2023-2024學年吉林省遼源市高二上冊期末數學模擬試題

一、單選題

1.已知向量￡=(3,2,1),6=(2,4,0),則4^-25=()

A.(16,0,4)B.(8,16,4)C.(8-16,4)D.(8,0,4)

【正確答案】D

【分析】根據向量的數乘以及減法運算，即可求得答案.

【詳解】4a-26=4(3,2,l)-2(2,4,0)=(12,8,4)-(4,8,0)=(8,0,4),

故選:D.

2.已知兩條直線/j(a-l)x+2y+l=0,(：x+@+3=0垂直，貝Ia等于()

A.1B.-C.0D.0或5

33

【正確答案】B

【分析】由兩直線垂直的判斷條件求解即可

【詳解】因為直線4：(a-l)x+2y+l=0與4：x+ay+3=0垂直，

所以(a-l)xl+2xa=0,解得a=:，

故選：B.

3.拋物線好=4x的焦點到準線的距離為()

A.4B.2C.1D.y

【正確答案】B

【分析】利用焦點到準線的距離為。，即可求解

【詳解】因為拋物線的焦點到準線的距離為。，

所以由拋物線V=4x可得。=2,

故選：B

4.已知圓的方程為X2+/-4X=0,過點(2,1)的該圓的所有弦中，最短弦的長為()

A.1B.2C.273D.4

【正確答案】C

【分析】根據圓的幾何特征，過圓內一點最短的弦是過此點且與該直徑垂直的弦，然后用垂

徑定理即可求解

【詳解】設圓的圓心為C,（2,1）為點人，

由圓的方程為/+產-以=0可得（X-2）2+/=4,故圓心C（2,0）,半徑為2,

所以|/C|=1,

根據圓的幾何特征，最短弦所在直線與XC垂直，

所以最短的弦長為2"斤=2也,

故選：C

5.等差數列｛%｝中,+。6=90,求q+%=（）

A.45B.15C.18D.36

【正確答案】D

【分析】利用等差數列的性質求出為=18,再利用等差數列的性質可得結果

【詳解】因為｛6｝是等差數列，所以。2+%+%+%+4=5%=9。，解得知=18,

所以《+%=〃4=36,

故選：D

6.如圖，在正方體/BCD—44GA中，點E是上底面44GA的中心，則異面直線NE與

80所成角的余弦值為（）

C?乎"

【正確答案】B

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量夾角求解.

【詳解】以。為原點，刀，比，函為x),z軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，設正

方體棱長為2,4(2,0,0),￡(1,1,2),。(0,0,2),8(220)

所以ZE=(-1,1,2),28=(2,2,-2),

uuruuur

AED.B-4V2

[1皿|11叼=—f=-----7==-----

網.p向V6xV123

所以異面直線/E與8。所成角的余弦值為它.

3

故選：B

7.已知數列｛%｝滿足。向=2°“+1,其中%=1,則4=()

A.2B.4C.9D.15

【正確答案】D

【分析】利用構造法證明數列｛4+1｝為等比數列，即可求解.

【詳解】因為。用=2。“+1,所以“用+1=2(%+1),即方吟=2,

所以數列｛%+1｝是公比為2的等比數列，

所以擰-Z',所以外+1=16,則外=15,

故選:D.

8.設B，尸2是雙曲線1?-%■=1的兩個焦點，尸是雙曲線上的一點，且31ml=5|"|,則

A/與鳥的面積等于()

A.24B.1572C.12后D.30

【正確答案】A

【分析】利用雙曲線定義求出△尸耳心的三邊長度，根據余弦定理求出三角形的夾角，最后

通過三角形正弦定理面積公式求出面積.

【詳解】3忸耳|=5忸用=忸6kmp闖,根據雙曲線定義：|SH尸用=4,

京然|一歸用=4n|P同=6,|尸耳|=10,|耳聞=8,

100+36-643

根據余弦定理:

1205

則sin/不尸乙=[,SPF[F2=1x|P^|x|P^|xsinZ^P^=24.

