函數B（真題匯編）2023年湖南省各市中考數學試題全解析版

一.選擇題（共8小題）

1.（2023?邵陽）如圖，矩形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在反比例函數y=K（原0）

X

的圖象上，點8的坐標為（2,4）,則點E的坐標為（）

A.（4,4）B.（2,2）C.（2,4）D.（4,2）

2.（2023?株洲）如圖所示,直線/為二次函數y（存0）的圖象的對稱軸，則下列說法正

確的是（）

y八

A

ox

A.b恒大于0B.a,b同號

C.a.b異號D.以上說法都不對

3.（2023?懷化）已知壓力F（N）壓強P（尸。）與受力面積S（,n2）之間有如下關系式：F=PS.當

F為定值時，如圖中大致表示壓強P與受力面積S之間函數關系的是（）

Pi

4.（2023?邵陽）已知Pi（xi,y\）,P2（x2,y2）是拋物線y=ax^+Aax+i（a是常數，存0）上的點,

現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x=-2；②點（0,3）在拋物線上；③若xi>X2

>-2,則yi>）2；④若yi=y2,則xi+x2=-2,其中，正確結論的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2023?衡陽）已知m>n>0,若關于x的方程7+2x-3-m=0的解為x\,xi[x\<xi）,關于x

的方程，+2x-3-〃=0的解為X3,X4（X3<X4）.則下列結論正確的是（）

A.X3<XI<X2<X4B.XI<X3<X4<X2

C.Xi<X2<X3<X4D.X3<X4<X\<X2

6.（2023?永州）已知點M（2,a）在反比例函數y上的圖象上，其中a,%為常數，且Q0,則點

M一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（2023?株洲）下列哪個點在反比例函數的圖象上？（）

A.Pi(1.-4B.尸2(4.-1C.尸3(2,4D-P4（2V2,V2）

8.（2023?懷化）如圖，反比例函數了=K（%>0）的圖象與過點（7,0）的直線AB相交于A、B

X

兩點.已知點A的坐標為（1,3）,點C為x軸上任意一點.如果SAABC=9,那么點C的坐標為

)

y

A.(-3,0)B.(5,0)

C.(-3,0)或(5,0)D.(3,0)或(-5,0)

二.填空題（共4小題）

9.（2023?衡陽）在平面直角坐標系中，點P（-3,-2）所在象限是第象限.

10.（2023?婁底）函數），=五百的自變量x的取值范圍是.

11.（2023?長沙）如圖，在平面直角坐標系中，點A在反比例函數y=區（k為常數，Q0,x>0）

X

的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B,連接04.若"AB的面積為空，則k

12

12.（2023?郴州）在一次函數y=（A-2）x+3中，y隨x的增大而增大，則k的值可以是

（任寫一個符合條件的數即可）.

=,解答題（共12小題）

13.（2023?郴州）在實驗課上，小明做了一個試驗.如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個

物體，在右邊托盤B（可左右移動）中放置一個可以裝水的容器，容器的質量為5g.在容器中加

入一定質量的水，可以使儀器左右平衡.改變托盤B與點C的距離x（）（0（爛60）,記錄容

器中加入的水的質量，得到下表：

托盤B與點C的距離x/cm3025201510

容器與水的總質量y\/g1012152030

加入的水的質量.V2/g57101525

把上表中的X與yi各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出這些點，并用光滑的曲線

連接起來，得到如圖所示的“關于x的函數圖象.

（1）請在該平面直角坐標系中作出"關于x的函數圖象；

（2）觀察函數圖象，并結合表中的數據：

①猜測yi與x之間的函數關系，并求w關于x的函數表達式；

②求）2關于x的函數表達式；

③當0＜爛60時加隨x的增大而（填"增大或，減小”）必隨x的增大而（填

“增大’或“減小”）的圖象可以由的圖象向（以“上”或嚇”或“左”或“右”）平移得到.

（3）若在容器中加入的水的質量”（g）滿足19今，2%5,求托盤B與點C的距離x（cm）的取值

范圍.

A[CB

LJ

14.（2023?衡陽）如圖,正比例函數y=&的圖象與反比例函數y=衛（工＞0）的圖象相交于點A.

3x

（1）求點A的坐標.

(2)分別以點0、A為圓心，大于04一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線

BC,交X軸于點D.求線段0。的長.

