專題02實數

【專題目錄】

技巧1：實數大小比較的七種技巧

技巧2：實數與數軸的關系

技巧3：非負數應用的常見題型

【題型】一、求算術平方根【題型】二、求平方根

【題型】三、求立方根【題型】四、實數與數軸

【題型】五、實數比較大小

【題型】六、無理數的估值

【題型】七、非負數性質的應用

【題型】八、實數的運算

【考綱要求】

1、知道實數與數軸上的點一一對應.

2、了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根.

3、熟練掌握實數的運算，會用各種方法比較兩個實數的大小.

【考點總結】一、實數的分類

有理數整數

實分數

按定義分

數無理數正無理數

的負無理數

分正實數

類按正負分0

負實數

【考點總結】二、平方根、算術平方根、立方根

無理數無限不循環的小數叫做無理數

①如果一個數的平方等于°,那么這個數叫做。的平方根，記作土布；

實平方根

②性質：正數有兩個平方根，它們互為相反數;0的平方根是0；負數沒有平方根.

數

①如果一個正數的平方等于4,即7=4,那么這個數％叫做〃的算術平方根，

的

記作yl~a.

相算術平方根

關②非負性：^!~a=〃(〃20),=同

概

①如果一個數的立方等于°,那么這個數就叫做。的立方根，記作編.

念

立方根②性質：正數只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數只有一個負的立方根.

③=a\!-a=

零指數，負aQ—l(aw0).an——(aw0)

'an

指數幕

1.常見的三種非負數：|a|>0,a2>0,7壯0(壯0).

2.非負數的性質：

非負數①非負數有最小值是零；

②任意幾個非負數的和仍為非負數；

③幾個非負數的和為0,則每個非負數都等于0.

【考點總結】三、實數的運算

同號兩數相加，取原來的符號。并把它們的絕對值相加。

加法

異號兩數相加，取絕對儲較大的加數的符號,并用較大數的絕對值減失較小數的絕對值。

實

減法減去一個效等于加上這個數的相反數

數

兩數相乘，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相乘

的

幾個非零實數相乘。積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當

運乘法

負因數有奇數個時，積為負

算

〃個數相乘，有一個因數為0,積為0.

除法兩數相除，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相除

0除以任何一個不等于0的數都得0

幾個相同因數的積的運算，叫做乘方，記作a"(存0,〃為正整數)開方與乘方互為逆運

乘方

算

分級：加減是一級運算。除是二級運算，乘方和開方是三級運算，三級運算的題序是三

運算順序二一、(如果有括號，先算括號內的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行

運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算)

【考點總結】五、實數的大小比較

1.在數軸上表示兩個數的點，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大.

2.正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；兩個負數比較，絕對值大的反而小.

3.取差比較法

(1)Q—6>0U>Q>b；(2)a—b=0^^a=b；(3)Q-6Vo㈡>q<反

4.倒數比較法

若1>1,〃>0,6>0,則a〈B.

ab

5.平方法：因為由。>6>0,可得族,協，所以我們可以把，與g的大小問題轉化成比較。和6的大小問

題.

【注意】

1.比較實數大小的五種方法

(1)絕對值比較法：兩個負數比較大小，絕大值大的反而小

(2)數軸比較法：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大

(3)平方比較法：先將要平方的兩個數分別平方，再根據Q>0力>0時，可由次得到。金來比較大小。

(4)取近以值法：首先對要比較的兩個數取近以值通過比較其近似值來比較兩個數的大小，

(5)差值比較法

2.無理數常見的四種類型

(1)開不盡的數，如J5,W

JI

(2)含有兀的絕大部分數，如71,—

(3)具有特定結構的數，如0.10100000(兩個1之間依次增加1個0)

(4)三角函數數中的一些數，如sin600,cos20°,tan60°.

【技巧歸納】

技巧1:實數大小比較的七種技巧

【類型】一、比較絕對值法

1.比較一砧一2.與一曲一2的大小.

【類型】二、開方法

2.比較71與近的大小.

2

【類型】三、平方法或立方法

3.比較一舊和一71■的大小.

