2023屆云南省大姚一中高三第八次月考（四模）數學試題試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何

體的表面積是（）

正視圖側視圖

俯視圖

A.160+16%

B.16a+8乃

C.8&+16萬

D.80+8萬

2.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能安排

木工工作，則不同的安排方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.64種

YYIX-4-1

3.已知函數〉=。*一2（。＞0且awl的圖象恒過定點P,則函數y=-----圖象以點P為對稱中心的充要條件是（）

x+n

A.m=l,n=—2B.m=-1,匕=2

C.m=l,n=2D.m=—l,rz=—2

4.已知〃是兩條不同的直線，,"_L平面a,則“///a"是“LL/n”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

171

5.“cos2a=——”是=——,ZEZ”的()

23

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

6.已知函數/(x)=Gsin2x-2cos2x+l,將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的;，縱坐標保持不變;

再把所得圖象向上平移1個單位長度，得到函數y=g(x)的圖象，若g(x)g(%)=9,則村-引的值可能為()

5%3兀7171

B.—

427

7.將函數/(x)=cos2x圖象上所有點向左平移:個單位長度后得到函數g(x)的圖象，如果g(x)在區間［0,可上單

調遞減，那么實數。的最大值為()

萬兀》3

A.—B.—C.—D.—71

8424

8.若函數/(幻。恰有3個零點，則實數。的取值范圍是()

44

A.(―,+oo)B.(0,—)C.(0,4e2)D.(0,+oo)

22

9.設片，K分別為雙曲線=-2=1(。＞0/＞0)的左、右焦點，過點片作圓+="的切線，與雙曲線的左、右

ab

兩支分別交于點P,。，若|Q6|=|PQI，則雙曲線漸近線的斜率為()

A.±1B.士伊-1)C.±(V3+1)D.±75

22

10.已知橢圓c：鼻+與=1(。＞人＞o)的左，右焦點分別為耳，過耳的直線交橢圓于兩點,若

F2,CA,B

ZABF2=90°,且."鳥的三邊長忸周，|AB|,段成等差數列，則C的離心率為（）

A.-B.—C.—D.—

2322

11.已知三棱錐P—ABC,AC=五,BC=1,AC,3c且PA=2PB,PB,平面AB。，其外接球體積為（）

47r324

A.-----B.47rC.-------D.4Jr37r

33

12.已知等差數列(??｝的公差為2前〃項和為S?，若%，%，應為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內角為120。,

則Sn的最大值為()

A.5B.11C.20D.25

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知尸為拋物線C：*2=8y的焦點，尸為C上一點，M(-4,3),則APM尸周長的最小值是.

14.“北斗三號”衛星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設地球半徑為R,若其近地點、遠地點離地面的距離大約分

2

別是§R,4R，則“北斗三號''衛星運行軌道的離心率為.

2x+y>2

15.若x，)，滿足約束條件卜-2<0,則z=x+.y的最大值為.

2x-y<2

16.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲，其規則是：在石頭、剪子和布中，二人各隨機選出一種，若相同則平

局；若不同，則石頭克剪子，剪子克布，布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲，則甲不輸的概率是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設函數二二二s:：.二一，+,：二二+二二七二.

(/)求二二的最小正周期；

(〃)若二三?，二且二$=求s◎二十勺的值.

分)已知〉設函數

18.(12a0,b>0,c>0f(x)=|x-b|+|x+c|+a,XeR.

(1)若a="=c=l,求不等式/(x)>5的解集；

(2)若函數/(%)的最小值為1,證明：￡+丘：+后>18(。+6+。).

19.(12分)一個工廠在某年里連續10個月每月產品的總成本》(萬元)與該月產量x(萬件)之間有如下一組數據:

X1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87

y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26

(1)通過畫散點圖，發現可用線性回歸模型擬合)'與x的關系，請用相關系數〃加以說明；

(2)①建立月總成本y與月產量X之間的回歸方程；②通過建立的)'關于X的回歸方程，估計某月產量為1.98萬件

時，產品的總成本為多少萬元？(均精確到0.001)

ioioHoHo

附注：①參考數據：=1445,?=2731,￡^-10工2°0850,2；一10歹2°1,042,^=1,223.

i=I$

?一西、>，?％_呵

②參考公式：相關系數「=下==-、(,------------=T,b=^---------,a=y-bx.

