河北省新樂市2023-2024學年九年級數學第一學期期末達標檢測模擬試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題（每題4分，共48分）

11111

1.計算?+的結果是（)

1x33x55x77x937x39

19193738

A.一B.—C.—D.—

37393939

2.在平面直角坐標系xOy中，已知點M,N的坐標分別為（-1,2）,（2,1）,若拋物線y=ax?-x+2（承））與線

段MN有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（）

-11I1

A.B.-<a<-

1-1一1

C.ag;或D.25-1或叱;

434

3.我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”.除了圓以外，還有一些幾

何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1）,它是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個

頂點間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形.圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖.

圖1圖2

有如下四個結論：

①勒洛三角形是中心對稱圖形

②圖1中，點A到8C上任意一點的距離都相等

③圖2中，勒洛三角形的周長與圓的周長相等

④使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，會發生上下抖動

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

4.如圖，在菱形A3CD中，=80,E是線段3。上一動點（點E不與點B,。重合），當AABE是等腰三

角形時，ZE4T>=（）

A.30°B.70°C.30°或60°D.40。或70。

5.如果點P（-2,〃?）在雙曲線>=—此上，那么m的值是（

)

X

A.5c.ioD.-10

6.如圖，在AABC中，ZC=90°,過重心G作AC、BC的垂線，垂足分別為。、E,則四邊形GOCE的面積與

AABC的面積之比為（）

121

-C

69-D.3-

7.某個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）

9.已知點A（l,y）,3（2,%）在拋物線y=—（x+l）2+2上，則下列結論正確的是（）

2

A.2>y.>y2B.2>y2>y,c.y,>y2>D.%>%>2

10.在一個不透明的袋子里裝有若干個白球和15個黃球，這些球除顏色不同外其余均相同，每次從袋子中摸出一個球

記錄下顏色后再放回，經過很多次重復試驗，發現摸到黃球的頻率穩定在0.75,則袋中白球有（)

A.5個B.15個C.20個D.35個

11.如圖，一張矩形紙片ABC。的長5ax5,寬AB=yan,以寬A5為邊剪去一個最大的正方形A3EP,若剩下的

X

矩形ECD尸與原矩形A8CD相似，則二的值為（）

y

石e+1

+1C.72

2'2

12.若關于X的一元二次方程依2-X+4=0有實數根，則k的取值范圍是（）

A.k<\6B.C.且左。0D.女<16,且女。0

1616

二、填空題（每題4分，共24分）

13.正六邊形的中心角為；當它的半徑為1時，邊心距為.

14.在等腰RtMJiC中，AB=3C=2,點P是R/AABC所在平面內一點，且曰_L依，則PC的取值范圍是.

一―3

15.若m是方程5x2-3x-1=0的一個根，則15m--+2010的值為.

m

16.拋物線y=（Z+l）d+公一9開口向下，且經過原點，則左=.

BF

17.如圖，在菱形ABCD中，E是BC邊上的點，AE交BD于點F,若EC=2BE,則言；的值是.

18.關于工的一元二次方程/—2x+m=0的二根為不，々，且X；-%+々=3*/，貝!|加=.

三、解答題（共78分）

19.（8分）一個直四棱柱的三視圖如圖所示，俯視圖是一個菱形，求這個直四棱柱的表面積.

20.（8分）解一元二次方程：x2+4x-5=1.

21.（8分）小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，當顯示屏與底板所在水平線的夾角為120。時，感覺最舒適

（如圖1）,側面示意圖如圖2.使用時為了散熱，她在底板下墊入散熱架ACO'后，電腦轉到AO夕位置（如圖3）,

側面示意圖為圖4.已知04=03=24。〃，0'。，。4于點。，O'C=12cm.

（1）求NC4O'的度數.

（2）顯示屏的頂部8'比原來的頂部8升高了多少？

（3）如圖4,墊入散熱架后，要使顯示屏OB'與水平線的夾角仍保持120。，則顯示屏OB'應繞點。”按順時針方向

旋轉多少度？并說明理由.