【類型】四、取近似值法

4.比較弱+2與4.3的大小.

【類型】五、放縮法

5.比較#+2與國一2的大小.

【類型】六、作差法

6.比較且皂和3的大小.

22

【類型】七、特殊值法

7.已知T<x<0,將xJ,N,%x按從小到大的順序排列為L

X

參考答案

1.解：V|-^5-2|=^+2,|—^7-2|=V7+2,

而貼〈行，二君.+2<47+2

根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，

可知一弱一2>一由一2.

點撥：比較兩個負數的大小，先比較它們的絕對值，絕對值大的反而小.

點撥：當要判斷大小的兩個數中只有一個數帶根號時，可以給另一個數添加根號，然后比較根號下兩

個數的大小.

3.解：*/(\10)2=10,而10>廬—V10<—it.

點撥：把兩個數都平方，然后比較大小.

4.解::修2.236,；.3+2K4.236.

又；4.236<4.3,.,.砧+2V4.3.

點撥：先求出無理數的近似值，再比較兩個數的大小.

5.解：V2<A/6<3,7<A/57<8,

.?.#+2<3+2=5<后一2,；.#+2〈后一2.

點撥：,比較兩個無理數的大小可以采用放縮法.

6.解：?；岳—13=行-4,而缶—4=行一缶<o,,\^13~4<0,即標—3Vo,.?.岳-1<3

22222222

點撥：先作差，然后與0比較大小，最后確定這兩個數的大小.

7.-<\/x<x<x2

X

點撥：本題可以用特速值法求解，例如取x=—1,則1=-8,/=上與=-1,因此x<x2.

8x642x

技巧2：實數與數軸的關系

【類型】一、利用數軸上的點表示實數

1.已知/=3,那么在數軸上x對應的點（如圖）可能是（）

，號號聿,P：.，

-3-2,-1,0*1*23~~

A.點PlB.點、P4

C.點尸2或點尸3D.點尸1或點尸4

2.如圖，在數軸上表示缶的點可能是（）

PQMN

01234'

A.點尸B.點0C.點MD.點N

【類型】二、利用數軸比較實數的大小

3.實數a,b在數軸上的對應點的位置如圖所示，把一a,-b,0按照從小到大的順序排列，正確的是（）

______III?

a0b

A.—a<0<—J）B.0<—a<-b

C.—b<0<—aD.0<—b<—a

4.表示實數a,6的點在數軸上的位置如圖所示，則。0,b0,H~b.（填“>”

或"V”)

ba0

【類型】三、利用實數與數軸的關系進行計算

5.實數a,b在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡：（-b）2-\a-j3\-\\^-b\+\a-b\.

-2-1012

參考答案

1.D2.C

3.C4.<；<；<

5.解：原式=同+以一\a-A/5|-1\/3一6|+|a-b\=-a+6+a一韻+近一b~\~b-a=b-a.

技巧3：非負數應用的常見題型

【類型】一、絕對值的非負性

1.如果一個數的絕對值為a,那么數。在數軸上（如圖）對應的點不可能是（）

,-0,*“

A.點MB.點。C.點尸D.點N

2.如果|a-2|+|臼=0,那么a,6的值為（）

A.a—1,b—1B.a=-1,b—3

C.a=2,?b=0D.a=0,b=2

【類型】二、偶次方的非負性

3.若（x+3）2=a—2,則a的值可以是（）

A.-1B.0C.1D.2

4.若9+⑶-4）4=o,求戲的值.

【類型】三、算術平方根的非負性

一、■中被開方數a>0的應用

5.如果、『二二人那么a的取值范圍是（）-

A.a>lB.6Z<1C.a=1D.a<\

6.已知x,y都是有理數，且y=Yx—3+他—x+8,求x+3y的立方根.

二、的應用

7.已知x,y是有理數，且,3x+4+伙一3|=0,則盯的值是（）

QQ

A.4B.-4C~D.—

44

8.已知出+3+42丫-4=0,求（x+y）2。18的值.

三、算術平方根的雙重非負性的應用

9.當x為何值時，也x+1+6有最小值，最小值為多少？

10.若三=2,求4而的值.