^^2-^21ZX2-?72J&2--2

20.(12分)《山東省高考改革試點方案》規定：從2017年秋季高中入學的新生開始，不分文理科；2020年開始，高

考總成績由語數外3門統考科目和物理、化學等六門選考科目構成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為

A、B+、B、C+、C、。+、D、E共8個等級.參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、

16%、24%、24%、16%、7%、3%.選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依

照等比例轉換法則，分別轉換到［91,100］、［81,90］、［71,80］,［61,70］,［51,60］,［41,50］、［31,40］、［21,30］八個

分數區間，得到考生的等級成績.某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測

試，其中物理考試原始成績基本服從正態分布N(6(M69).

(1)求物理原始成績在區間(47,86)的人數；

(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記X表示這3人中等級成績在區間［61,80］的人數，求X的

分布列和數學期望.

(附：若隨機變量J~N(〃,b2),則P(〃-b<&<〃+b)=0.682,P(〃-2b<&<〃+2b)=0.954,

P(〃—3b<"〃+3cr)=0.997)

21.(12分)如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是菱形，對角線交于點O,M為棱的中點，

MA^MC.求證：

P

(1)P3//平面AMC；

(2)平面PB￡>_L平面AMC.

x=cosa

22.（10分）在直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為.「以。為極點，不軸正半軸為極軸建立極坐標系,

y-sm0.

TT

設點A在曲線Q：0sin8=l上，點3在曲線。3：。=一一（P＞。）上，且AQB為正三角形.

6

（D求點A,8的極坐標；

（2）若點P為曲線G上的動點，M為線段AP的中點，求的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為

萬22+,乃26=80+8萬澈選口.

222

2、C

【解析】

根據題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,

將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，由分步計數原理計算可得答案.

【詳解】

解：根據題意，分2步進行分析：

①，將4人分成3組，有C：=6種分法；

②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，

將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有用=2種情況，

此時有2x2=4種情況，

則有6x4=24種不同的安排方法；

故選：C.

【點睛】

本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題.

3、A

【解析】

由題可得出P的坐標為(2,1),再利用點對稱的性質，即可求出加和〃.

【詳解】

根據題意，｛,,所以點尸的坐標為(2,1),

9=1

_mx+\m(x++\-mn

又y=-------=---------------------=m+----,

x+nx+nx+n

所以m=l,〃=-2.

故選：A.

【點睛】

本題考查指數函數過定點問題和函數對稱性的應用，屬于基礎題.

4、A

【解析】

根據充分條件和必要條件的定義，結合線面垂直的性質進行判斷即可.

【詳解】

當”」平面a時，若/〃a”則"L"”成立，即充分性成立，

若lA-in,則l//a或fca,即必要性不成立，

則“/〃a”是“LLm”充分不必要條件，

故選：A.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合線面垂直的性質和定義是解決本題的關鍵.難度不大，屬于基礎題

5、B

【解析】

先求出滿足cos2a=—!■的。值，然后根據充分必要條件的定義判斷.

2

【詳解】

由cos2a=-,得2a=24?±女，即。=k乃士工，keZ,因此“cos2a=—l”是=Z萬+工，左eZ”的必要

23323

不充分條件.

故選：B.

【點睛】

本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎.解題時可根據條件與結論中參數的取值范圍進行判斷.

6、C

【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數v=/(x)的解析式化簡，然后利用圖象變換規律得出函數V=g(x)的解析式為

g(龍)=2sin(4x-^)+l,可得函數y=g(x)的值域為[一1,3],結合條件g(玉).g(w)=9,可得出g(%)、g(w)

均為函數y=g(x)的最大值，于是得出后一司為函數)'=g(x)最小正周期的整數倍，由此可得出正確選項.