22.（10分）（1）（問題發現）

如圖1,在Rt2\A8C中，AB=AC=2,NA4c=90°,點。為8c的中點，以為一邊作正方形CDEF,點E恰好

與點A重合，則線段BE與AF的數量關系為

（2）（拓展研究）

在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接BE,CE,AF,線段BE與A尸的數量關系有無變化？請僅就

圖2的情形給出證明；

（3）（問題發現）

當正方形C0E尸旋轉到5,E,尸三點共線時候，直接寫出線段A尸的長.

23.(10分)如圖，在放AABC中，點。在斜邊上，以。為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC、相交于點。、

E,連接AO,已知NC4O=N3.

(1)求證：A。是。的切線；

(2)若N3=30。，AC=6求劣弧89與弦3。所圍陰影圖形的面積；

(3)若AC=4,BD=6,求4E的長.

24.(10分)如圖，在平面直角坐標系直力中，函數y=((x>0)的圖象與直線y=x-2交于點A(3M).

(1)求k、m的值；

(2)已知點P(n,n)(n>0),過點P作平行于》軸的直線，交直線y=x-2于點M,過點P作平行于y軸的直線，交函數

k

y=_(x>0)的圖象于點N.

x

①當n=l時，判斷線段PM與PN的數量關系，并說明理由；

②若P2PM,結合函數的圖象，直接寫出n的取值范圍.

25.(12分)如圖①，在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,點E在AC上(且不與點A,C重合)，在AABC的外部

作△CED,使NCED=90。，DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.

（1）請直接寫出線段AF,AE的數量關系—;

（2）將ACED繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，如圖②，連接AE,請判斷線段AF,AE的數量關系，

并證明你的結論；

（3）在圖②的基礎上，將ACED繞點C繼續逆時針旋轉，請判斷（2）問中的結論是否發生變化？若不變，結合圖③

寫出證明過程；若變化，請說明理由.

26.如圖，在AABC中，是BC上的高.tanB=cosZDAC.

求證：AC=BD.

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、B

【分析】把每個分數寫成兩個分數之差的一半，然后再進行簡便運算.

［詳解】解：原式=7xa-q+q-t+fj+j-x"1——

2335577937

=-x(l-—)

239

19

39

故選B.

【點睛】

本題是一個規律計算題，主要考查了有理數的混合運算，關鍵是把分數乘法轉化成分數減法來計算.

2、A

【分析】根據二次函數的性質分兩種情形討論求解即可；

【詳解】???拋物線的解析式為y=ax1x+L

觀察圖象可知當aVO時，x=-l時，yWl時，滿足條件，即a+3勺，即正-1;

當a>0時，x=l時，y>l,且拋物線與直線MN有交點，滿足條件,

1

：?a>—,

4

直線MN的解析式為y=--x+-^,

15

y--------xH—

由:33,消去y得到,3axLlx+l=0,

y~~―x+2

VA>0,

1

:.a<—,

*'?T<a<彳滿足條件，

43

綜上所述，滿足條件的a的值為a±l或:

43

故選A.

【點睛】

本題考查二次函數的應用，二次函數的圖象上的點的特征等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用

轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型.

3、B

【分析】逐一對選項進行分析即可.

【詳解】①勒洛三角形不是中心對稱圖形，故①錯誤；

②圖1中，點A到8c上任意一點的距離都相等，故②正確；

③圖2中，設圓的半徑為r

...勒洛三角形的周長=3x笑等=2nr

180

圓的周長為

.?.勒洛三角形的周長與圓的周長相等，故③正確；

④使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發生上下抖動，故④錯誤

故選B

【點睛】

本題主要考查中心對稱圖形，弧長公式等，掌握中心對稱圖形和弧長公式是解題的關鍵.

