第8招求二次函數解析式的九種方法九年級數學（上）極速提分法已知二次函數圖象的頂點坐標為(1，－3)，且過點P(2，0)，求這個二次函數的解析式．

例解題方法：用待定系數法，結合已知條件設出頂點式，再將點P的坐標代入求解．解：∵二次函數圖象的頂點坐標為(1，－3)，∴可設這個二次函數的解析式為y＝a(x－1)2－3.又∵函數圖象過點P(2，0)，∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3.∴這個二次函數的解析式為y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.方法1利用一般式求二次函數解析式1.(1)求拋物線的解析式；(2)連接AB，AC，BC，求△ABC的面積．2.已知拋物線C：y1＝－x2＋mx＋n，直線l：y2＝kx＋b，拋物線C的對稱軸與直線l交于點A(－1，5)，點A與拋物線C的頂點B的距離是4.方法2利用頂點式求二次函數解析式(1)求拋物線C的解析式；解：∵拋物線C：y1＝－x2＋mx＋n的對稱軸與直線l：y2＝kx＋b交于點A(－1，5)，點A與拋物線C的頂點B的距離是4，∴B(－1，1)或(－1，9)，∴y1＝－(x＋1)2＋1或y1＝－(x＋1)2＋9，即拋物線C的解析式為y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8.(2)若y2隨著x的增大而增大，且拋物線C與直線l都經過x軸上的同一點，求直線l的解析式．【點方法】根據題目條件，易得拋物線C的頂點B的坐標，然后利用頂點式求其解析式．3.如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點A(－1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C，連接BC交拋物線的對稱軸于點E，D是拋物線的頂點．方法3利用交點式求二次函數解析式(1)求此拋物線的解析式；解：由拋物線y＝－x2＋bx＋c過點A(－1，0)和點B(3，0)，可知拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－3)，即y＝－x2＋2x＋3.(2)直接寫出點C和點D的坐標；解：C(0，3)，D(1，4)．(3)若點P在第一象限內的拋物線上，且S△ABP＝4S△COE，求P點的坐標．【點方法】當遇到拋物線與x軸交于某兩個點求拋物線解析式的問題時，設交點式可簡便運算．方法4利用平移法求二次函數解析式4.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2＋4x－3圖象的頂點是A，與x軸交于B，C兩點，與y軸交于點D，點B的坐標是(1，0)．

