1.5數學歸納法我是一毛我是二毛我是三毛我是誰？我不是四毛！我是小明！不完全歸納猜：四毛！完全歸納？探究點

數學歸納法的原理與定義問題1:口袋中有4個吃的東西，如何證明它們都是糖？把研究對象一一都考察到，而推出結論的歸納法.完全歸納法（1）求出數列前4項,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？猜想數列的通項公式為：解:不完全歸納法從一類對象中的部分對象都具有某種性質推出這類對象全體都具有這種性質的歸納推理方法驗證:逐一驗證，不可能！！！能否通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數都成立？多米諾骨牌課件演示

數學歸納法的第一步：先證明n取第一個值時命題成立.相當于多米諾骨牌開始倒的第一張.數學歸納法的第二步：假設當n=k時命題成立，并證明當n=k+1時命題也成立.相當于多米諾骨牌第k張倒后第k+1張是否也會跟著倒.1.第幾塊骨牌，數列第幾項都是與正整數有關的問題.2.共同點是任意前一個的情況都可以推出后一個的情況.

多米諾骨牌與我們要解決的問題2有相似性嗎？相似性體現在哪些方面呢？

上述2，事實上給出了一個遞推關系，換言之就是假設第k塊倒下，則相鄰的第k+1塊也倒下.

你能類比多米諾骨牌游戲牌全倒條件，證明上述問題2猜想的結論嗎？猜想數列的通項公式為證明:(1)當猜想成立.(2)那么,當根據(1)和(2)，猜想對于任何都成立.

一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：1.（歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0

N*)時命題成立.2.（歸納遞推）假設當n=k(k≥n0，k

N*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數n都成立.這種證明方法叫做數學歸納法.（1）第一張骨牌必須能倒下（2）假若第k（k≥1）張能倒下時，一定能推倒緊挨著它的第k+1張骨牌（游戲開始的基礎）（游戲繼續的條件）分析：

能夠使游戲一直連續運行的條件：類似地，把關于自然數n的命題看作多米諾骨牌，產生一種符合運行條件的方法：（遞推基礎）（遞推依據）由（1）（2）知，游戲可以一直連續運行。由（1）（2）知，命題對于一切n≥n。的自然數n都正確。我們把以上證明關于自然數n的命題的方法，叫做數學歸納法。證明：（1）當n=1時，等式是成立的．（2）假設當n=k時等式成立，就是那么這就是說，當n=k+1時，等式也成立由（1）和（2），可知的等式對任何都成立．下面用數學歸納法證明等差數列通項公式：例1:用數學歸納法證明：首項為a1，公差為d的等差數列{an}的前n項和公式為證明：（1）當n=1時，左邊=S1=a1，右邊=

，等式成立；（2）假設當n=k(k≥1)時，等式成立，即成立.那么當n=k+1時，所以，n=k+1時等式也成立.由（1）和（2）可知，等式對任意正整數n都成立.

變式

用數學歸納法證明

證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立．（2）假設當時，等式成立，就是那么這就是說，當n=k+1時，等式也成立．由（1）和（2），可知等式對任何都成立．例2:已知數列{an}滿足，a1=0，試猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明.解：由，a1=0，得歸納上述結果，可得猜想.用數學歸納法證明這個猜想：（1）當n=1時，左邊=a1=0，右邊=

，等式成立；（2）假設當n=k(k≥1)時，等式成立，即成立.那么，當n=k+1時，這就是說，當n=k+1時等式也成立.根據（1）和（2），可知猜想對于任意正整數n都成立.

計算S1，S2，S3，S4，根據計算結果，猜想Sn的表達式，并用數學歸納法進行證明.變式

已知數列，，，…，…，，解：

可以看到，上面表示四個結果的分數中，分子與項數n一致，分母可用項數n表示為3n+1,于是可以猜想

下面我們用數學歸納法證明這個猜想.(1)當n=1時，猜想成立.(2)假設n=k時,猜想成立，即那么所以，當n=k+1時,猜想也成立.例3:用數學歸納法證明：（1+α）n≥1+nα（其中α＞-1，n∈N+）.證明：（1）當n=1時，左邊=1+α，右邊=1+α，等式成立；（2）假設當n=k(k≥1)時，等式成立，即（1+α）k≥1+kα成立.那么，當n=k+1時，因為α＞-1，所以1+α＞0.根據假設知，（1+α）k≥1+kα，所以（1+α）k+1=（1+α）k（1+α）≥（1+kα）（1+α）=1+（k+1）α+kα2.因為kα2≥0，所以1+（k+1）α+kα2≥1+（k+1）α.從而（1+α）k+1≥1+（k+1）α.這表明，當n=k+1時命題也成立.根據（1）和（2），該命題對于任意正整數n都成立.(n≥2,n∈N)過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，不等式左邊的變化是（）：用數學歸納法證:

D變式1B.1或2C.1，2，3D.1，2，3，4CD課堂練習CB5.用數學歸納法證明

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

從n=k到n=k+1有什么變化利用假設湊結論證明:2)假設n=k時命題成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝1)當n=1時，左邊=1×2=2,右邊==2.命題成立∴n=k+1時命題正確。由(1)和(2)知，當，命題正確。6.下面是某同學用數學歸納法證明命題

的過程.你認為他的證法正確嗎?為什么?

(1).當n=1時,左邊=,右邊=(2).假設n=k時命題成立即那么n=k+1時,

左邊

=右邊,即n=k+1時,命題也成立.由(1)(2)知,對一切自然數,命題均正確.數學歸納法的一般步驟：若n=k(k≥n0)時命題成立，證明n=k+1時命題也成立.

驗證n=n0時命題成立.命題對從n0