4、C

【分析】根據AABE是等腰三角形，進行分類討論

【詳解】A3CD是菱形，ZABC=80

ZABD=ZADB=40°,ZBAD=100°,

(\)AE=BE

NBAE=40°,NEAD=100。-40°=60°

⑶AE=BE

1800-40°

NBAE=-------------=70°,NEAD=100°-70°=30°

2

⑶=和。重合，

不符合題意

所以選C

5、A

【分析】將點尸(-2,m)代入解析式中，即可求出m的值.

【詳解】將點P(-2,根)代入y=—3中，得：〃?=一二=5

x—2

故選A.

【點睛】

此題考查的是根據點所在的圖象求點的縱坐標，解決此題的關鍵是將點的坐標代入解析式即可.

6、C

【分析】連接AG并延長交BC于點F,根據G為重心可知，AG=2FG,CF=BF,再證明^ADGs△GEF,得出

——=——=——=2,設矩形CDGE中，DG=a,EG=b,用含a,b的式子將AC,BC的長表示出來，再列式化簡即

EFFGEG

可求出結果.

【詳解】解：連接AG并延長交BC于點F,根據G為重心可知，AG=2FG,CF=BF,

易得四邊形GDCE為矩形，

，DG〃BC,DG=CD=EG=CE,ZCDG=ZCEG=90"，

NAGD=NAFC,ZADG=ZGEF=90°，

/.△ADG^AGEF,

.DGAGAD

??------------2.

EFFGEG

設矩形CDGE中，DG=a,EG=b,

:.AC=AD+CD=2EG+EG=3b,

BC=2CF=2(CE+EF)=2(DG+yDG)=3a,

四邊形GDCE_ab_2

:?△AB逑面積一J.13a

2

本題主要考查重心的概念及相似的判定與性質以及矩形的性質，正確作出輔助線構造相似三角形是解題的突破口，掌

握基本概念和性質是解題的關鍵.

7、D

【解析】根據幾何體的三視圖判斷即可.

【詳解】由三視圖可知：該幾何體為圓錐.

故選D.

【點睛】

考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是具有較強的空間想象能力，難度不大.

8、B

【解析】根據最簡二次根式的定義進行判斷即可.

【詳解】解A、阮=絡，后不是最簡二次根式

B、2不能再開方，④是最簡二次根式;

c、￡瀉,不是最簡二次根式;

。、屈=2百，而不是最簡二次根式.

故選：B.

【點睛】

本題考查了最簡二次根式，掌握二次根式的性質及最簡二次根式的定義是解答本題的關鍵.

9、A

【分析】分別計算自變量為1和2對應的函數值，然后對各選項進行判斷.

【詳解】當x=l時,yl=-(x+l),+2=-(l+l)?+2=-2;

當x=2時,yi=-(x+l)[+2=—(2+1)2+2=-7;

所以2>乂>%.

故選A

【點睛】

此題考查二次函數頂點式以及二次函數的性質，解題關鍵在于分析函數圖象的情況

10、A

【分析】根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數；②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率.

【詳解】解：設袋中白球有x個，根據題意得：

解得：x=5,

經檢驗：x=5是分式方程的解，

故袋中白球有5個.

故選A.

【點睛】

此題考查了利用概率的求法估計總體個數，利用如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A

出現m種結果，那么事件A的概率P(A)=工是解題關鍵.

n

11、

【分析】根據相似多邊形對應邊的比相等，可得到一個方程，解方程即可求得.

【詳解】?.?四邊形48。是矩形，

:.AD=BC=xcm,

:四邊形1是正方形，

EF=AB=yctn,

:.。尸=EC=(x-j)cm9

???矩形尸0C￡與原矩形ADC5相似，

ADF：AB=CD：AD9

工一yy

即Hn：----二—

yx

.￡_V5+1

??一―-----,

y2

故選B.

【點睛】

本題考查了相似多邊形的性質、矩形的性質、翻折變換的性質；根據相似多邊形對應邊的比相等得出方程是解決本題

的關鍵.