參考答案

1.A2.C

3.D

4.解：因為/K）,（y—4）4>0,且N+g—4）4=0,

所以x=0,y—4=0,即x=0,y=4,所以a=0.

5.D

6.解：由題意得x—3N）且3—欄0,所以x=3,所以y=8.

3____3______

所以x+3y的立方根為由+3丫=寸3+3x8=3.

7.B

8.解：由題意得x+3=0,2y—4=0,所以x=—3,y—2,所以（》+歹）2。18=（—3+2）2。18=1.

9.解：由算術平方根的雙重非負性得缶工1加，2x.+1>0.

當，2x+l=0,即x=—1時，4工11+6有最小值，最小值為6.

2

10.解：由a+"\/a-2=2得'\）a-2=2—a,所以a—2>0,2—a>0,即a=2,所以Aya+2=Y2+2=2.

【題型講解】

【題型】一、求算術平方根

例1、若一個正方形的面積是12,則它的邊長是（）

A.2A/3B.3C.3亞D.4

【答案】A

【分析】根據正方形的面積公式即可求解.

【詳解】解：由題意知：正方形的面積等于邊長x邊長，設邊長為a,故a?=12,

.*.a=±2V3'又邊長大于0,邊長a=26.故選：A.

【題型】二、求平方根

例2、,也|的平方是（）

A.-72B.41C.-2D.2

【答案】D

【分析】先計算卜后|，然后再計算平方.

【詳解】；卜逝|=友二（血）2=2故選：D.

【題型】三、求立方根

例3、8的相反數的立方根是（）

11

A.2B.—C.~2D.----

22

【答案】c

【分析】根據相反數的定義、立方根的概念計算即可.

【詳解】8的相反數是-8,

-8的立方根是-2,

則8的相反數的立方根是-2,

故選C.

【題型】四、實數與數軸

例4、實數。、6在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是（）

I：II?I?）

-2-1012

A.a>bB.同<同C.a+b>QD.*<0

【答案】D

【分析】先由數軸上a,b兩點的位置確定a,b的取值范圍，再逐一驗證即可求解.

【詳解】由數軸上a,b兩點的位置可知0<b<l,

所以a<b,故A選項錯誤；

|a|>|b|,故B選項錯誤;

a+b<0,故C選項錯誤；

a

—<0,故D選項正確，故選D.

【題型】五、實數比較大小

例5、在下列四個實數中，最小的數是()

A.-2B.-C.0D.73

【答案】A

【分析】正實數都大于0,負實數都小于0,正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而小，據此

判斷即可.

【詳解】解：根據實數大小比較的方法，可得<百，

3

所以四個實數中，最小的數是-2.

故選：A.

【題型】六、無理數的估值

例6、估計(2百+3立卜,；的值應在()

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

【答案】A

【分析】根據二次根式的混合運算法則進行計算，再估算無理數的大小.

【詳解】

(2百+3拒卜A

=2-\/3x+3-\/2x=2+-^6'

V4<6<9,

V2<V6<3,

；.4<2+V6<5,

故選：A.

【題型】七、非負數性質的應用

例7、若實數x,y滿足/二2+(3—y)2=0,則代數式孫一爐的值為.

【答案】2

【分析】常見的非負數的形式有三種：|?|,、萬(d0)，層，若它們的和為零，則每一個式子都為0.

【詳解】

因為聲工NO,(3-y)2>0,

而勺x—2+(3—y)2=0,

所以％—2=0,3一歹=0,解得x=2,y=3,

貝ljxy—x2=2><3—22=2.

【題型】A.實數的運算

例8、計算：(1)4cos300sin600+(-2)-1-(72019-2008)°；

⑵,]-|-2+73tan45°|+(V2-1.41)°.

【分析】提高實數的運算能力，首先要認真審題，理解有關概念；其次要正確、靈活地應用零指數、負整

數指數的定義及實數的六種,運算法則，根據運算律及順序，選擇合理、簡捷的解題途徑.要特別注意把好

符號關.