15.(2023?永州)小明觀察到一個水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費情況，

小明用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量筒中的總水量，但由于操作

)，與時間/的函數關系？并求出y關于■的表達式；

(2)應用：

①請你估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是多少毫升？

②一個人一天大約飲用1500毫升水，請你估算這個水龍頭一個月(按30天計)的漏水量可供一

人飲用多少天.

16.(2023?株洲)如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，四邊形OABC為正方形，其中點A、C分

別在%軸負半軸，)，軸負半軸上，點B在第三象限內，點A(f,0),點P(1,2)在函數

y=^(k>0,X>Q)的圖象上.

(1)求R的值；

(2)連接BP、CP,記"CP的面積為S,設T=2S-2乙求7的最大值.

17.(2023?株洲|)某花店每天購進16支某種花，然后出售，如果當天售不完，那么剩下的這種花進

行作廢處理.該花店記錄了10天該種花的日需求量(〃為正整數，單位：支)，統計如下表：

日需求量“131415161718

天數112411

(1)求該花店在這10天中出現該種花作廢處理情形的天數；

(2)當”16時，日利潤y(單位：元)關于〃的函數表達式為：y=10"-80；當位16時，日

利潤為80元.

①當”=14時，問該花店這天的利潤為多少元？

②求該花店這10天中日利潤為70元的日需求量的頻率.

18.(2023?郴州)已知拋物線y=ax^+bx+4與x軸相交于點4(1,0),2(4,0),與y軸相交于點

C.

(1)求拋物線的表達式;

(2)如圖1,點P是拋物線的對稱軸/上的一個動點，當△物C的周長最小時，求空的值；

PC

(3)如圖2,取線段OC的中點D,在拋物線上是否存在點。，使tan/QOB=1?若存在，求出

2

點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

19.(2023?株洲)已知二次函數y=a^+bx+c(a>0).

(1)若〃=1,c=-1,且該二次函數的圖象過點(2,0),求匕的值；

(2)如圖所示，在平面直角坐標系Oxy,該二次函數的圖象與X軸交于點A(xi,0),8(如

0),且R<0<,點。在。。上且在第二象限內，點E在x軸正半軸上，連接DE,且線段DE

交V軸正半軸于點F,ZD0F=ZDE0,OF^|-DF-

①求證：D0=1

E03

②當點E在線段08上，且8E=1.。。的半徑長為線段0A的長度的2倍，若4a=-/.房，

求2a+h的值.

20.(2023?岳陽)已知拋物線Q\：y=-，+bx+c與x軸交于A(-3,0),B兩點,交y軸于點C(0,

3).

(1)請求出拋物線2的表達式.

(2)如圖1,在y軸上有一點。(0,-1),點E在拋物線Q1上，點下為坐標平面內一點,是

否存在點E,F使得四邊形DAEF為正方形？若存在，請求出點E,F的坐標；若不存在,請說

明理由.

(3)如圖2,將拋物線Q1向右平移2個單位，得到拋物線。2,拋物線Q2的頂點為K,與x軸

正半軸交于點H,拋物線Q\上是否存在點尸，使得NCPK=乙CHK?若存在，請求出點P的坐標；

21.(2023?衡陽)如圖，已知拋物線y=ax2-2以+3與.r軸交于點A(-1,0)和點B,與y軸交于

點C,連接4C,過8、C兩點作直線.

(1)求。的值.

(2)將直線BC向下平移機(相＞0)個單位長度，交拋物線于B；C兩點.在直線"C上方的

拋物線上是否存在定點力，無論機取何值時，都是點。到直線8C的距離最大.若存在，請求出

點D的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)拋物線上是否存在點P,使NP8C+NACO=45。，若存在，請求出直線BP的解析式；若不存

在，請說明理由.

22.(2023?懷化)如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=a^+bx-8與x軸交于A(-4,01

B(2,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的函數表達式及頂點坐標；

(2)點P為第三象限內拋物線上一點，作直線AC,連接叫PC,求△出C面積的最大值及此時

點P的坐標；

(3)設直線l\：y=kx+k-至交拋物線于點M、N,求證：無論k為何值，平行于x軸的直線12:

4

y=一至■上總存在一點E,使得NMEN為直角.