【詳解】

函數/(x)=V^sin2x-2cos2x+1=Gsin2x-cos2x=2sin2x-—,

I6；

1(jr\

將函數y=/(x)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的彳倍，得y=2sin4x-^的圖象；

再把所得圖象向上平移1個單位，得函數y=g(x)=2sin(4xq)+1的圖象，易知函數y=g(x)的值域為[-1,3].

若g(x)g⑸=9,則g(玉)=3且g(w)=3,均為函數y=g(x)的最大值,

由41一工=工+24"(左EZ),解得1=工+”(女￡Z)；

6262

其中王、z是三角函數y=g(x)最高點的橫坐標，

???厄一天|的值為函數y=g3的最小正周期T的整數倍，且7=子=1.故選C.

【點睛】

本題考查三角函數圖象變換，同時也考查了正弦型函數與周期相關的問題，解題的關鍵在于確定g(%)、g(9)均為

函數y=g(x)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

7、B

【解析】

根據條件先求出g(X)的解析式，結合三角函數的單調性進行求解即可.

【詳解】

將函數/(X)=COS2X圖象上所有點向左平移:個單位長度后得到函數g(x)的圖象，

71

則g(x)=cos2X+一=cosf+I,

4

7C

設e=2x+—,

2

JCTC

則當Ovx<〃時，0<2x<2cl9—<2xH—<2。H—,

222

即一<6V2〃+—，

22

要使g(X)在區間［0,句上單調遞減，

47171

則2。+一<乃得2。<一，得。<一，

224

TT

即實數。的最大值為一，

4

故選：B.

【點睛】

本小題主要考查三角函數圖象變換，考查根據三角函數的單調性求參數，屬于中檔題.

8、B

【解析】

求導函數，求出函數的極值，利用函數=恰有三個零點，即可求實數”的取值范圍.

【詳解】

x

函數y=Ve*的導數為y'=2xe+f/=xe\x+2),

令y'=0,貝!lx=O或一2,

一2<%<0上單調遞減，(-8,-2),(0,+8)上單調遞增，

所以0或-2是函數y的極值點，

函數的極值為：/(0)=0,/-(-2)=4e-2=—,

e

4

函數/(?=/短-。恰有三個零點，則實數的取值范圍是：(0，r).

e~

故選B.

【點睛】

該題考查的是有關結合函數零點個數，來確定參數的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應用導數研究函數圖象

的走向，利用數形結合思想，轉化為函數圖象間交點個數的問題，難度不大.

9、C

【解析】

如圖所示：切點為M,連接作PNLx軸于N,計算歸用=2。，歸居|=4"，|PN|=^，恒N|=迦,

cc

根據勾股定理計算得到答案.

【詳解】

如圖所示：切點為連接Q0,作PNJ_x軸于N,

\QF\-\QF^\QF\+\PF\-\QF^\PF\^2a,故|尸闖=4a,

在放△團（?；中，sin/M片0=色，故cos/*0=2,故|PN|=幺匚，恒叫=必,

【點睛】

本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

10、C

【解析】

根據等差數列的性質設出怛用，|A3|,|A￡|,利用勾股定理列方程，結合橢圓的定義，求得怛用=a=|切秣再利

用勾股定理建立a，c的關系式，化簡后求得離心率.

【詳解】

由已知忸周，|A6|,|A閭成等差數列，設忸瑪|=x,|AB|=x+d,|M|=x+2d.

由于乙鉆6=90。，據勾股定理有忸/咪+1A砰=|A用2,即x2+(x+d『=(x+2d)2,化簡得x=3d；

由橢圓定義知.AB居的周長為x+x+d+x+"=3x+3d=12d=4a,有a=3d,所以x=%所以

忸闖=a=|班|；

在直角BF,片中，由勾股定理，2a2=402,.?.離心率e=4.