12、C

【分析】一元二次方程有實數根，則根的判別式且kWL據此列不等式求解.

【詳解】根據題意，得：

/=1-16攵2且kW1,

解得：且ZW1.

故選：C.

【點睛】

本題考查一元二次方程根的判別式與實數根的情況，注意Z#1.

二、填空題(每題4分，共24分)

1360。叢

2

【分析】首先根據題意作出圖形，然后可得^AOB是等邊三角形，然后由三角函數的性質，求得OH的長即可得答案.

【詳解】如圖所示：

:六邊形ABCDE是正六邊形，

360°

AZAOB=60°，

~6~

??.△AOB是等邊三角形,

.*.OA=OB=AB=1.

作OM_LAB于點M.

VOA=bZOAB=60°?

AVB

【點睛】

本題考查正多邊形和圓及解直角三角形，正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角；正多

邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距；熟記特殊角的三角函數值及三角函數的定義是解題關

鍵.

14、V5-1<PC<A/5+1

【分析】根據題意可知點P在以AB為直徑，AB的中點O為圓心的。上，然后畫出圖形，找到P點離C點距離最

近的點和最遠的點，然后通過勾股定理求出OC的長度，則答案可求.

【詳解】PA±PB,AB=BC^2

...點P在以AB為直徑，AB的中點O為圓心的）0上

如圖，連接CO交O。于點6,并延長CO交于點鳥

BC

BO」AB=1,6C=2,NA8C=90。

2

：.co=YJBC2+BO2=V22+l2=V5

當點P位于6點時，PC的長度最小，此時

PC=OC-OP=45-\

當點P位于2點時，PC的長度最大，此時

PC=OC+OP=4^+1

:.45-1<PC<>/5+1

故答案為：^-1<PC<V5+1.

【點睛】

本題主要考查線段的取值范圍，能夠找到P點的運動軌跡是圓是解題的關鍵.

15、1

【分析】根據m是方程5x2-3x7=0的一個根代入得到5m2-3m-1=0,進一步得到5m②-l=3m,兩邊同時除以

m得：5m--=3,然后整體代入即可求得答案.

m

【詳解】解：:!!!是方程5x2-3x-1=0的一個根，

???5m2-3m-1=0,

:.5m2-]=3m,

兩邊同時除以m得：5m-----=3,

m

31

A15m——+2010=3（5m——）+2010=9+2010=1,

mtn

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的根，靈活的進行代數式的變形是解題的關鍵.

16、-3

【解析】把原點(0,0)代入股(Hl)-9,可求上再根據開口方向的要求檢驗.

【詳解】把原點(0?0)代入y=(A+1)工斗爐-鄉中，得：k2-9=0

解得：k=+l.

又因為開口向下，即A+I<0,k<-1,所以A=-L

故答案為：-1.

【點睛】

主要考查了二次函數圖象上的點與二次函數解析式的關系.要求掌握二次函數圖象的性質，并會利用性質得出系數之

間的數量關系進行解題.

1

17、-

3

……BE1BFBEBE1

【解析】EC=2BE,得宏=q,由于AD//BC,得—=

BC3FDADBC3

I

18-,一

2

【分析】先降次，再利用韋達定理計算即可得出答案.

【詳解】:工的一元二次方程2x+m=0的二根為X，/

:.（玉）2=2xx-m

:.2工]一加一玉+九2=3X1%2

%+々一加=3%%2

又玉+A：2=2,x]x2=in

代入得2-m=3m

解得：m=y

故答案為;.

【點睛】

本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，若X的一元二次方程依2+法+。=0的二根為王,々，則玉+乙=-￡，

a

三、解答題（共78分）

19、92c/

【解析】試題分析：計算兩個底面的菱形的面積加上側面四個矩形的面積即可求得直四棱柱的表面積.

