由．【分析】（1）①根據正方形的性質證明△DCP≌△BCP，即可得到結論；②作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點M、N，如圖，可得PM＝PN，證明四邊形AMPN是矩形，推出∠MPN＝90°，證明Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），得出∠DPN＝∠QPM，進而可得結論；③作PE⊥AO交AB于點E，作EF⊥OB于點F，如圖，證明AQ＝BE，BE=2EF（2）先證明PQ＝PB，作PE∥BC交AB于點E，EG∥AC交BC于點G，如圖，則四邊形PEGC是平行四邊形，可得EG＝PC，△APE，△BEG都是等邊三角形，進一步即可證得結論．【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP，∴PD＝PB；②解：∠DPQ的大小不發生變化，∠DPQ＝90°；理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點M、N，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，∴四邊形AMPN是矩形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°∵PD＝PQ，PM＝PN，∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），∴∠DPN＝∠QPM，∴∠QPN+∠QPM＝90°∴∠QPN+∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°；③解：AQ=2OP理由：作PE⊥AO交AB于點E，作EF⊥OB于點F，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠AEP＝45°，四邊形OPEF是矩形，∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，∴PA＝PE，∵PD＝PB，PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PM⊥AE于點M，則QM＝BM，AM＝EM，∴AQ＝BE，∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，∴BE=EFsin45°∴AQ=2OP（2）解：AQ＝CP；理由：四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∴△ABC是等邊三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC＝60°，PD＝PB，∵PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PE∥BC交AB于點E，EG∥AC交BC于點G，如圖，則四邊形PEGC是平行四邊形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等邊三角形，∴BE＝EG＝PC，作PM⊥AB于點M，則QM＝MB，AM＝EM，∴QA＝BE，∴AQ＝CP．【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形的性質，矩形、平行四邊形、等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質以及解直角三角形等知識，熟練掌握相關圖形的判定和性質、正確添加輔助線是解題的關鍵．26．（12分）（2023?岳陽）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，連接AC，過B、C兩點作直線．（1）求a的值．（2）將直線BC向下平移m（m＞0）個單位長度，交拋物線于B′、C′兩點．在直線B′C′上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線B′C′的距離最大．若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點P，使∠PBC+∠ACO＝