7.4.2超幾何分布

如何計算P(X=1)?超幾何分布的概念

超幾何分布的概念

如何計算P(X=1)?

如何計算P(X=1)?

問題1.2：已知100件產品中有8件次品，分別采用無放回的方式隨機抽取4件.設抽取的4件產品中次品數為X，求隨機變量X的分布列.

0，1，2，3，4計算的具體結果(精確到0.00001)如表所示：超幾何分布的概念

MN－M超幾何分布的概念公式中個字母的含義N—總體中的個體總數M—總體中的特殊個體總數(如次品總數)n—樣本容量k—樣本中的特殊個體數(如次品數)

超幾何分布的概念二項分布超幾何分布超幾何分布二項分布二項分布超幾何分布的由來

幾何級數的所有項形成了一個幾何數列，也就是每一項與其前一項之比為一個常數。

幾何分布（Geometricdistribution）是離散型機率分布。其中一種定義為：在第n次伯努利試驗，才得到第一次成功的機率。詳細的說，是：n次伯努利試驗，前n-1次皆失敗，第n次才成功的機率。分布列的每一項都是幾何級數的項。

在數學上，超幾何級數一詞在1655年第一次被JohnWallis使用，該級數的每一項與其前一項之比為關于下腳標（也可譯為指數）的簡單函數。超幾何分布（Hypergeometricseries）分布列的每一項都是超幾何級數中的項。典例應用P78-例4.從50名學生中隨機選出5名學生代表，求甲被選中的概率.方法一：設X表示選出的5名學生中含甲的人數(只能取0或1)，則X服從超幾何分布，且N=50，M=1，n=5.

典例應用P61-5.老師要從10篇課文中隨機抽3篇不同的課文讓同學背誦，規定至少要背出其中2篇才能及格.某位同學只能背誦其中的6篇，求他能及格的概率.解：設隨機抽3篇中抽到他能背誦的課文的數量為X，則他能及格的概率為1.判斷隨機變量是否服從超幾何分布;2.根據已知條件，確定M,N,n對應的值;3.代入超幾何分布的概率公式，求出結果;超幾何分布解題過程：典例應用P78-例5.一批零件共有30個，其中有3個不合格，隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率.典例應用

∴至少有1件不合格的概率為練習1.從放有10個紅球與15個白球的暗箱中，隨意摸出5個球，規定取到一個白球得1分，一個紅球得2分，求某人摸出5個球，恰好得7分的概率.

∴恰好的7分的概率即為摸出2個紅球的概率，為鞏固練習鞏固練習練習2.在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎品.顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，設顧客乙獲得的獎品總價值為Y元，計算P(Y≥50).思考：隨機變量Y服從超幾何分布嗎？問題：服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么？則N件產品的次品率p=______，抽取的n件產品的次品率是______.設隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產品中，不放回地隨機抽取n件產品中的次品數.超幾何分布的期望與方差

超幾何分布的期望與方差超幾何分布的期望與方差

例

某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8道試題中隨機挑選4道進行作答，至少答對3道才能通過初試.記在這8道試題中甲能答對6道，甲答對試題的個數為X，則甲通過自主招生初試的概率為____，E(X)＝_____.解：依題意，知甲能通過自主招生初試的概率為3典例講解練習袋中有3個白球，1個紅球，從中任取2個球，取得1個白球得0分，取得1個紅球得2分，則所得分數X的均值E(X)為A.0 B.1 C.2 D.4鞏固練習解：由題意，得X的可能取值為0或2，其中X＝0表示取得2個白球，X＝2表示取得1個白球和1個紅球，P79-例6.一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數.(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列及其均值；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，借助計算軟件，求誤差不超過0.1的概率.探究

二項分布與超幾何分布的聯系解：(1)對于有放回摸球，X~B(20，0.4)，X的分布列為對于不放回摸球，X服從超幾何分布，X的分布列為P79-例6.一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數.(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，借助計算軟件，求誤差不超過0.1的概率.探究

二項分布與超幾何分布的聯系解:(2)利用統計軟件計算出兩個分布列的概率值(精確到0.00001)，如表所示.有放回摸球：無放回摸球：在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結果更可靠些.有放回摸球方式下，隨機變量X服從二項分布；無放回摸球方式下，隨機變量X服從超幾何分布.雖然這兩種分布有相等的均值(都是8)，但從兩種分布的概率分布圖看，超幾何分布更集中在均值附近.二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產品中次品數的分布規律，并且二者的均值相同.對于不放回抽樣，當n遠遠小于N時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超