4

23.(2023?永州)如圖1,拋物線y=(a,b,c為常數)經過點F(0,5),

頂點坐標為(2,9),點尸(xi,yi)為拋物線上的動點，PH±x軸于H,且x［冶.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖1,直線OP：y^x交BF于點G,求S^BPG的最大值；

X1SApnc

(3)如圖2,四邊形OBMF為正方形，外交y軸于點E,BC交FM的延長線于C,且BC±BE,

24.(2023?邵陽)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=/+x+c經過點A(-2,0)和點2(4,

0),且與直線/：y=-x-l交于久E兩點(點。在點E的右側)，點M為直線/上的一動點，

設點M的橫坐標為f.

(1)求拋物線的解析式.

(2)過點M作x軸的垂線，與拋物線交于點N.若0<r<4,求&NED面積的最大值.

(3)拋物線與y軸交于點C,點R為平面直角坐標系上一點，若以B、C、M、R為頂點的四邊

形是菱形，請求出所有滿足條件的點R的坐標.

函數B（真題匯編）2023年湖南省各市中考數學試題全解析版

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2023?邵陽）如圖，矩形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點￡都在反比例函數y=K（原0）

x

的圖象上，點B的坐標為（2,4）,則點E的坐標為（）

A.（4,4）B.（2,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】。

【解答】解：.?點B的坐標為（2,4）在反比例函數y=K上，

2

，反比例函數的解析式為產B.

X

??點E在反比例函數上，

可設（a,且）.

a

：.AD=a-2=ED=3..

a

=4,〃2=-2.

..Z>0,

?.4=4.

：.E(4,2).

故選：D.

2.（2023?株洲）如圖所示,直線/為二次函數y^a^+bx+c（a邦）的圖象的對稱軸，則下列說法正

確的是（）

A

OX

A.b恒大于0B.a,h同號

C.a.h異號D.以上說法者壞對

【答案】C

【解答】解：.?.直線/為二次函數y=ax1+hx+c（存0）的圖象的對稱軸，

???對稱軸為直線乂=上>0，

2a

當〃<0時，則>0,

當〃>0時，則

二〃,b異號，

故選：C.

3.（2023?懷化）已知壓力尸（N1壓強尸（尸。）與受力面積S（謂）之間有如下關系式：F=PS.當

F為定值時，如圖中大致表示壓強P與受力面積S之間函數關系的是（）

Pi

【答案】D

【解答】解：1.壓力F（N*壓強尸（Pa）與受力面積S（，/）之間有如下關系式：F=PS.

??.當尸為定值時，壓強P與受力面積S之間函數關系是反比例函數，

故選：D.

4.（2023?邵陽）已知P\[x\,y\）,Pz{xi,y2）是拋物線y=（a是常數,存0）上的點,

現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x=-2；②點（0,3）在拋物線上；③若xi>》2

>-2,則yi>”；④若yi=y2,則xi+x2=-2,其中，正確結論的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解答】解：?.拋物線），=/+4以+3的對稱軸為直線戶-絲=-2,

2a

二①正確；

當X=0時，y=3,則點點（0,3）在拋物線上,

，②正確；

當a>0時，XI>X2>-2,則yi>J2；

當a<0時，xi>X2>-2,則yiv”；

，③錯誤；

當yi=>2,貝Llx\+x2=-4,

，④錯誤；

故正確的有2個，

故選：B.

5.（2023?衡陽）已知m>n>0,若關于x的方程x2+2x-3-m=O的解為x\,x2（x\<x2）,關于x

的方程?+2A--3-M=0的解為X3,X4（X3<X4）.則下列結論正確的是（）

A.X3<X\<X2<X4B.XI<X3<X4<X2

C.X]<X2<X3<X4D.X3<X4<XI<X2

【答案】B

【解答】解：關于x的方程/+2x-3-/n=0的解為拋物線y=/+公-3與直線y=m的交點的橫

坐標，

關于x的方程』+2x-3-〃=0的解為拋物線y=/+2x-3與直線y=n的交點的橫坐標，

故選：B.

6.(2023?永州)已知點M(2,a)在反比例函數y上的圖象上，其中a,k為常數，且0,則點

M一定在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解答】解：1.點M(2,a)在反比例函數產乂的圖象上，

X

.,.67=—,

2

.,次>0,

：.a>0,

???點時一定在第一象限.

