等邊三角形知識點管理瞄準目標，牢記要點知識點管理歸類探究夯實雙基，穩中求進歸類探究等邊三角形的定義與性質等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．等邊三角形的性質：等邊三角形三個內角都相等，并且每一個內角都等于60°.題型一：等邊三角形的性質【例題1】（2022·河北滄州·八年級期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點D，點E在AC上，且AE＝AD，則∠DEC的度數為（）A．105° B．95° C．85° D．75°變式訓練【變式1-1】（2022·湖北荊州·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，AC=3，點O在AC上，且AO=1．點P是AB上一點（可移動），連接OP，以線段OP為一邊作等邊△OPD，且O、P、D三點依次呈逆時針方向，當點D恰好落在邊BC上時，則AP的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2022·湖南永州·八年級期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是角平分線，△ADE是等邊三角形，有下列結論：①AB⊥ED，②EF=FD，③BE=DB，其中正確的是（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【變式1-3】（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，和是兩個等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，連接，，，下列三個結論：①；②；③點在線段的中垂線上；④；⑤；⑥．其中正確的結論的個數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-4】（2021·山東九年級期末）如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點，則的面積是（）A．1 B． C． D．【變式1-5】（2021·江蘇八年級期中）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=度．等邊三角形的判定等邊三角形的判定：

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．題型二：等邊三角形的判定【例題2】（2022·四川樂山·八年級期末）如圖，在△ABC中，已知D是邊BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E、F為垂足，且BE=CF，∠BDE=30°．求證：△ABC是等邊三角形．變式訓練【變式2-1】（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AC的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F，且DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．【變式2-2】（2022·江西萍鄉·八年級開學考試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一點，BD＝BC，過點D作AB的垂線交AC于點E，CD交BE于點F．(1)求證：BE垂直平分CD；(2)若點D是AB的中點，求證：△CBD是等邊三角形．【變式2-3】（2021·湖南·長沙市中雅培粹學校八年級階段練習）如圖，在△中，，，，，與相交于點．(1)求∠BOC的度數；(2)求證：△ABC為等邊三角形．【變式2-4】（2019·義烏市稠州中學教育集團八年級月考）已知:在中,,為的中點,,,垂足分別為點,且.求證:是等邊三角形.題型三：等邊三角形的判定與性質【例題3】（2019·寧南三峽白鶴灘學校八年級月考）圖1、圖2中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形.(1)如圖1，線段AN與線段BM是否相等？證明你的結論；(2)如圖2，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論.圖1圖2變式訓練【變式3-1】（2020·雷州市第八中學八年級期末）如圖，等腰中，分別為上的點，且，則的度數為（）A． B． C． D．【變式3-2】（2021·廣西南寧三中九年級開學考試）如圖，在的同側，，點為的中點，若，則的最大值是_____．【變式3-3】（2020·全國八年級課時練習）問題背景：我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖（1），在中，，，則．探究結論：小明同學對以上結論作了進一步研究．（1）如圖（1），作邊上的中線，得到結論：①為等邊三角形；②與之間的數量關系為_________．（2）如圖（2），是的中線，點D是邊上任意一點，連接，作等邊，且點P在的內部，連接．試探究線段與之間的數量關系，寫出你的猜想并加以證明．（3）當點D為邊延長線上任意一點時，在（2）中條件的基礎上，線段與之間存在怎樣的數量關系？直接寫出答案即可．含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性質定理：在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點詮釋：這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數關系.題型四：含30°的直角三角形【例題4】（2021·陜西銅川·八年級期末）如圖，在中，AD是邊BC的垂直平分線，，，那么AC的長度是________．變式訓練【變式4-1】（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，在中，的垂直平分線交于，交的延長線于，若，，則的長是________．【變式4-2】（2020·遼寧錦州·八年級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于點D，若AD＝4，則BC的長為_____．【變式4-3】（2021·四川成都·三模）如圖，在△ABC中，AB=AC=6，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，則CD的長為___．【變式4-4】（2020·西安市教育局八年級月考）如圖，已知：∠MON=30o，點A1、A2、A3在射線ON上，點B1、B2、B3…．．在射線OM上，△A1B1A2.△A2B2A3、△A3B3A4……均為等邊三角形，若OA1=l，則△A6B6A7的邊長為（）A．6 B．12 C．32 D．64鏈接中考體驗真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（2022·海南·中考真題）如圖，直線，是等邊三角形，頂點B在直線n上，直線m交于點E，交于點F，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【真題2】（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【真題3】（2022·廣西·中考真題）校園內有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數據，根據造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝(1)求證：△ABC≌△CDA；(2)求草坪造型的面積．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（2020·山東七年級期中）如圖1，△ABD，△ACE都是等邊三角形，（1）求證：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度數；（