故選：A

二、多選題

9.已知等差數列｛4｝的前n項和為S,,,%=1，則（）

A.%+%=2B.a3a7=2C.5,,=11D.S9=9

【正確答案】AD

【分析】利用等差數列的性質和前〃項和公式即可求解.

【詳解】因為｛6｝為等差數列，所以%+%=為5=2,故A正確，

若數列｛《,｝的公差為0,則%=%=%=1，則。3%=1，B錯誤；

因為用=114+55d=11（4+5"）=11%

若數列｛4,｝的公差為0,則Su=l"=ll，

但若數列｛對｝的公差不為0,則品=11%C錯誤；

因為$9=9%+3&/=9（q+4d）=9%=9,D正確，

故選:AD.

10.下列四個命題中真命題有（）

A.直線y=x+2在y軸上的截距為-2

B.經過定點40,2）的直線都可以用方程、=6+2表示

C.直線2x+my+6=0（/neR）必過定點（-3,0）

3

D.己知直線3x+4j，+9=0與直線6x+my+24=0平行，則平行線間的距離是

【正確答案】CD

【分析】利用截距的定義可判斷A選項；取垂直于x軸的直線的方程可判斷B選項；求出

直線所過定點的坐標可判斷C選項；利用兩直線平行求出山的值，再利用平行線間的距離

公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，直線N=x+2在夕軸上的截距為2,A錯；

對于B選項，經過定點/（0,2）且垂直于x軸的直線的方程為x=0,B錯；

對于C選項，對于直線方程2x+叼+6=0（zneR）,由＜可得＜,

b=o卜=0

所以，直線2x+叼+6=0G〃€R）必過定點（-3,0）,C對；

對于D選項，若直線3x+4y+9=0與直線6x+叫+24=0平行，

則?6=m24解得加=8，

349

故兩直線方程分別為3x+4y+9=0、3x+4y+12=0,

112-913

這兩平行直線間的距離為d=,!=±,D對.

V32+425

故選：CD.

三、單選題

11.在棱長為3的正方體/8CD-44GA中，點尸在棱。c上運動（不與頂點重合），則點

8到平面NRP的距離可以是（）

A.1B.>/6C.2D.3

【正確答案】BC

【分析】利用坐標法，設P(0",0)(0<f<3),可得平面/的法向量萬=(f,3,。，進而即得.

【詳解】以。為原點，。4。。,。4分別為達y,z軸建立空間直角坐標系,

則D(0,0,0),4(3,0,0),8(3,3,0),0,(0,0,3),設尸(0,f,0)(0<f<3),

所以/尸=(―=(—3,0,3),AB=(0,3,0),

設〃=(x,y,z)為平面/RP的法向量,

n-AP=-3x+ty=0

則有:令N=3,可得萬=億3,。,

n~ADx=-3x+3z=0

甌司9

則點B到平面AD.P的距離為d=

|?|一42-+9

因為0</<3,所以2/+9?9,27),所以。<(后3).

故選：BC

四、多選題

fv2

12.已知雙曲線C:=-匕=l(a>0)的左、右焦點分別為人,呂，離心率為2,尸為C上一點,

a3

則()

A.雙曲線C的實軸長為2B,雙曲線C的一條漸近線方程為丁=-瓜

C.|「耳|一|產用=2D.雙曲線C的焦距為4

【正確答案】ABD

【分析】根據雙曲線的定義與方程，結合雙曲線的性質對每個選項進行判斷即可

【詳解】由雙曲線方程知：b=6離心率為e=±=五三=2,解得〃=1，

aa

故雙曲線。：/一己=1,

3

對于A,實半軸長為1,實軸長為2a=2,A正確：

對于B,由雙曲線方程可得漸近線方程為y=±JL,故一條漸近線方程為y=-Gx,B正

確；

對于C,由于P可能在C的不同分支上，則根據定義有II尸片IT尸乙11=2,C錯誤；

對于D,焦距為2c=2勿+/=4,D正確.

