數列

一、選擇填空題

1.(江蘇2004年4分)設數列｛aj的前n項和為S”，(對于所有n'l),且—=54,則%

2

的數值是一

▲.

【答案】2。

【考點】數列的求和。

【分析】根據。4=S4-S3列式求解即可：

.T),“產54,且“FSLS3,

2

...[(3Jl)/(33—1)=54,解得2。

22

2.(江蘇2005年5分)在各項都為正數的等比數列｛%｝中，首項％=3,前三項和為21,則%+%+。5=

[]

A.33B.72C.84D.189

【答案】Co

【考點】等比數列的性質。

【分析】根據等比數列｛%｝中，首項4=3,前三項和為21,可求得q,根據等比數列的通項公式,

分別求得出，4和。5代入。3+。4+。5，即可得到答案：

:在各項都為正數的等比數列｛凡｝中，首項%=3,前三項和為21,3+3q+3/=21。；.q=2。

_1234

Aan=3x2"oAa3+a4+a5=3x(2+2+2)=3x28=840故選C。

3.(江蘇2006年5分)對正整數〃，設曲線y=x"(l-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為明,

則數列[懸]的前n項和的公式是▲

【答案】2,1+1-2o

【考點】應用導數求曲線切線的斜率，數列通項公式以及等比數列的前"項和的公式。

【分析】?/y=xn(l-x),：.y'=nxn-'-(?+l)x,!?

曲線y=7'(l-x)在x=2處的切線的斜率為左=〃2"T-("+l)2",切點為(2,—2")。

所以切線方程為y+2"=[”2'T—(a+l)2"](x—2)。

把x=0,y=a”代入，得4=(〃+1)2"。；.上一=2"。

〃+]

???數列[1的前〃項和為2+2?+23+…+2〃=2^i_2。

U+1J

4.(江蘇2008年5分)將全體正整數排成一個三角形數陣：

1

23

456

78910

1112131415

按照以上排列的規律，第〃行(〃N3)從左向右的第3個數為▲

【考點】歸納推理，等比數列的前〃項和。

"2_幾

【分析】前n—1行共有正整數1+2+…+(H-1)個，即-----個，

2

???第n行第3個數是全體正整數中第+3個，即為^一上二。

22

6.(江蘇2009年5分)設｛6｝是公比為q的等比數列，舊|>1,令2+1(〃=1,2,),若數列抄“｝

有連續四項在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，則6。=▲.

【答案】-9。

【考點】等比數列的性質，數列的應用，等價轉化能力和分析問題的能力。

【分析】??““=q+1(〃=1,2,),數列也“｝有連續四項在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，

｛可｝有連續四項在集合｛-54,-24,18,36,81｝中。

按絕對值的順序排列上述數值，相鄰相鄰兩項相除發現一24,36,-54,81成等比數列,

3

是｛aj中連續的四項，比為q=

6q=—9。

7.（江蘇2010年5分）函數y=x2（x>0）的圖像在點（以，.J）處的切線與無軸交點的橫坐標為以+「

k為正整數，4=16,則q+/+%=▲

【答.案】21。

【考點】拋物線的性質，函數的切線方程,數列的通項。

【分析】求出函數y=x?在點（4,a/）處的切線方程，然后令y=0代入求出x的值，再結合勾=16得

到數列的通項公式，再得到%+%+%的值：

函數y=/在點（%,）處的切線方程為：y-aj=2%（x—W）,當y=0時，解得》=今。

??a&+j——~o?.q+/+%=16+4+1=21。

8.（江蘇2011年5分）設1=%<4<—<。7，其中。1，。3，。5，%成公比為4的等比數列，。2，。4，。6

成公差為1的等差數列，則q的最小值是▲

【答案】V3o

【考點】等差數列、等比數列的意義和性質，不等式的性質。

223

【分析】由題意得，a2>1,a3=q>a2fa2+1>q>a2+1,a2-^-2>q,q>a2+2

???要求q的最小值，只要求出的最小值，而。2的最小值為1，

>?2+2>1+2=3o/.<7>V3o

9、（2012江蘇卷6）現有10個數，它們能構成一個以1為首項，-3為公比的等比數列，若從這10

個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是.