故選：A.

方法二：

??,反比例函數y上中,k>0,

x

???圖象的兩個分支在一、三象限，

???點M(2,a)在反比例函數了3的圖象上，

X

???點”一定在第一象限.

故選：A.

7.(2023?株洲)下列哪個點在反比例函數的圖象上？()

A.Pi(1,-4)B.P2(4,-1)C.P3(2,4)D-P4(2V2,V2)

【答案】D

【解答】解：A.1?lx(-4)=-4^4,.'.Pi(1,-4)不在反比例函數y.的圖象上，故選項不

X

符合題意；

B.-.-4X(-1)=-4^4,：.P2(4,-1)不在反比例函數的圖象上，故選項不符合題意；

X

c.??,2X4=掙4，:.P3（2,4）不在反比例函數y底的圖象上，故選項不符合題意；

X

。????西X&=4,.“4（2&,近）在反比例函數產細圖象上，故選項符合題意.

故選：D.

8.（2023?懷化）如圖，反比例函數了=K（左＞0）的圖象與過點（7,0）的直線AB相交于4、B

X

兩點.已知點A的坐標為（1,3）,點C為x軸上任意一點.如果S“BC=9,那么點C的坐標為

（）

以

%

A.（-3,0）B.(5,0)

C.（-3,0）或（5,0）D.(3,0)或(-5,0)

【答案】D

【解答】解：把點A（1,3）代入y=K(Z>0)得，3=K,

X1

=3,

..反比例函數為y=3,

X

設直線A8為y=ax+b,

代入點。（-1,0）,A（1,3）得［-a+b=0

a+b=3

（_3_

解得“-2:，

14

，直線AB為），=雪+旦，

22

（x=-2

解：2,得［x=：或3

??山（?2,一旦），

2

?0ABC=9,

?SACD+SABCD=/CD?（3咳）=9，

：.CD=4,

二點C的坐標為（-5,0）或（3,0）.

9.（2023?衡陽）在平面直角坐標系中，點P（-3,-2）所在象限是第三象限.

【答案】三.

【解答】解：點P（-3,-2）在第三象限，

故答案為：三.

1（）.（2023?婁底）函數y=471的自變量x的取值范圍是x"I.

【答案】x>-1.

【解答】解：由題意得：.r+l>0,

解得：於-1,

故答案為：應-1.

11.（2023?長沙）如圖，在平面直角坐標系中，點A在反比例函數產區（k為常數，A>0,x>0）

X

的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B,連接OA.若AOAB的面積為.，則&=空.

12—6―

【解答】解：7。8的面積為e

2212

所以k=

6

故答案為：」包.

6

12.（2023?郴州）在一次函數y=（氏-2）x+3中，y隨x的增大而增大，則k的值可以是3（答

案不唯一）（任寫一個符合條件的數即可）.

【答案】見試題解答內容

【解答】解：?.在一次函數y=（k-2）x+3的圖象中，），隨X的增大而增大，

：.k-2>0,

解得k>2.

?Y值可以為3.

故答案為：3（答案不唯一）.

=.解答題（共12小題）

13.（2023?郴州）在實驗課上，小明做了一個試驗.如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個

物體，在右邊托盤B（可左右移動）中放置一個可以裝水的容器，容器的質量為5g.在容器中加

入一定質量的水，可以使儀器左右平衡.改變托盤B與點C的距離x（c〃?）（0（爛60）,記錄容

器中加入的水的質量，得到下表：

托盤3與點C的距離x/cm3025201510

容器與水的總質量y\/g1012152030

加入的水的質量)2/g57101525

把上表中的尤與yi各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出這些點，并用光滑的曲線

連接起來，得到如圖所示的戶關于A?的函數圖象.

(1)請在該平面直角坐標系中作出"關于x的函數圖象；

(2)觀察函數圖象，并結合表中的數據：

①猜測VI與x之間的函數關系，并求yi關于x的函數表達式；

②求”關于x的函數表達式；

③當0<爛60時,yi隨A-的增大而減小(填“增大”或“減小”),)2隨x的增大而減小(填

“增大”或“減小”),”的圖象可以由yi的圖象向下(以“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到.

