培優拓展雙變量問題的轉化在解決函數與導數綜合題時,我們經常會遇到在某個范圍內都可以任意變動的雙變量問題,由于兩個變量都在變動,因此不知把哪個變量當成自變量進行函數研究,從而無法展開思路,造成無從下手的感覺,正因為如此,這樣的問題往往穿插在高考試卷壓軸題的某些步驟之中,是考生感到困惑的難點問題之一,這時針對不同的題設條件給出處理雙變量問題的相應策略,希望給同學們以幫助和啟發.一、等價轉化為函數的最值或值域問題規律方法雙變量存在性或任意性問題的基本類型與“等價轉化”策略存在性或任意性問題的基本類型等價轉化成的問題對?x1∈A,都?x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立f(x)的值域是g(x)的值域的子集?x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立f(x)的值域和g(x)的值域的交集不為空集對?x1∈A及x2∈B,都有f(x1)<g(x2)成立[f(x)]max<[g(x)]min?x1∈A及x2∈B,使f(x1)<g(x2)成立[f(x)]min<[g(x)]max對?x1∈A,都?x2∈B,使得f(x1)<g(x2)成立[f(x)]max<[g(x)]max對點訓練1已知函數f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2-40x.(1)對任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求實數c的取值范圍;(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求實數c的取值范圍;(3)對任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求實數c的取值范圍.解

令k(x)=f(x)-g(x)=-2x3+3x2+12x-c,x∈[-3,3],k'(x)=-6x2+6x+12=0,得x1=-1,x2=2.x[-3,-1)-1(-1,2)2(2,3]k'(x)-0+0-k(x)↘極小值↗0↘k(-3)=45-c,k(3)=9-c,k(-1)=-7-c,k(2)=20-c,∴最大值為45-c,最小值為-7-c,(1)∵對任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,∴45-c≤0,即c≥45.(2)∵存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,∴-7-c≤0,即c≥-7.(3)f(x)=7x2-28x-c=7(x-2)2-28-c,x∈[-3,3],即有f(x)的最大值為f(-3)=147-c,g(x)=2x3+4x2-40x.g'(x)=6x2+8x-40,x∈[-3,3],可得g(x)在(-3,2)上單調遞減,在(2,3)上單調遞增,得出g(x)的最小值為g(2)=-48,∵對任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),∴147-c≤-48,即有c≥195.二、尋找兩變量的關系轉化為單變量函數問題3-5ln2規律方法求二元函數的最小值或證明二元的某種關系,通過二元之間的關系或二元之間的函數的關系,運用轉化的思想進行消元,化歸為熟悉的一元問題,再通過研究一元問題使原問題得到解決.對點訓練2(2023江西贛州二模)已知函數f(x)=x2-3x+lnx.(1)求函數f(x)的極值;(2)對于任意的x1,x2∈[1,2],當x1<x2時,不等式x1x2[f(x1)-f(x2)]-m(x1-x2)>0恒成立,求實數m的取值范圍.三、從雙變量問題等價變換中構造函數求解規律方法若題設條件中含有一個雙變量的恒等式,通過對該恒等式進行等價變形,使恒等式兩邊的兩個變量對應的代數式結構相同,就可以構造出一個函數,從而利用此函數求解得出結論.對點訓練3四、利用換元法將兩個變量轉換成一個變量例4(2023四川樂山二模)已知函數f(x)=aex-x2有兩個極值點x1,x2.(1)求a的取值范圍;(2)若x2≥3x1時,不等式x1+λx2≥2x1x2恒成立,求λ的最小值