【解析】組成滿足條件的數列為：L—3,9.—27,81,-243,729,-2187,6561,-19683.從中隨機取出一個

3

數共有取法10種，其中小于8的取法共有6種，因此取出的這個數小于8的概率為二.

【點評】本題主要考查古典概型.在利用古典概型解決問題時，關鍵弄清基本事件數和基本事件總數,

本題要注意審題，“一次隨機取兩個數”，意味著這兩個數不能重復，這一點要特別注意.

10、（2013江蘇卷14）14.在正項等比數列｛4｝中，%=g，+a7=3,則滿足

（+4+…+4〉為出…。"的最大正整數〃的值為

答案：14.12

二、解答題

1.（江蘇2004年12分）設無窮等差數列｛a｝的前n項和為S”.

（I）若首項％=］,公差d=l,求滿足5/=（SQ2的正整數k;

（II）求所有的無窮等差數列｛4｝,使得對于一切正整數化都有=（4）2成立.

［答案］解：（I）當=1時，S=na,+―—<7=—n+——=—zz2+n

122222

由%=（Sj,得94+%2=（*2+左）2,即左3（；左—IQ。。

又上中0,所以左=4。

（H）設數列｛a.｝的公差為d,則在S）,=（SR）2中分別取％=1,2,得

S_（S）24］=（1）

《，即《4x32x1'。

S=（S）24%+——1=（24+——［尸質）

42、22

M或3或〃]=1

解得

小d=2

若q=0,1=0,則a“=0,S“=0,從而S『=(SQ2成立;

若q=0,d=6,貝必“=6("—1),由邑=18,($3尸=324,5“=216知的。(邑了,

故所得數列不符合題意。

若4=1,4=0,則%=1,5“=〃,從而.=(SJ成立;

若q=l,d=2,貝！=2〃-1,Sn=1+3++(2〃-1)=〃2,從而5=(5")2成立。

綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數列：

①{8}:a=0,即0,0,0,…；

②{4}:a=1,即1,1,1,?--;

③{&}:^=2n—1,即1,3,5,…。

【考點】等差數列的通項公式，等差數列的性質。

【分析】（I）利用等差數列的求和公式表示出前n項的和，代入到=（SQ2求得左。

（II）設數列｛4｝的公差為d,在Sn2=（Sn）2中分別取左=1,2求得見,代入到前n項的和中

分別求得d,進而對可和d進行驗證，最后綜合求得答案。

2.（江蘇2005年14分）設數列｛%｝的前“項和為S"，已知％=1,電=6,%=11，且

（5H-8）S?+1-（5/i+2）S?^An+B,n=1,2,3,-??,其中A.B為常數.

⑴求A與B的值；（2分）

⑵證明：數列｛%｝為等差數列；（6分）

⑶證明：不等式庖二-向%>1對任何正整數小,“都成立.（6分）

【答案】解：（1）由已知，得S]=%=1,S2=ax+a2=7,S3—=18,

由(5/7—8)S“+]—(5"+2)S“=An+B,知

—3s2—7S]=A+BA+B=-28

即4

<2S-12S=2A+B解得A=—20,5=—8。

322A+B-48

(2)由(1)得(5〃-8)S,+i—(5〃+2)S“=—20〃一8①

；?(5〃-3)S〃+2-(5n+7)S〃+i=-20H-28②

②—①得，(5〃-3電+2-(10〃-1電+]+(5"+2電=-20③

???(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)S?+1=-20④

④一③得(5九+2電+3一(15〃+6)S“+2+(15n+6)5,i+1-(5n+2)5.=0。

'''%=S"+i—S”,：.(5n+2)an+3-(lOn+4)an+2+(5n+7)an+1=0?

(5"+2)H0，an+3-2an+2+an+1=0oan+3-an+2-an+2-an+1,n>l?