(3)若在容器中加入的水的質量”(g)滿足19<>-2<45,求托盤B與點C的距離.V(cm)的取值

范圍.

A[c-

LJ

【答案】(1)作出”關于X的函數圖象見解答過程；

(2)①yi是.r的反比例函數，戶=皿；

X

②”=跑-5；

X

③減小，減小，下；

(3)622.5.

【解答】解：(1)作出”關于X的函數圖象如下：

(2)①觀察表格可知，V是X的反比例函數，

設V=K，把(30,10)代入得：10=K,

x30

.M=300,

??.V關于X的函數表達式是VI=300；

x

@-->'1=”+5,

二)，2+5=.522.；

x

.-300..

,VV92---------D5,

X

③觀察圖象可得，當0〈爛60時，川隨A-的增大而減小，*隨X的增大而減小，”的圖象可以由

>'1的圖象向下平移得到；

故答案為：減小，減小,下；

(3)?.?*=%-5,19025,

X

.19<300.5<45,

X

■24<300<5Q,

x

.?.6<v<12.5.

14.(2023?衡陽)如圖，正比例函數y=&的圖象與反比例函數y=12(x>0)的圖象相交于點A.

3x

(1)求點A的坐標.

(2)分別以點。、A為圓心，大于OA一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線

BC,交A-軸于點D.求線段OD的長.

得產，

1y=4

，點A的坐標為(3,4)；

(2)設點。的坐標為(x,0).

由題意可知，8C是04的垂直平分線,

,.AD=OD,

(x-3)2+42=x2,

.丫_25

6

：.D(生，0),。。=空.

66

15.(2023?永州)小明觀察到一個水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費情況，

小明用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量筒中的總水量，但由于操作

延誤，開始計時的時候量筒中已經有少量水，因而得到如表的一組數據：

時間/12345

(單位：分鐘)

總水量y712172227...

（單位：毫升）

（1）探究：根據上表中的數據，請判斷y占口y=kt+b（k,b為常數）哪一個能正確反映總水量

t

y與時間r的函數關系？并求出y關于f的表達式；

（2）應用：

①請你估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是多少毫升？

②一個人一天大約飲用1500毫升水，請你估算這個水龍頭一個月（按3（）天計）的漏水量可供一

人飲用多少天.

【答案】（1）y=5f+2；

（2）①102毫升；②144天.

【解答】解：（1）根據上表中的數據,y=kt+h{klb為常數）能正確反映總水量y與時間r的函

數關系，

,.當t=1時，y=7,當f=2時，y=12,

,/k+b=7

12k+b=12'

.（k=5

'Ib=2'

：.y=5Z+2；

（2）①當f=20時,y=100+2=102,

即估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是102毫升；

②當/=24x60=1440分鐘時,>-=5x1440+2=7202（毫升）,

當/=0時，y=2,

.7200X30=144（天）,

1500

答：估算這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用144天.

16.（2023?株洲）如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，四邊形OABC為正方形，其中點4C分

別在X軸負半軸，y軸負半軸上，點B在第三象限內，點A(r,0),點尸(1,2)在函數

y^-(k>0,x>Q)的圖象上.

(1)求女的值；

(2)連接BP、CP,記"CP的面積為S,設T=2S-2U，求7的最大值.

【答案】(1)Z=2；

(2)Tmx=1.

【解答】解：(】)?.?點尸(1,2)在函數產35>0,x>Q)的圖象上，

?.?o乙—-—k,

1

1.k—2,

即A的值為2；

(2)?.點A(f,O)在x軸負半軸上,

：.0A=-t,

.?四邊形0A5C為正方形，

,0C=BC=0A=-f,BCIIx軸，

:?BCP的面積為S=Ax(-r)x(2-r)=A/2-1,

22

???T=2S-2a=2(A?-r)-2?=-r2-2r=-(t+i)2+l,

2

??1-KO,

，拋物線開口向下，

???當「=-1時，T有最大值，T的最大值是1.

17.（2023?株洲）某花店每天購進16支某種花，然后出售，如果當天售不完，那么剩下的這種花進

行作廢處理.該花店記錄了10天該種花的日需求量（〃為正整數，單位：支），統計如下表：

日需求量n131415161718

天數112411

（1）求該花店在這10天中出現該種花作廢處理情形的天數；

（2）當”16時，日利潤y（單位：元）關于〃的函數表達式為：>■=10〃-80；當它16時，日

利潤為80元.