2

故選：C

【點睛】

本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數列的性質，屬于中檔題.

【解析】

由AC_L8C,PBJ_平面ABC,可將三棱錐尸-ABC還原成長方體，則三棱錐P-ABC的外接球即為長方體的外接球,

進而求解.

【詳解】

由題，因為AC=后，BC=1,4。，6。,所以鉆=，4。2+3。2=6,

設P6=/?,則由=2PB,可得73+/Z2=2〃，解得力=1，

可將三棱錐P-ABC還原成如圖所示的長方體.

則三棱錐P—ABC的外接球即為長方體的外接球，設外接球的半徑為R，則2R=712+(V2)2+12=2,所以R=1,

4TT314萬

所以外接球的體積V=—R=—.

33

故選:A

【點睛】

本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.

12、D

【解析】

由公差d=-2可知數列單調遞減，再由余弦定理結合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.

【詳解】

等差數列｛4｝的公差為-2,可知數列單調遞減，則外,生，%中生最大，%最小，

又4,%,應為三角形的三邊長，且最大內角為120。，

由余弦定理得W設首項為4,

即(4_2)2=但1—4)2+出一6)2+出一4)區—6)=0得(4_4)(01_9)=0,

所以q=4或4=9,又%=a1—6>0,即a1>6,q=4舍去，故“=9,d=-2

前幾項和S“=9n+^^x(—2)=—(〃—5)2+25.

故S“的最大值為S$=25.

故選：D

【點睛】

本題考查等差數列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、5+V17

【解析】

△PMF的周長最小，即求|9|+|「口|最小，過P做拋物線準線的垂線，垂足為。，轉化為求IPMI+IPQI最小,

數形結合即可求解.

【詳解】

如圖，尸為拋物線C：，=8y的焦點，尸為C上一點，M(-4,3),

拋物線C：好=8了的焦點為F(0,2),準線方程為y=-2.

過尸作準線的垂線，垂足為。，則有IPRRPQI

\PM\+\PF\=\PM\+\PQ\>\MQ\=5,

當且僅當A/,P,Q三點共線時，等號成立，

所以△PMF的周長最小值為5+正4)2+(3-2)2=5+歷.

故答案為：5+V17.

【點睛】

本題考查拋物線定義的應用，考查數形結合與數學轉化思想方法，屬于中檔題.

1

14、-

2

【解析】

畫出圖形，結合橢圓的定義和題設條件，求得。的值，即可求得橢圓的離心率，得到答案.

【詳解】

如圖所示，設橢圓的長半軸為半焦距為。，

2

因為地球半徑為M若其近地點、遠地點離地面的距離大約分別是］尺，4R,

Q+C=4R+R

可得12cc，解得。=曰/?,。=3/?,

a—c=—R+R33

3

-R

c2I

所以橢圓的離心率為6=—=芬=

a&2

3

故答案為：—

2

本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的幾何性質，列出方程組，求得“，c的值是解答的關鍵,

著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.

15、4

【解析】

作出可行域如圖所示：

目標函數2=工+九即為＞=-x+z,平移斜率為的直線，經過點4(2,2)時，Z,,*=2+2=4.

2

16、-

3

【解析】

用樹狀圖法列舉出所有情況，得出甲不輸的結果數，再計算即得.

【詳解】

由題得，甲、乙兩人玩一次該游戲，共有9種情況，其中甲不輸有6種可能，故概率為：=].

3

【點睛】

本題考查隨機事件的概率，是基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(/)_；(II)一?—

【解析】

⑺化簡得到二二1=n［二+與，得到周期.

（〃）二?=、2（二+"）=4故而（二+初==，根據范圍判斷心」二-三=代入計算得到答案.

【詳解】

(I)D(D)s立(2口一習++：)=?(30-：)+cB?(2n-力

=口血（二二卜-二I,故二===二.