又：%—電=。2-%=5，，數列｛4｝為等差數列。

(3)由(2)可知”氏=1+5(〃-1)=5〃一4,

要證庖二->1，只要證5ami>1+aman+

因為*m=5nm-4,aman=(5m-4)(5〃-4)=25rm-20(加+n)+16,

故只要證5(5加〃-4)>1+25mn-20(m+n)+16+2^aman,

即只要證20m+20〃-37>2ja,,4。

因為

2^Jaman<am+an=5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20/n+20n-37,

由于以上過程是可逆的，所以命題得證。

【考點】數列的應用。

—3s2—7S]=A+B

【分析】(1)由題意知,從而解得A=—20,B=-8o

2s3-12S2=2A+B

(2)由(I)得(5〃—8)S.+i—(5〃+2)S,=—20〃—8,所以在式中令〃="+l,可得

(5H-3)S〃+2—(5〃+7)S〃+i=-20n-28.

由此入手能夠推出數列｛an｝為等差數列。

(3)由(2)可知，％=1+5("-1)=5〃—4,然后用分析法可以使命題得證。

3.(江蘇2006年14分)設數列｛%｝、也J、｛c“｝滿足：bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2

(n=l,2,3,

證明｛為｝為等差數列的充分必要條件是｛c,｝為等差數列且6“(〃=1,2,3,…)

【答案】證明：必要性：設｛%｝是公差為4的等差數列，則

2+1-2=(%-an+3)一(。〃-4+2)=(%一?)-(%+3-4+2)=4-4=0。

bn<bn+l(n=l,2,3,?--)成立。

又c〃+i一%=(4+1一。〃)+2(。〃+2-%)+3(/+2-4+2)=4+24+3&=64(常數)

(n=l,2,3,,,,)

???數列｛%｝為等差數列。

充分性：設數列｛%｝是公差為4的等差數列，且(”1,2,3,…),

c=a+

,nn2"”+i+3。“+2①，??cn+2=a?+2+2a鵬+3an+4②，

①一②得cn-cn+2=(a?-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+l+3bn+2。

又?:c”~c?+2=(cn-%+J)+(c“+|-g+2)=一2心，'-bn+2bn+l+3bn+2=-2d2③。

從而有bn+l+2a+2+3bn+3=-ld2④。

...④一③得(2+]-〃)+2(4+2-2+1)+3(4+3-2+2)=。⑤。

??.一%]，即%"o,bn+2-bn+l>G,bn+3-bn+2>Q,

，由⑤得*i=0(n=l,2,3,…)。

由此不妨設d=〃3(〃=1,2,3,…)則%-4什2=/(常數)。

由此cn=an+2an+i+3an+2=4a“+2a/l+I-3d3@,

從而c?+1=an+l+2%+2+3a,+3=4a?+1+2a?+2-34=4a?+1+2%-5d3⑦。

.?.⑦一⑥得cn+1-cn=(4%+2an-5J3)-(4a?+2a,用-3/)=2(an+l-an)-2d3?

a〃+i—a”=5(cc+1—Cc)+d3=—d2+4(常數,=1,2,3,,,,)°

所以數列｛a.｝是等差數列。

【考點】等差數列的性質，必要條件、充分條件與充要條件的判斷。

【分析】本題主要考查等差數列、充要條件等基礎知識，考查綜合運用數學知識分析問題、解決問題

的能力，理解公差d的涵義，能把文字敘述轉化為符號關系式.利用遞推關系是解決數列的重要方法，，

熟練掌握等差數列的定義、通項公式及其由來。

5.(江蘇2007年16分)已知｛a“｝是等差數列，｛a｝是公比為q的等比數列,見=配出=dN見，

記乂為數列｛"｝的前八項和，

(1)若為=m(加,女是大于2的正整數)，求證：Sj=(〃z—l)q；(4分)

(2)若&是某一正整數)，求證：q是整數，且數列｛4｝中每一項都是數列｛4｝中的項；(8

分)

(3)是否存在這樣的正數q,使等比數列｛么｝中有三項成等差數列？若存在，寫出一個q的值，并

加以說明；若不存在，請說明理由；(4分)

【答案】解：設｛4“｝的公差為d,由％=4，4=dw%，知d=G](q—1)(qw0)

(1)證：4=am,

qq'T=%+(m—l)q(q—1),qk~'=l+(m—1)(^—1)=2—m+(m—1)^?