故選：ABD.

五、填空題

13.設直線/的方向向量為而=(l,-2,z),平面夕的一個法向量為1=(2,若直線〃/

平面a,則實數z的值為.

【正確答案】-4

【分析】根據直線/〃平面a,則直線/的方向向量與平面a的一個法向量垂直，即兩向量點

乘為0.

【詳解】若直線〃/平面C，則直線/的方向向量與平面C的一個法向量垂直，

由此可得益i=2+2+z=0，解得z=-4.

故-4

14.設兩圓G：/+/-1=0與圓。2：/+/-2》+4夕=0的公共弦所在的直線方程為

【正確答案】2x-4y-l=0

【分析】利用兩圓的方程相減即可求解.

【詳解】因為圓G：X2+/-1=O?,圓G：x2+y2-2x+4y=o?,

由①-②得，2x-4v-l=0,

所以兩圓的公共弦所在的直線方程為2x-4y-l=0.

故答案為.2x-4y-l=0

2

15.經過橢圓?+丁=1的左焦點片，作不垂直于x軸的直線48,交橢圓于小B兩點,F2

是橢圓的右焦點，則的周長為.

【正確答案】8

【分析】利用橢圓的定義，即可求解周長.

2

【詳解】由橢圓工+必=1,可得4=2.

4

由橢圓的定義可得?用+|/聞=忸用+忸周=2a=4.

所以"的周長=|/用+|/￡|+出閭耳月$8月=4a=8.

故8

16.已知函數/(》)=售，數列｛%｝滿足條件。用=/(2),且％=1,則氏=.

【正確答案】y##0.5

【分析】根據遞推公式一一計算可得.

【詳解】解：依題意。,用=用彳，又4=1,

%+2

、2x-

~2422%_11,

所以的=消="%=

生+22+22'

3

故g

六、解答題

17.已知向量￡=(2,-1,2),7=(1,4,1).

(1)求恢-耳的值;

(2)求向量￡+2石與］一石夾角的余弦值.

【正確答案】(1)3卡;

(2)一半.

3

【分析】(1)根據向量的坐標運算及向量模的坐標表示求解;

（2）根據向量夾角的坐標表示計算即可得解.

【詳解】（1）Va=（2,-1,2）,1=（1,4,1）,

A2a=（4,-2,4）.2聯」=（3,-6,3）,

忖-g=,2+（-6）2+32=376；

__向+2力（J」）

（2）設￡+25與1的夾角為，，貝！|COS，=T^---r勺，

LZ+2/J-Lz-ft

（7+2/>=（4,7,4）,p/+2Z）|=9,“一6=（1，-5,1）,|^-/?|=3>/3,

.?.c°s*4xl+7x（N+4xl=W=〃,

9x3V327V33

二向量￡+2]與1%夾角的余弦值為-冬

18.已知等差數列｛4｝中，％=2,%+%=8

⑴求｛4｝的通項公式；

（2）求數列的｛%｝前n項和S,,,并求S“的最小值

【正確答案】（1）。,=2〃-4

⑵S”=〃2-3〃，-2

【分析】（1）設等差數列｛對｝的公差為d,根據題意列出關于卬,"的等式，聯立可得

a,=-2,d=2,即可求解；

（2）利用等差的求和公式得到S,,然后判斷明的正負，即可求得S“的最小值

【詳解】（1）設等差數列加“｝的公差為d,

fa.+2tZ=2,[a.=-2

因為%=2,&+。6=8,所以;0Q，解得；。，

\2a｛+6d=8[<7=2

所以a,,=q+（〃-l）d=2〃-4；

“、n（n-l]）

（2）Stt-na]+—--d=n3?,

數列｛4｝首項為負的，公差大于零，是遞增數列，

令<0即2〃-4<0,解得"<2,因為“eN",所以"=1,

令=0即2〃-4=0,解得?=2,

令%>0即2〃一4>0,解得〃>2,

所以第1項是負數，第2項是0,從第3項起變成正數，

所以當〃=1或2時，S,取得最小值，St=S2=-2

19.圓C的圓心為(2,0),且過點力(1,石).

