8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積一、創設情境引入新課前面我們學習了幾個常見的多面體，棱柱、棱錐和棱臺.明確了它們的定義及相關概念.請欣賞下面幾幅圖片，本節我們就來學習旋轉體的表面積和體積.二、探究新知理解概念問題1

棱柱、棱錐和棱臺的表面積是什么？提示：表面積=側面積+底面積.探究1圓柱、圓錐、圓臺和球等多面體的結構問題2棱柱、棱錐和棱臺的體積是什么？問題3下面的幾何體與多面體不同，仔細觀察這些幾何體，它們有什么共同特點或生成規律？問題1圓柱、圓錐、圓臺等幾何體，都是由一個平面圖形繞著一條直線旋轉產生的曲面所圍成的幾何體，那么它們的側面展開圖是什么呢？探究2圓柱、圓錐和圓臺的表面積提示：將圓柱、圓錐和圓臺沿一條母線剪開，展開在一個平面上.問題2

如何求圓柱、圓錐、圓臺的側面積？（1）將圓柱沿一條母線剪開后，展開圖是一個矩形，這個矩形的一邊為母線，另一邊為圓柱底面圓的圓周長，設圓柱底面半徑為r，母線長為l，則側面積S圓柱側=2πrl.O′O

（3）圓臺可以看成是用一個平行底面的平面截圓錐所得，因此圓臺的側面展開圖是一個扇環，設圓臺上、下底半徑為r、R，母線長為l，則

問題3我們知道了圓柱、圓錐、圓臺側面積的求法，那么它們的表面積又如何算呢？問題1根據之前所學棱柱的體積，如何求圓柱的體積呢？探究3圓柱、圓錐和圓臺的體積柱體的體積等于它的底面積S和高h的積，即V柱體=Sh特別地，底面半徑是r,高是h的圓柱的體積問題2根據之前所學棱錐的體積，如何求圓錐的體積呢？錐體的體積等于它的底面積S和高h的積的三分之一，即特別地，底面半徑是r,高是h的圓錐的體積問題3

根據之前所學棱臺的體積，如何求圓臺的體積呢？臺體的體積可以轉化為錐體的體積來計算.如果臺體的上、下底面面積分別為S′，S，高是h，即特別地，如果圓臺的上下底面的半徑分別是r,r′,高是h,則它的體積是問題1

在太空中存在著多顆星球，科學家為了比較各個星球的大小，需要計算它們的表面積和體積，但是星球的形狀不同于柱體、椎體、臺體，而是近似于球體，那么如何進行計算呢？探究4球的表面積和體積問題2：球隊大小是與球的半徑有關，如何用球半徑來表示球的表面積？提示：設球的半徑為R，它的表面積只與半徑R有關，是以R為自變量的函數.如果球的半徑為R，那么它的表面積是第1步分割O則球的體積為：設“小錐體”的體積為：ΔViO球面被分割成n個網格，連接球心O和每個小網格的頂點，整個球體就被分割成n個“小錐體”.問題3：你能由球的表面積公式推導出球的體積公式嗎？提示：類比利用圓周長求圓面積的方法，可以利用球的表面積求球的體積.O第2步求近似和當n越大，每個小網格越小時，每個“小錐體”的地面就越平，“小椎體”就越近似于棱錐，其高越近似于球半徑R，設O-ABCD是其中一個“小椎體”，它的體積是OO第3步轉化為準確和由于球的體積就是這n個“小錐體”的體積之和，而這n個“小錐體”的底面積之和就是球的表面積.因此，球的體積是O三、舉例應用掌握概念例1.看圖回答問題例2

如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5cm，盆壁長15cm．為了美化花盆的外觀，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100個這樣的花盆需要多少油漆（取π=3.14,結果精確到1毫升，可用計算器）？解

花盆外壁的表面積：涂100個花盆需油漆：0.1×100×100=1000（毫升）所以涂100個這樣的花盆約需要1000毫升油漆.

例3如圖，幾何體上半部分是母線長為5，底面圓半徑為3的圓錐，下半部分是下底面圓半徑為2，母線長為2的圓臺，計算該幾何體的表面積和體積.例3如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3米，圓柱高0.6米.如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5千克涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）.如圖，圓柱的底面直徑和