?=--1—w—i)q)/

i-qq

(2)證：:A=qq2,〃,=q且&=4，

q1=l+(z-1)(^-1),q1-(z-1)+(z-2)=0,

解得，q=1或q=1一2,但w1,q=i-2o

??,i是正整數，???i—2是整數，即q是整數。

+

設數列｛"｝中任意一項為bn=q/i(neN),

設數列｛a“｝中的某一項a?,=q+(加一1)。1(q-l)(機eN*｝

現在只要證明存在正整數機,使得仇=味，即在方程%"T=%+(加—i)%(q—1)中

m有正整數解即可。

H-11

c〃一2

.*qn1=1+(m—1)(^—l),m—1=--------=1+qq2+q

qt

n2

:?iri=2+q+夕2+qo

右i=1,則q——1,那么Z?2W-i=b、=4，b2rl—b?—a?。

當i23時，:q=4，a2=b2,只要考慮〃N3的情況,

:&=q,iN3,，q是正整數。，加是正整數。

數列｛々｝中任意一項為a=adi("wN+)與數列｛4｝的第2+q+/+0-2項

相等，從而結論成立。

(3)設數列｛。〃｝中有三項勾，2,Z?p<〃v租，川,pwN+)成等差數列，則有

nlmxp

2axq-=aiq-+axq-\

設〃一加=羽P_〃=y,(x,y￡N+),貝U2=二+。

令X=l,y=2,則，_2q+]=0,(夕一1)(d+g_1)=0。

x/5-1

丁qW1,?，?/+q—1=0,解得q=—-—(舍去負值)o

1+

即存在q=宮二使得｛bn｝中有三項bm,bm+l,bm+3(meN)成等差數列。

【考點】數列的求和，等差數列的性質，等比數列的性質

【分析】(1)設｛4｝的公差為d，由。1=白，把仇=(代入。或"'?"，即可表示出S-,題設得

證。

1

(2)禾!1用i>3=aiq,a1=(\+(z-l)a1(^-1),可得

=1+(i—1)(q—1),即d—?—1)q+(i—2)=0,整理即可求得“=i—2,從而可判定『一2是整數,

即q是整數。設數列｛以｝中任意一項為勿=a0i(“eN+),設數列｛4｝中的某一項

+

am=a1+(m-l)o1(^-1)(me7V),只要證明存在正整數機，使得仇=勺，即在方程

%q"T=4+(m—l)4(q—1)中加有正整數解即可。

(3)設數列｛4｝中有三項0,2,女(m<〃<p,m,”,pwN+)成等差數列，利用等差中項的

性質建立等式，設=x,p—九=y,(x,yeN+),從而可得以2=4+(7>,令x=l,y=2”求

得qo

6.(江蘇2008年16分)(1)設4,出，?,％是各項均不為零的〃(〃三4)項等差數列，且公差d20,

若將此數列刪去某一項后得到的數列(按原來的順序)是等比數列.

(i)當"=4時，求色的數值；

(ii)求〃的所有可能值.

(2)求證：對于給定的正整數“524),存在一個各項及公差均不為零的等差數列3%,bn,

其中任意三項(按原來的順序)都不能組成等比數列.

【答案】解：(1)(i)當n=4時，％,4，%，%中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續三項

成等比數列，則推出廬0。

若刪去4，則即(q+2d尸=%?(q+3d)化簡得q+4d=0,得以=-4。

一d

若刪去生，則即(q+1了=%,(4+3d)化簡得%—d=0,得」*=1。

一d

綜上，得&=-4或色=1。

dd

(ii)當77=5時，％,生,％,。4，。5中同樣不可能刪去“1，。2，。4，。5，否則出現連續三項。

若刪去?，則q?%=。2，即%(%+4d)=(q+d>(q+3d)化簡得3d2=0,因為d，0,

所以為不能刪去；

當時，不存在這樣的等差數列。事實上，在數列%,出,%，「a”-，4」為中，由于不能刪

去首項或末項，若刪去自，則必有％,，an-2，這與dwO矛盾；同樣若刪去也有

a

-an這與d/0矛盾；若刪去名，，，。“_2中任意一個，則必有,n-i>這與d#0

矛盾。(或者說：當〃》6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續的三項)。

綜上所述，n=4o

(2)假設對于某個正整數〃，存在一個公差為d的〃項等差數列仇力2,……bn,

其中2+i，4+i，么+「(0Kx<y<z<"-l)為任意三項成等比數列，

222

則%+i=-+i也+i,即也+yd)=.+xd)?(偽+zd),化簡得(y-xz)d=(x+z-2y)brd

(*)