(1)求圓C的標準方程；

(2)直線/：h-y+4=0與圓C交M,N兩點，且|〃M=2五，求k.

【正確答案】(l)(x-2y+y2=4

(2)%=-1或k=-7

【分析】(1)利用題意可得到圓的半徑為/'=2,即可求解；

(2)利用幾何法先求出圓心C到直線/的距離為]=近，然后利用點到直線的距離即可求

解

【詳解】⑴因為圓C的圓心為(2,0),且過點4,6),

所以半徑r=-7(2-l)2+(0-^)2=2，

所以圓C的標準方程為(x-2)2+丁=4

(2)設圓心C到直線/的距離為d,因為|〃N|=2五，

所以|網|=2"2_[2=2"-"2=2至,解得

所以，由圓心到直線距離公式可得"=號號=&,

解得％=-1或后=-7.

20.如圖，在三棱柱N8C-44G中，/^_L平面/8C,Z8，/C,Z8=4C=^<=l,A/為線

段4G上的一點.

小MG

(1)求證：BM±AB..

(2)若M為線段4G上的中點，求直線4B、與平面BCM所成角大小.

【正確答案】(1)證明見解析，

喏

【分析】(1)由題意可得兩兩垂直，所以以A為原點，分別以所在

的直線為x，y，z建立空間直角坐標系，利用空間向量證明即可，

(2)先求出平面8CA/的法向量，然后利用空間向量的夾角公式求解即可.

【詳解】(1)證明：因為平面/8C,/8,4Cu平面/8C,

所以

因為Z81NC,所以兩兩垂直，

所以以A為原點，分別以所在的直線為xj，z建立空間直角坐標系，如圖所示，

則4(0,0,0),5(1,0,0),C(0,1,0),4(0,0,1),(1,0,1),Q0,1,1),

設

所以麗=福=(1,0,1),

所以麗?麗=-1+0+1=0,

所以麗1彳瓦，

所以

(2)因為“為線段4c上的中點，所以

設平面3cAi的法向量為加=(x,y,z),則

m-BM=—x+—y+z=O,.一

2，令X=1,則〃?=1,,

m?BC=-x+y=041

設直線/用與平面8cM所成角為。，則

所以直線期與平面8cM所成角的大小為%

21.己知數列｛4｝的前〃項和為S,,,且電=6,。用=2(S“+1).

(1)證明：｛%｝為等比數列，并求｛《,｝的通項公式;

(2)求數列卜q｝的前n項和。.

【正確答案】⑴證明見解析，%=2X3"T(?EN-)

ms(2//-l)x3w+l

(2)S〃=-----------

M----1(]

【分析】(1)由題意，根據公式為=一，可得數列遞推公式3=3(〃理),

S"n>2an

結合等比數列的通項公式，可得答案；

（2）由題意，根據錯位相減法，可得答案.

【詳解】（1）因為*=2（S,+1）,所以%=2（S,T+1）（肝5）,

故a.+i-q=2（5,一S“_|）=2%,即乎=3（用2）

又a,=2（H+l）=2%+2,故q=2,即5=3,因此也=3（?eN-）

故｛4｝是以2為首項，3為公比的等比數列.因此%=2x3"—（〃eN）

（2）=2x1+2x2x3+2x3x32+---+2?x3n-'?

故37；=2x1x3+2x2x3?+...+2（"-1）x3'—+2”x3"②

①-②，得-27；=2+（2x3+2x3?+…+2X3"T）-2NX3"

2x3（3"i-l）

=2+——_