試題解析：

?.?俯視圖是菱形，

.?.可求得底面菱形邊長為2.5,

上、下底面積和為6x2=12,

側面積為2.5x4x8=80

直棱柱的表面積為925/

20、x2=-5,X2=2.

【分析】利用因式分解法解方程.

【詳解】（x+5）（x-2）=2,

x+5=2或x-2=2,

所以X2=-5,X2=2.

【點睛】

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是

解一元二次方程最常用的方法.

21、（1）NC4O'=30°;（2）（36—12石）cm（3）30。，理由見解析

【分析】（1）先求出該角的正弦值，根據特殊函數值求出角的度數，即可得出答案；

（2）先求出BD的長度，再證明NAO'B'和NAO'C互補，即夕、O\。三點在同一條直線上，故B'C與BD的差

即為所求；

（3）先根據求出ZFOA的度數，再根據NAO8'=120°求出NEO0的度數即可得出答案.

【詳解】解：（1）VO'C±OA,OA=OB=24cm,

O'CO'C12_1

sinZCAO'

24-2

：,ZCAO'=30\

（2）如圖，過點8作BOAO交AO的延長線于點。.

BD-OB-sinABOD.

■:ZAOB=120°,

:.NDOB=60",

:.8。=OBsinNBOD=24x3=126.

2

VO'CLOA,ZCAO'=30°,

:.ZAO'C=6(f.

,:NAO?=120°,

:.NAO'8'+NAO'C=180".

二O'B'+O'C—80=24+12—12百=36—12省.

顯示屏的頂部B'比原來頂部3升高了(36-126)cm.

(3)顯示屏。’6'應繞點O'按順時針方向旋轉30。.理由如下：

設電腦顯示屏。’3'繞點。’按順時針方向旋轉。角至。'E處，O'FHOA.

???顯示屏OE與水平線的夾角仍保持120°,

...ZEO'F=n(f.

VO,FHOA,

:.ZFO'A=ZC4O'=30°.

VNAO8'=120°,

AZ.EO'B'=Z.FO'A=30°,即a=30°,

...顯示屏O'B'應繞點O'按順時針方向旋轉30。.

【點睛】

本題考查的是銳角三角函數的應用，難度系數較高，解題關鍵是將生活中的實際問題轉化為數學模型進行求解.

22、（1）BE=^AF;（2）無變化；（3）67或石+1.

【解析】（1）先利用等腰直角三角形的性質得出AD=0,再得出BE^AB=2,即可得出結論；

（2）先利用三角函數得出0=也，同理得出空=也，夾角相等即可得出AACFs^BCE,進而得出結論；

CB2CE2

（3）分兩種情況計算，當點E在線段BF上時，如圖2,先利用勾股定理求出EF=CF=AD=0,BF=",即可得

出BE>V6-正，借助（2）得出的結論，當點E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論.

【詳解】解：（1）在RSABC中，AB=AC=2,

根據勾股定理得，BC=0AB=2血，

點D為BC的中點，；.AD=gBC=JE,

.四邊形CDEF是正方形，，AF=EF=AD=J^,

；BE=AB=2,/.BE=72AF,

故答案為BE=V2AF;

（2）無變化；

如圖2,在RtAABC中，AB=AC=2,

CAV2

NABC=NACB=45°,.".sinZABC=—=—

CB2

在正方形CDEF中，NFEC=!NFED=45。,

2

QP

在RtACEF中，sinZFEC=-=

CE2

CFCA

^E~^B

:NFCE=NACB=45°，/.ZFCE-ZACE=ZACB-ZACE>/.ZFCA=ZECB,

BECB「

/.△ACF^ABCE.■777=777=V2，：.BE=72AF>

AFCA

線段BE與AF的數量關系無變化;

（3）當點E在線段AF上時，如圖2,

由（1）知，CF=EF=CD=V2?