①當n=14時，問該花店這天的利潤為多少元?

②求該花店這10天中日利潤為70元的日需求量的頻率.

【答案】（1）花店在這10天中出現該種花作廢處理情形的天數為4天；

（2）①當〃=14時,該花店這天的利潤為60元；

②該花店這10天中日利潤為70元的日需求量的頻率為』.

5

【解答】解：（1）1+1+2=4,

答：花店在這10天中出現該種花作廢處理情形的天數為4天；

（2）①當〃=14時，y=10/2-80=10x14-80=60,

答：當〃=14時，該花店這天的利潤為60元；

②當n<16時，70=10"-80,解得：n=15,

當〃=15時，有2天，

?.2,—1——.

105

答：該花店這10天中日利潤為70元的日需求量的頻率為工.

5

18.(2023?郴州)已知拋物線y=a^+bx+4與x軸相交于點4(1,0),8(4,0),與y軸相交于點

C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖1,點P是拋物線的對稱軸/上的一個動點，當△雨C的周長最小時，求電的值；

PC

(3)如圖2,取線段OC的中點D,在拋物線上是否存在點。，使tanze^=1?若存在，求出

2

點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=/-5x+4;

(2)3；

5__

(3)Q(-^V,2)或(,2)或。(3,-2)或Q(1_,羋).

2.239

【解答】解：(1)..拋物線y=/+bx+4與x軸相交于點A(1,0),8(4,0),

a+b+4=0

16a+4b+4=0

解得：a=l

b=-5

二拋物線的表達式為y=/-5x+4；

(2)由(1)知)，=/-5x+4,當x=0時，y=4,

（圖1

.?.C（0,4）,拋物線的對稱軸為直線，

2

■■^PAC的周長等于PA+PC+AC,AC為定長，

.?.當附+PC的值最小時，△%C的周長最小，

「A,B關于拋物線的對稱軸對稱,

：.PA+PC=PB+PC>BC，當P,B,C三點共線時，PA+PC的值最小，為BC的長，此時點P為直

線BC與對稱軸的交點，

設直線BC的解析式為：v=mx+n,

則：（^=°,

In=4

解得：修1,

In=4

二直線BC的解析式為.y=-x+4,

當時>y=-^-+4=?|-'

??P（py）-

.X(1,0),C(0,4),

(2)存在,

為OC的中點,

；?D(0,2),

/.OD=2,

?1(4,0),

/.OB=4f

在RtS。。中/tan/OBD[^]，

UD/

tanXQDB=^-=tanz^OBD，

"QDB=/OBD；

①當Q點在D點上方時：過點。作。QII。3,交拋物線于點Q,則：NQDB=NOBD,此時Q點

縱坐標為2,

設。點橫坐標為f,則：尸-5什4=2,解得：t=5±V17,

,Q（空叵，2）或（/叵，2）；

22

②當點。在。點下方時：設OQ與X軸交于點E,

則：DE=BE,

設E(p,0),則：。F=OE?+OD1=p2+4,BE2=(4-p)2

32+4=(4-/?)2,

解得：pJ-,

P2

E(y?0)-

設DE的解析式為：y=kx+q,

%=2

則：13，

yk+q=O

fq=2

解得：＜4，

k=^3

.4

,y="z"x+2，

o

'4

亞4y=~rx+2

聯匕S,

y=x-5x+4

2

X=7T

解得：卜毛或

ly=-2

廠.Q(3,-2)或9)；

綜上所述，Q(鍥亞_,2)或(殳耍，2)或Q(3,-2)或Q(1_,羋).

2239

19.(2023?株洲)已知二次函數y=a^+bx+c(a>0).

(1)若〃=1,c=-1,且該二次函數的圖象過點(2,0),求人的值；

(2)如圖所示，在平面直角坐標系。沖中，該二次函數的圖象與x軸交于點A(xi.0),B(x2,

0),且xi<0<%2,點。在。。上且在第二象限內，點E在x軸正半軸上，連接DE,且線段DE

交y軸正半軸于點F,ZD0F=ZDE0,OF^|-DF-

①求證：以上.