(1)求A，C兩點的坐標，并根據圖象直接寫出當y＞0時x的取值范圍；解：把點B(1，0)的坐標代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∴A(2，1)，拋物線的對稱軸為直線x＝2.易知B，C關于直線x＝2對稱，∴C(3，0)．當y＞0時，1＜x＜3.(2)平移該二次函數的圖象，使點D恰好落在點A的位置上，求平移后圖象所對應的二次函數的解析式．解：易知點D的坐標為(0，－3)，∴要使點D恰好落在點A的位置上，則拋物線就要向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，可得平移后圖象所對應的二次函數的解析式為y＝－(x－4)2＋5.5.如圖，拋物線y＝ax2＋bx過點B(1，－3)，對稱軸是直線x＝2，且拋物線與x軸的正半軸交于點A.方法5利用對稱軸求二次函數解析式(1)求拋物線的解析式，并根據圖象直接寫出當y≤0時，自變量x的取值范圍；(2)在第二象限內的拋物線上有一點P，當PA⊥BA時，求△PAB的面積．解：如圖，過P點作PF⊥x軸于點F，過B點作BE⊥x軸于點E，由點P在拋物線上，可設P點的坐標為(t，t2－4t)，易知PF＝t2－4t，F(t，0)，E(1，0)，A(4，0)，BE＝3，∴AE＝3，AF＝4－t，∴△ABE為等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°.6.【2023·南充】如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發現，噴頭高方法6利用圖象中的信息求二次函數解析式2.5m時，水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時，水柱落點距O點3m，那么噴頭高________m時，水柱落點距O點4m.8【點撥】以O為原點，水平線為x軸，建立直角坐標系．由題意知，調整噴頭高度，水柱的形狀不發生變化，當噴頭高2.5m時，設y＝ax2＋bx＋2.5，將點(2.5，0)的坐標代入得2.5a＋b＋1＝0，當噴頭高4m時，可設y＝ax2＋bx＋4，將點(3，0)的坐標代入得9a＋3b＋4＝0，聯立方程組求出a，b的值，設噴頭高hm時，水柱落點距O點4m，則此時y＝ax2＋bx＋h，將點(4，0)的坐標代入可求出h.7.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：方法7利用表格信息求二次函數解析式x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根據以上信息，可知拋物線開口向______，對稱軸為________；(2)求拋物線的解析式及m，n的值；上直線x＝1解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分別代入y＝ax2＋bx＋c，(3)請在圖中畫出所求的拋物線．設點P為拋物線上的動點，OP的中點為P′，描出相應的點P′，再把相應的點P′用平滑的曲線連接起來，猜想該曲線是哪種曲線？解：畫出拋物線，描出點P′的軌跡，是一條拋物線，如圖所示．(4)設直線y＝m(m>－2)與拋物線及(3)中的點P′所在曲線都有兩個交點，交點從左到右依次為A1，A2，A3，A4，請根據圖象直接寫出線段A1A2，A3A4之間的數量關系：__________________．A3A4－A1A2＝1【點撥】設A1，A2，A3，A4的橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，易得x1＋x4＝2，x2＋x3＝1，∴A3A4－A1A2＝(x4－x3)－

(x2－x1)＝(x4＋x1)－(x3＋x2)＝2－1＝1.8.為響應荊州市“創建全國文明城市”號召，某單位不斷美化環境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利用的墻長不超過18m，另外三邊由36m長的柵欄圍成．設矩形ABCD空地中，垂直于墻的邊AB＝xm，面積為ym2(如圖)．方法8利用幾何建模求二次函數解析式(1)求y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．解：y＝x(36－2x)＝－2x2＋36x(9≤x＜18)．【點撥】先用含x的式子表示BC的長，再根據矩形的面積公式即可求出函數解析式，最后由BC的長大于0m且不大于

18m列不等式組求解即可得到x的取值范圍；(2)若矩形空地的面積為160m2，求x的值．解：由題意得－2x2＋36x＝160，解得x＝10或x＝8.∵x的取值范圍為9≤x＜18，∴x的值為10.【點撥】令y＝160，列出關于x的一元二次方程求解即可；(3)若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵，每種植物的單價和每棵栽種的合理用地面積如下表．

甲乙丙單價/元141628合理用地面積/(平方米/棵)0.410.4丙種植物最多可以購買多少棵？此時，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請說明理由．解：∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，∴當x＝9時，y取得最大值162.設購買了乙種植物a棵，購買了丙種植物b棵，由題意得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8600，∴a＋7b＝1500.∴b的最大值為214，此時a＝2.需要種植的面積＝0.4×(400－214－2)＋1×2＋0.4×214＝161.2(m2)．∵161.2m2＜162m2，∴丙種植物最多可以購買214棵，此時這批植物可以全部栽種到這塊空地上．【點撥】根據題意求出購買丙種植物的最大棵數，并計算出此時的種植面積，然后與這塊空地的最大面積比較即可．9.某公司電商平臺，在五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經市場調查發現，某種商品的周銷售量y(件)是關于售價x(元/件)的一次函數，下表僅列出了該商品的售價x、周銷售量y、周銷售利潤W(元)的三組對應值數據．方法9利用建立實際問題模型求二次函數解析式(1)求y關于x的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)．x407090y1809030W360045002100(2)若該商品進價為a(元/件)，售價x為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大周銷售利潤．解：由題意知周銷售利潤W＝(－3x＋300)(x－a)，把x＝40，W＝3600代入解析式，可得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，解得