在RtABCF中，CF=V2，BC=2叵,

根據勾股定理得，BF=",/.BE=BF-EF=V6-夜，

由（2）知，BEPV2AF,/.AF=73-1，

當點E在線段BF的延長線上時，如圖3,

在RtAABC中，AB=AC=2,AZABC=ZACB=45°,.,.sinZABC=—,

CB2

在正方形CDEF中，NFEC=1/FED=45。，

2

*,CFV2CFCA

在RtACFF中，sinNFEC=-----=,——=——>

CE2CECB

VZFCE=ZACB=45°>/.ZFCB+ZACB=ZFCB+ZFCE,NFCA=NECB,

BECB廠

/.△ACF^ABCE,俞=有=3'/.BE=V2AF,

由（1）知，CF=EF=CD=>/2?

在RtABCF中，CF=V2，BC=20，

根據勾股定理得，BF=x/6?ABE=BF+EF=76+72>

由（2）知，BE=忘AF,.*.AF=V3+1-

即：當正方形CDEF旋轉到B,E,F三點共線時候，線段AF的長為百-1或Q+L

【分析】（1）連接8,利用圓的半徑相等及已知條件證明N1=N3,再根據直角三角形兩銳角互余得到Nl+N2=90。,

再根據平角定義即可得到結論；

（2）連接8,作。尸_L3O于F,根據N」B=30。及直角三角形的性質求出BD=2,根據垂徑定理及三角函數求出,

OF,再根據30。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OB,即可利用扇形面積減去三角形的面積求出陰影部分的面積;

（3）先證明AACDsA5cA求出AB,再根據勾股定理求出半徑，即可求得AE的長.

【詳解】（1）證明：連接8,如圖1所示：

,:OB=OD,

：.N3=NB,

VZB=ZL

...N1=N3,

在用AACD中，Zl+Z2=90°,

N4=180。一（N2+Z3）=90°,

/.OD±AD,

則為。。的切線；

（2）連接8,作0E_L3D于b，如圖2所示：

VOB=OD,ZB=30°,N3=ZB=30。，

:.NDOB=12。。,

VZC=90°,Zl=ZB=30°,

/.CD=-AC=bBC=y/3AC=3>

3

/.BD=BC-CD=2,

VOF±BD,：.DF=BF=-BD=\,QF=—BF=—,

233

OB=2OF=—

3

...劣弧BD與弦3。所圍陰影部分的面積

「26丫

=扇形ODB的面積—AODB的面積120"x

3J」x2x更，?回

3602393

/.^ACD^ABCA,

.ACCDAD

AAC2=CDxBC=CD(CD+BD),即4?=CD(CD+6),

解得:CD=29或CO=-8(舍去),

:.CD=2,

?*-AD=y]AC2+CD2=275,

??CDAD

'AC'AB?

.2_2指

??—―，,

4AB

J.AB=475,

■:OD1AD,

:.在Rt^AOD中，AD2+OD2=0A2,

.?.設0。的半徑為x,則。A=4逐-x,

:.(2逐了+f=(4石_,；

._3后

??X------,

2

:.AE=AB—BE=4亞—3亞=非.

【點睛】

此題是圓的綜合題，考查圓的性質，垂徑定理，勾股定理，三角形相似的判定及性質定理，弓形面積，綜合運用知識

點，總結解題的方法.

24、(1)k的值為3,m的值為1；(2)(KnWl或n23.

【解析】分析：(1)將A點代入y=x-2中即可求出m的值，然后將A的坐標代入反比例函數中即可求出k的值.

(2)①當n=l時，分別求出M、N兩點的坐標即可求出PM與PN的關系；

②由題意可知：P的坐標為(n,n),由于PN^PM,從而可知PP它2,根據圖象可求出n的范圍.

詳解：(1)將A(3,m)代入y=x-2,

:.m=3-2=l,

AA(3,1),

k

將A(3,1)代入y=—,

x

:.k=3xl=3,

m的值為1.

(2)①當n=l時，P(1,1),

令y=L代入y=x-2,

x-2=L

x=3>

AM(3,1),

?