【詳解】

⑴原式=4x加x/—1—1=3---1=-.

22222

(2)原式=3—2+A/5|+1=3—(2—\6)+1=2+\5.

實數(達標訓練)

一、單選題

1.(2022?湖南?邵陽縣教育科學研究室模擬預測)如圖，實數也一1在數軸上的對應點可能是()

DCBA

-4-3-2-101234

A./點B.B點、C.C點D.D點、

【答案】B

【分析】根據F〈(血)2<22得0<也一1<1，即可得.

【詳解】解：..T2〈（尬）2<2?,

/?1<V2<2

故選：B.

【點睛】本題考查了無理數的估算，解題的關鍵是掌握無理數的大小比較.

2.（2022?廣東?深圳市寶安第一外國語學校三模）下列實數中，最大的數是（）

A.3B.V3C.D.n

【答案】D

【分析】根據實數的大小比較法則，即可求解.

【詳解】解：V-1<V3<3<^,

.??最大的數是》.

故選：D

【點睛】本題主要考查了實數的大小比較，熟練掌握實數的大小比較法則是解題的關鍵.

3.（2022?陜西師大附中模擬預測）4的算術平方根是（）

A.±2B.±72C.2D.72

【答案】C

【分析】根據平方與開平方互為逆運算，可得一個正數的算術平方根.

【詳解】

二4的算術平方根是2；

故選：C.

【點睛】本題考查了求一個數的算術平方根，平方與開平方互為逆運算是求一個正數的算術平方根的關鍵.

4.（2022?廣東北江實驗學校三模）下列說法不正確的是（）

A.1的平方根是土（B.（-0.1『的平方根是±0.1

C.-9是廊的算術平方根D.V=27=-3

【答案】C

【分析】根據平方根、算術平方根、立方根的定義即可解答.

【詳解】解：A.1的平方根是土;，說法正確，不符合題意；

B.（-SI）?的平方根是±0.1,說法正確，不符合題意；

C.781=9,9的算術平方根是3,說法錯誤，符合題意;

D.V=27=-3,說法正確，不符合題意.

故選c.

【點睛】本題主要考查了平方根、算術平方根、立方根的定義等知識點，正確理解相關定義成為解答本題

的關鍵.

5.（2022?浙江麗水-T?模）與芯最接近的整數是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】用夾逼法估算無理數的大小即可得出答案.

【詳解】解：：4<5<6.25,

；.2<V5<2.5,

.??與否最接近的整數是2.

故選：C.

【點睛】本題考查了估算無理數的大小，無理數的估算常用夾逼法，用有理數夾逼無理數是解題的關鍵.

二、填空題

6.（2022?浙江金華?一模）如圖所示，數軸上表示1,有的點分別為N,B,且=（C在/的左側）,

則點C所表示的數是.

,q,___4」，______>

0~2

【答案】3-2月

【分析】根據數軸上兩點之間的距離公式，由G4=2/8列式即可求出點。所表示的數.

【詳解】解：設點C所表示的數為。，

?..點/、3所表示的數分別是1、百，且由圖知2在/的右側，

?.?點/、。所表示的數分別是1、c,且由圖知C在/的左側，

/.CA=1—Cf

???CA=2AB,

=解得c=3-2日

.??點C所表示的數是3-26,

故答案為：3-273.

【點睛】本題考查了實數與數軸的對應關系及數軸上兩點之間的距離公式，采用了“數形結合”的數學的思想

是解決問題的關鍵.

7.(2023?福建莆田?二模)計算：V9+(-3)°=.

【答案】4

【分析】根據求一個數的算術平方根，零次幕進行計算即可求解.

【詳解】解:原式=3+1=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了求一個數的算術平方根與零次幕的性質，正確的計算是解題的關鍵.

三、解答題

8.(2022?遼寧沈陽?二模)計算：2x(-3)-后+卜7|+［，

【答案】0

【分析】先根據有理數乘法法則，算術平方根，絕對值的性質，負整數指數幕化簡，再合并，即可求解.