由々dwO知，產-xz與x+z-2y同時為0或同時不為0。

當一雙與x+z-2y同時為0時，有x=y=z與題設矛盾;

故丁―亞與x+z—2y同時不為0,所以由(*)得勾=上士_

dx+z-2y

V0<%<y<z<n—1且x.、y、z為整數，，上式右邊為有理數，從而4為有理數。

d

???對于任意的正整數九（"24）,只要上為無理數，相應的數列就是滿足題意要求的數列。例如〃項

數列1,1+5/2,1+272,……，1+5-1）也滿足要求。

【考點】等差數列的性質，等比關系的確定，等比數列的性質

【分析】（1）根據題意，對〃=4,〃=5時數列中各項的情況逐一討論，利用反證法結合等差數列的性

質進行論證，從而推廣到"24的所有情況.

（2）利用反證法結合等差數列的性質進行論證即可。

7.（江蘇2009年14分）學設｛〃“｝是公差不為零的等差數列，S,為其前”項和，滿足

出2+？2=%2+%2,S7=7。（1）求數列｛%｝的通項公式及前"項和S“

（2）試求所有的正整數相，使得43為數列｛%｝中的項。，

am+2

【答案】解：（1）設公差為d,則國—由性質得—3d（〃4+々3）="（。4+。3）。

dw0,?\/+%=°，即2%+5d=0。

又由S7=7得7〃]H—-—d=7,解得4=-5,d=2。

???數列｛“〃｝的通項公式為=2〃一7；前〃項和=n2-6n0

（2）:=（”“，+2―4）（冊+2—2）=2〃?_9+為數列（a1中的項，

a

m+2?m+22機一3"

Q

為整數，且加為正整數，，優=1,2。

2m-3

經檢驗，符合題意的正整數只有m=2。

【考點】數列的求和，等差數冽的性質。

【分析】（1）先把已知條件用q及d表示，然后聯立方程求出q,d代入等差數列的通項公式及前〃

項和公式可求。

（2）先把已知化簡可得殳％a=2m-9+」一，然后結合數列｛4｝的通項公式可尋求加滿

限2m-3

足的條件。

8.（江蘇2010年16分）設各項均為正數的數列｛??｝的前n項和為S）,，已知2%=%+%，數列店）

是公差為d的等差數列。

（1）求數列｛%｝的通項公式（用〃，△表示）；

(2)設c為實數，對滿足加+〃=3左且加的任意正整數機,“次，不等式S,“+S”〉cSk都成立。

9

求證：c的最大值為

2

【答案】解：(1)由題意知：d>0,卮=店+(〃一1)4=冊+(〃-1)4

2a2=4+/=>3?2=$3=>3(52-51)=53,3[(^a^+d)~-a^=(y[a^+2d)~,

22

化簡，得：a｛--d+d=0,=d,al=d

yJ~S^=d+(n—V)d=nd,Sn=rrd~>

當2時，%=s“—S,i=/?d2—(〃—1)2/2=(2〃—1)/2,適合”=1情形。

故所求4=(2"-1)儲。

22

222222222m

(2)Sm+Sn>cSk=>md+nd>c-kd=>m+n>c-k,c<+〃恒成

rnTIKi2.

立。

"廣+"29

又加+”=3左且機￥n,2(療+“2)>(m+n)2=9k2=>-----——>—,

k2

故cK‘9，即c的最大值為9二。

22

【考點】等差數列的通項、求和以及基本不等式。

【分析】(1)根據等差數列的通項公式，結合已知，列出關于％、d的方程，求出生,從而推出S“，

再利用可與S“的關系求出％。

(2)利用(1)的結論，對S,“+S”>cS尢進行化簡，轉化為基本不等式問題求解，求出c的最

大值的范圍。

9.(江蘇2011年16分)設M為部分正整數組成的集合，數列｛氏｝的首項為=1,前n項和為S.，

已知對任意整數上屬于M,當">左時，S"+&+S,』=2(S“+SQ都成立.