E03

②當點E在線段08上，且BE=1.。。的半徑長為線段0A的長度的2倍，若4ac=-/一.，

求2a+b的值.

【解答】（I）解：,.2=1,c=-?,

.??二次函數解析式為y=/+6x-I,

.,該二次函數的圖象過點（2,0）,

:.4+2b-1=0,

解得：6=-3;

2

（2）①證明:;ZDOF=ZDEO,/.ODF=AEDO,

:CDOL△DEO,

.DFOF

"DO"EO"

.D0=DF

EOOF）

,?'OF^-DF-

.DO2.

?--------=，/

EO3

②解?.?該二次函數的圖象與X軸交于點A（XI,O）,8（X2,O）,且Xl<0<X2,

..0/4=-Xi,OB=X2I

：BE=I.

.,.OE=X2-1,

?--O。的半徑長為線段OA的長度的2倍，

:QD二-2xi,

.,.D—O=-2I

E03

.-2xi2

??-----=—/

X2-13

/.3xi+X2-1=0,

SPX2=1-3x1①,

??.該二次函數的圖象與X軸交于點A（xi,0）,B（X2,0）,

「?XI,X2是方程ax2+bx+c=0的兩個根,

b

.?X1+X2、

\'4ac=?。2?.,,

,2

,,4*~+l+(-)=0?

aa

即4(X1X2)+1+(XI+X2)2=O②

①代入②，即4x](l-3xp+l+(x]+1-3x])2=0，

即4xi-12x；+l+l+4x、4xi=0.

整理得?8（M產=-2,

.21

，，x

l4

解得：x,=」（正值舍去），

乂12

?/3、5

?"2=1-（下）節，

???拋物線的對稱軸為直線x」C=HZ=1,

2a22

:?b=-2a,

.t.2a+b=0.

20.(2023?岳陽)已知拋物線Q\：y=-，+bx+c與x軸交于A(-3,0),B兩點,交y軸于點C(0,

3).

(1)請求出拋物線S的表達式.

(2)如圖1,在y軸上有一點0(0,7),點E在拋物線Q1上，點F為坐標平面內一點，是

否存在點E,F使得四邊形DAEF為正方形？若存在，請求出點E,F的坐標；若不存在,請說

明理由.

(3)如圖2,將拋物線Q1向右平移2個單位，得到拋物線。2,拋物線Q2的頂點為K,與x軸

正半軸交于點H,拋物線Q\上是否存在點尸，使得NCPK=乙CHK?若存在，請求出點P的坐標；

(2)存在，E(-2,3),F(1,2).

(3)點P的坐標為(1,0)或(-2,3).

【解答】解：(1)..拋物線Q\:y=-/+bx+c經過A(-3,0),C(0,3)兩點，

.f-9-3b+c=0

Ic=3

辭得：產-2,

\c=3

?拋物線Qi的表達式為y=-x2-2x+3.

(2)存在點E,F使得四邊形DAEF為正方形.

理由：

如圖1,過點E作EG±x軸于點G,則NAGE=90。=乙40。，

/.OA=3,OD=1,

.?四邊形D4M是正方形，

：.AE=AD=DF,ADAE=^ADF=90°,

?.NE4G+ND4O=90。，NDAO+NAOO=90。，

.,.Z.EAG=Z.ADO,

：.^EAG^ADO(AAS)f

.\AG=OD=1,EG=OA=3,

-E(-2,3),

當》=-2時，y=-x2-2x+3=-(-2)2-2x(-2)+3=3,

.?.點E在拋物線上，

過點下作FL_Ly軸于點L,

同理，^DFL^ADO(A4S),

：.FL=OD=\,DL=OA=3,

：.0L=DL-00=3-1=2,

F(1,2).

(3)拋物線Q\上存在點P,使得NCPK=NCHK.

'.'y=-x2-2x+3=-(x+\)2+4,

，拋物線。的頂點坐標為(7,4),

1?將拋物線Q\向右平移2個單位，得到拋物線Q1,

，拋物線02的解析式為>=-(x+1-2)2+4=-(x-1)2+4,

.?拋物線Q2的頂點為K,與x軸正半軸交于點H,

-K(1,4),"(3,0),

過點K作KT±y軸于點T,連接BC，如圖2,過點C作PS±y軸交BK于點5,交拋物線Qi于

點