高中

二年級

數(shù)學(xué)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)2—函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)目錄12知識梳理考點(diǎn)突破3要點(diǎn)總結(jié)知識梳理函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性f′(x)＞0單調(diào)遞增f′(x)＜0單調(diào)遞減f′(x)＝0常數(shù)函數(shù)“f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，則f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，這種說法是否正確？【概念方法微思考】知識梳理

[化解疑難]在某個(gè)區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞增(減)函數(shù)的充分不必要條件．導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的孤立的不變號零點(diǎn)，不會影響函數(shù)f(x)，在包含這些特殊點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．√√跟蹤練習(xí).如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則下列判斷正確的是（）A在區(qū)間(－2,1)上f(x)是增函數(shù)B在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù)C在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù)D當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取到極小值√解析在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函數(shù).分類突破例3、已知定義在區(qū)間(－π，π)上的函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是___________________.解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx>0，跟蹤訓(xùn)練3.函數(shù)f(x)＝x·ex－ex＋1的遞增區(qū)間是A.(－∞，e) B.(1，e)C.(e，＋∞) D.(e－1，＋∞)解析由f(x)＝x·ex－ex＋1＝ex·（x－e）得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(e－1，＋∞).√例4.已知函數(shù)f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a>0).試討論f(x)的單調(diào)性.解：函數(shù)的定義域?yàn)镽，由題意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)，思想方法SIXIANGFANGFA用分類討論思想研究函數(shù)的單調(diào)性1．討論含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，通常歸結(jié)為求含參數(shù)不等式的解集問題，而對含有參數(shù)的不等式要針對具體情況進(jìn)行討論，但要注意定義域?qū)握{(diào)區(qū)間的影響以及分類討論的標(biāo)準(zhǔn)．2．對含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論時(shí)，常見的分類討論標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種可能：①導(dǎo)函數(shù)f′(x)是否有變號零點(diǎn)；②若f′(x)有變號零點(diǎn)，令f′(x)=0，求出根后判斷其是否在定義域內(nèi)；③若根在定義域內(nèi)且有兩個(gè)，比較兩根的大小是常見的分類方法.

思維升華因?yàn)閒(x)在[1,4]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[1,4]時(shí)，f′(x)≥0恒成立，題

型

四(2)若函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍.所以a>－1.

又因?yàn)閍≠0，所以a的取值范圍為(－1,0)∪(0，＋∞).

思維升華根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的一般思路：(1)函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，通常可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題即f(x)在(a，b)上為增（減）函數(shù)的充要條件是：對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號不能省略，否則會漏解.f′(x)≥a恒成立

f′(x)min≥a

f′(x)≤a恒成立

f′(x)max≤a(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.即f′(x)＞a有解

f′