(1)設舊｛1｝,%=2,求生的值；(2)設后｛3,4｝,求數列｛4｝的通項公式.

【答案】解：(1)由題設知，當“22時，Sn+1+S,i=2(S,+SI即(Sn+1-Sn)-(Sn-S,7)=21,

?,an+\~an~2al—2O

又&=2,...當“之2時，an-a2+2(n-2)=2H-2,%的值為8。

(2)由題設知，當左e"={3,4},

且〃〉上時，Sn+k+Sn_k=2(S"+SQ且Sn+M+Sn+l_k=2(S"+i+Sk),

兩式相減得an+1+k-an+1_k=2an+1,即an+1+k-an+1=an+l_k-an+l,

.?.當—8時,a.6，%,an,an+3,an+6成等差數列,且an_6,an_2,an+2,an+6也成等差數

列。

二當〃-8時,2an=an+3+an_3=an+6+an_6(*),且an+2+an_2=an+6+an_6。

.,.當—8時,2an=an+2+an_2,^an+2-an=an-an_2.

.,.當—9時,a.3,%_],an+1,限成等差數列,從而an+3+j=an+l+an?。

?1?由(*)式知2%=an+l+%,即an+1-an=an-an_x。

???當時，設d=一。〃t，當2W根<8時，m+6>8,從而由(*)式知

2。冽+6=4機+am+n

aa2

**?2am+7=m+l+m+13，從而(^?+7-%+6)=。冽+1-+(〃m+13一〃根+12，

〃加+1—〃加—2d—d=do—d,對任意都nN2成立。

又由Sn+k+s…-2Sn=2SkUe{3,4})可知(SM-SJ-(Sn-Sn_k)=2幾,

7

，9』=253且16〃=254。解得%=]d。

._3,_L

??—afcii—cio

2212

數列{氏}為等差數列，由%=1知d=2,所以數列{%}的通項公式為%=2〃—1。

【考點】數列遞推式，數列與函數的綜合。

【分析】(1)由集合M的元素只有一個1,得到左=1,所以當“大于1即”大于等于2時

S田+S」=2⑸+S4),都成立，變形后，利用％=1化簡，得到當〃大于等于2時，此數列除去

首項后為一個等差數列，根據第2項的值和確定出的等差寫出等差數列的通項公式，因為5大于2,

所以把九=5代入通項公式即可求出第5項的值；

⑵由S3+S〃Y=2⑸+，)，利用數列遞推式得到(S〃+&-S〃)—S,一*)=2S一從

而求出d=2,得到數列｛凡｝的通項公式。

10.（江蘇2011年附加10分）設整數〃24,尸（。乃）是平面直角坐標系%Oy中的點，其中

a,bw｛1,2,3,…，〃>a>b.

（1）記4為滿足5=3的點P的個數，求4；

（2）記紇為滿足g（a-?是整數的點P的個數，求用.

【答案】解：（1）???點尸的坐標滿足條件l〈b=a—3W〃—3,A“=〃—3。

（2）設左為正整數，記/，（左）為滿足條件以及a-3=3左的點尸的個數。只要討論

工,伏）21的情形。

由1<Z?=。一3左<〃一3左，知力（左）=〃一3左，且左V

設〃-1=3"+廠，其中加￡N*/￡｛0,1,2｝,則上《加,

m(2n—3m—3)

B?=￡于4k)=f(〃-3k)=mn-'嗎+1)

k=lk=TL2

n-l-r（?-l）（n-2）r（r-l）

將m=-------代入上式，化簡得Bn=----------------------，

366

〃（〃―3）,.是整數

Bn=<6八3。、。

（〃―1）（〃-2）,不是整數

163

【考點】計數原理，數列遞推式。

【分析】（1）.4〃為滿足a-8=3的點P的個數，顯然尸（。力）的坐標的差值，與4中元素個數有關,

直接寫出4的表達式即可。

（2）設左為正整數，記力，（左）為滿足題設條件以及a—6=3左的點尸的個數，討論力（左））1

〃一1

的情形，推出力（幻=”一3左，根據左的范圍左W亍，說明〃-1是3的倍數和余數，然后求出紇。

an+b1

11.（2012年江蘇省16分）已知各項均為正數的兩個數列｛&｝和｛〃｝滿足：an+｝=',

A/+bn

nGN*,

(.1)設2+1=1+%,neN*,求證：數列田是等差數列；

a”[⑷

(2)設么+]=、/，?%,MN*,且｛?｝是等比數列，求4和4的值.