（1/）Z.（r）=、］而'（二+=：?Sfcsn（二+p1=y?co?.!I.不卜=~-T'

nw&E故二-一弓筆），|cos（二+利>|而（二+目|,

版A好件二），故C8（二+總=-當

皿?二+：）=:血（口+舒.（口+野=

【點睛】

本題考查了三角函數的周期，三角恒等變換，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

18、(1)(-w,-2)l(2,4^)；(2)證明見解析

【解析】

(1)利用零點分段法，求出各段的取值范圍然后取并集可得結果.

(2)利用絕對值三角不等式可得“+b+c=l,然后使用柯西不等式可得結果.

【詳解】

(1)由a=b=c=l,所以/(x)=|x-"+|x+l|+1

由/(x)>5

當時，貝！］/(x)=l-x-l-x+l>5=>x<-2

所以X<-2

則/(^)=l-x+l+x+l>5=>XG0

當xNl時，貝]lf(x)=x-l+l+x+l>5=>x>2

綜上所述：XG(T?,—2)D(2,+OO)

(2)由卜一4+|x+c|之+c)1誹+c|

當且僅當(x-6)(x+c)V。時取等號

所以/(x)=|x_q+|x+d+a2|b+d+a

由。>0,匕>0,c>0,/11bl(力=1，

所以a+Z?+c=l

ki、1&+人b+cc+a3

所以二一+=-+二一=1

222

AT(149](a+bb+cc+a\

令7=------+------+------------+1

\a+bb+cc+a222J

—+―『+]一/?+c[[Vc+a)

a+hh+cc+a\\Ja+hJ3

警H需'

a+2b1b+2c?c+2a〔夜+J+[>

根據柯西不等式，則一

12312

當且僅當一-=——，即〃=O,a=；,c=；取等

a+bb+cc+a33

由。>0,Z?>0,c>0

=18,又a+b+c=l

i4o

貝!J---+----+---->18(o+/7+c)

a+hb+cc+a

【點睛】

本題考查使用零點分段法求解絕對值不等式以及柯西不等式的應用，屬基礎題.

19、(1)見解析；(2)?y=\.223X+0.964(2)3.386(萬元)

【解析】

-10x2

(1)利用/?=代入數值,求出「后即可得解;

10

￡v,2-ior

(2)①計算出了、?后，利用a=y-加求出6后即可得解;

②把x=1.98代入線性回歸方程，計算即可得解.

【詳解】

(1)由已知條件得,

Ar=1.2230.998,

1.042

說明y與X正相關，且相關性很強.

1010

(2)①由已知求得—二七_［另￡=9一放=2.731—1.223x1.445“0.964

x=——=1.445y=——=2.731'

1010

所以，所求回歸直線方程為S=L223x+0.964.

②當x=L98時，y=1.223x1.98+0.964?3.386(萬元),

此時產品的總成本約為3.386萬元.

【點睛】

本題考查了相關系數廠的應用以及線性回歸方程的求解和應用，考查了計算能力，屬于中檔題.

20、(I)1636人；(II)見解析.

【解析】

(I)根據正態曲線的對稱性，可將區間(47,86)分為(47,60)和(60,86)兩種情況，然后根據特殊區間上的概率求出

2

成績在區間(47,86)內的概率，進而可求出相應的人數；(II)由題意得成績在區間［61,80］的概率為,，且

X?8(3,|),由此可得X的分布列和數學期望.

【詳解】

(I)因為物理原始成績為~潮(60,132),

所以P(47<自<86)=P(47〈&<60)+P(60港<86)

=1P(60-13<^<60+13)+1P(60-2X13<^<60+2x13)

0.6820.954

=-----+------

22

=0.818.

所以物理原始成績在(47,86)的人數為2000x0.818=1636(人).

2

(II)由題意得，隨機抽取1人，其成績在區間［61,80］內的概率為二.

所以隨機抽取三人，則X的所有可能取值為0,1,2,3,且X~,

f3、327

所以尸(X=0)=

57125

p（x=i）=c；.|.3

2丫336

P（X=2）=C]—I?一=---

55125