-2

【詳解】解：2X(-3)-V25+|-7|+

=—6—5+7+4

=0

【點睛】本題主要考查了實數的混合運算，熟練掌握有理數乘法法則，算術平方根，絕對值的性質，負整

數指數轅是解題的關鍵.

9.(2022?廣東?深圳市南山外國語學校三模)計算：-3+必7+0+(g?.

【答案】|

【分析】化簡絕對值，二次根式的性質以及立方根進行計算即可求解.

【詳解】解：原式=《+2-2+2

2

_5

~2'

【點睛】本題考查了實數的混合運算，正確的計算是解題的關鍵.

實數（提升測評）

一、單選題

1.（2022?河北唐山?一模）估計廊xj+次的值應在（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

【答案】C

【分析】先化簡二次根式，再估算無理數的大小即可得出答案.

【詳解】解：原式=加+通

=372+272

=5/

=屈，

?/49<50<64,

/.7<750<8，

故選：C.

【點睛】本題考查了估算無理數的大小，二次根式的混合運算，無理數的估算常用夾逼法，用有理數夾逼

無理數是解題的關鍵.

2.（2022?河北?一模）已知y=++,則代數式石-亦的值為（）

A.-V2B.-V3C.V2D.V3

【答案】A

【分析】根據二次根式的非負性可知x=8,從而得到V,代值求解即可.

【詳解】解：對于>=6^+JT7+18,

*.*Jx-820,x20,

fx-8>0?.,

、C，解得X=8,則y=18,

[8-x>0

-6=瓜一屈=26-3也=-亞,

故選：A.

【點睛】本題考查利用二次根式非負性求值，涉及到二次根式的運算，熟練掌握二次根式非負性是解決問

題的關鍵.

3.（2022?山東臨沂?二模）實數6在數軸上的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

------,--------------?--------?-------?

a0b

A.a>-bB.|a|>\b\C.b—a<0D.a+b>0

【答案】B

【分析】直接利用數軸上a,6的位置進行比較得出答案.

【詳解】如圖所示，a<0<bS.\a\>\b\,

a<-b,故A錯誤；

同>同，故B正確；

b-a>0,故C錯誤；

a+b<Q,故D錯誤；

故選B.

【點睛】本題主要考查了實數與數軸，正確應用數形結合是解題的關鍵.

4.（2022?河北廊坊?一模）a、6為兩個連續整數，若則的值為（）.

A.B.±2百C.V72D.±60

【答案】A

【分析】求出Jm的范圍：3<麗<4,即可求出的值，代入計算即可.

【詳解】解：：3<&U<4,a<410<b

?：a,6為兩個連續的整數，

a=3,6=4,

**?y/ab=，3x4=y/\2=2-\/3?

故選：A.

【點睛】本題考查對無理數的大小比較的應用，解此題的關鍵是求出J證的范圍.

5.（2020?湖南永州一模）已知：⑶表示不超過x的最大整數，例：[3.9]=3,[-1.8]=-2,令關于左的函數

「左+1kl「3+131

/（k）=-"是正整數），例：/（3）=—=1,則下列結論錯誤的是（）

A./(1)=0B./(左+4)=/的

C.以人+1)”(左)D./⑹=0或1

【答案】C

【分析】根據新定義的運算逐項進行計算即可做出判斷.

【詳解】A.f(1)==0-0=0,故A選項正確，不符合題意;

k+4+lk+41k+1]rkk+1k+1-i「k

B.f(k+4)=]-[1+---------1+—丁卜。

444」L44

所以f(k+4)=f(k),故B選項正確，不符合題意;

k+1+lk+1k+2號，佃=k+11k

C.f(k+l)=丁卜r匕，

444

3+23+13+ln3

當k=3時，f(3+1)==0,f(3)=工喝r=1，

44

此時f(k+l)<f(k),故C選項錯誤，符合題意;

D.設n為正整數,

4n+l-4n-

當k=4n時,f(k)=-=n-n=0,

44

-4n+2~~4n+r

當k=4n+l時，f(k)=-=n-n=0,

44

Zn+3一Zn+2-

當k=4n+2時，f(k)—=n?n=0,