b猴+%

【答案】解：（1）???6,+1=1+2,.*5“+]=

d+b,

樂+1

=l（zzeN*）

b\

.??數列”是以1為公差的等差數列。

\an)

???4>0,bn>0,.?.（—/）<。：+片<@+2

V應。(*)

設等比數列｛凡｝的公比為q,由4>0知q>0,下面用反.證法證明4=1

n

若q>1,則q二"<。24虎，，當〃）logg——時，an+1=axq>yfl,與

n

若0<q<l,則白二">七>1,，當〃>log,時，an+i=axq<1,與(*)矛盾。

q,色

，綜上所述，4=1。?,?冊=%(neN*),\<ax<42o

又???么+i=行?%=克?0(〃￡N*),???｛bn｝是公比是變的等比數列。

冊ai

若見于近,則^^>1,于是4</?2<0。

%一

2

%+么即可=,得匕fl±fl2g

又由4+1q+4,iiv-i

an+bn?i2+V'”『T

:?如b2,巴中至少有兩項相同，與許vb2Vb3矛盾。，凡二立。

=^2o

：?bn=

%=b2=y[lo

【考點】等差數列和等比數列的基本性質，基本不等式，反證法。

T7,I/,\2

【解析】⑴根據題設%+i=a”和么+i=i+—,求出口=/+組，從而證明

qa：+b：anan+lV\any

/,\2/\2

_生=1而得證。

a

l%+17\nJ

（2）根據基本不等式得到1〈/+i=%："V垃,用反證法證明等比數.列｛q｝的公比

擊j+必

q=lo

從而得到an=aAneN*）的結論，再由2口=0?%=正.，知也｝是公比是也的等比數列。最后

用反證法求出ax=b2=^2o

12、（2013江蘇卷19）19.本小題滿分16分。設｛〃〃｝是首項為。，公差為d的等差數列（dw0）,S〃

是其前〃項和。記％=孚」，neN*,其.中c為實數。

n+c

（1）若c=0,且%用，印成等比數列，證明：.S"&=/s&（k,〃eN*）；

（2）若｛々｝是等差數列，證明：c=0o

13.本小題滿分16分。

設函數/(x)=lnx-ox,g(x)=e*-ax,其中a為實數。

(1)若/'(X)在(1,+8)上是單調減函數，且g(x)在(l,+oo)上有最小值，求。的取值范圍；

(2)若g(x)在(-1,+8)上是單調增函數，試求/Xx)的零點個數，并證明你的結論。

19.證明：???{4}是首項為以，公差為d的等差數列(d/0),S”是其前幾項和

"(〃一1)

?.S=naH-------a

n2

O1

(1)*.*c=0b=--—a+——d

nn2c

箝2

1293

Vbvb2,“成等比數列b2=b?4(a+—d)=a(a+—d)

**?—ad——0**?—d(ad)-0***d0ci——d：?d=2cl

24222

0n(n-1)7n(n-1).

S=na-\----------a=na-\-----------2a=n2a

n22

二?左邊二S成=(nk)2a=n2k2a右邊二Ms4-〃2k2a

：.左邊二右邊原式成立

(2)???{b〃}是等差數列.??設公差為4,???〉=4+(〃—1)4帶入第=等匚得:

n+c

nS]]

+

b]+(72—1)4——2~~~二(4—d)/+(b]—d]—ciH—d)"+cd1九—c(&-)對nGN恒成

n+c22

d[——d=0

<b>—d、—ci—d=0

2

cd】=0

c(4-4)=0

由①式得：4=gd*.*dw04w0

由③式得：c=0

、工一、十/八什八e/八7cn[(n-l)d+2a].(n-V)d+2a

法一，：證：⑴右則=〃+(〃一

c=0,axl)d,Sn=---------2----------,h〃=--------2--------.

當bpb2,b4成等比數列,及=bh,

即：+