87654321+123456789[說明]本例不僅能幫助學生熟練地進行20以內的加法，并且數值與圖形結合，有利于學生以后學習坐標系、圖像等。根據學生的實際，借助上面的圖1可以提出不同的問題。例如，進一步把兩個數相加的和是8的格子描出來，看一看有什么規律。根據上圖判斷，出現次數最多的和是幾?最少的是幾?教師應根據自己學生的實際情況靈活地設計教學。如果學生在觀察上圖或者發現規律中有困難，教師可以引導學生從簡單的情形入手，比如兩個加數先限制在5以圖形與幾何例11桌上放著一個茶壺，四位同學從各自的方向進行觀察。請指出下面圖3中四幅圖分別是哪位同學看到的。例12一米約相當于根鉛筆長；北京到南京的鐵路長約1000。[說明]可以把問題舉一反三，讓學生了解實際情境中度量單位的意義，學會選擇合適的度量單位，增加學生對測量單位的感知。例13測量、計算不規則圖形的周長。[說明]引導學生用適當的方法嘗試測量、計算不規則圖形的周長，有利于學生把握圖形的性質和理解周長的意義，學習解決實際問題的方法。教師可以作如下設計：(1)可以從簡單到復雜。先測量并計算一些由規則圖形組合成的(2)對于圓形或楊樹葉形的圖，可以運用各種測量工具，也可以用各種測量方法，鼓勵學生進行嘗試。對于樹葉的直接測量，可以用下面①滾動。可以在尺子上滾動“樹葉”形狀的圖形，也可以保持“樹葉”形狀的圖形不動，將尺子滾動進行測量。②繞線。先用細線在圖形的邊緣圍一周，再將細線拉直，然后測量細線的長度。(3)測量會有誤差。一方面要求學生測量時應當認真，盡量減小誤差；一方面啟發學生思考，是不是可以多測量幾次，然后確定一個合例14測量并計算一張給定正方形紙的面積，利用結果估計課桌面的面積；測量步長，利用步長估計教室的面積。[說明]把測量與面積計算有機地結合，讓學生體會面積的實際背景和估計長方形面積的方法。例15在下列現象中，哪些是平移現象?哪些是旋轉現象?(1)方向盤的轉動；(2)火車車廂的直線運動；(3)電梯的上下移動；(4)鐘擺的運動。例16圖4中哪些圖形通過平移可以互相重合?例17圖5是一張動物園的示意圖，根據圖中所標的位置回答下列(1)熊貓館在猴山的哪個方向上?(2)大象館在海洋館的哪個方向上?(1)教師給出問題后，引導學生討論不同的分類標準。例如，性(2)當提出的標準較多時，可以分組進行活動，完成調查。(3)運用自己的方式(文字、圖畫、表格等)呈現調查結果。(1)全班同學討論決定購買方案的原則，可以在限定的金額內考(2)鼓勵學生討論收集數據的方法。例如，可以采用一個同學提(3)收集并表示數據，參照事先的約定決定購買水果的方案。(1)指導學生將全班同學的身高進行匯總。(2)從匯總后的數據中發現信息。比如最高(最大值)、最矮(最小值)、相差多少(極差),大部分同學的身高是多少(眾數)等。在(3)在整理中，可以讓學生嘗試創造靈活的方法。例如，尋找最如圖6所示，桌上散落著一些扣子，請把這些扣子分類。想一想：應當如何確定分類的標準?根據分類的標準可以把這些扣子分成幾類?黃色黃色藍色藍色o整色黃色藍色藍色○3(1)教師提出問題，引導學生討論分類標準。可以啟發學生這樣(2)根據已經討論確定的分類標準對學生分組，引導學生實際操(3)教師組織學生報告統計結果，引導學生作出評價，幫助學生組織學生分組收集日常生活中常見的圖形(如圖標),觀察它們是[說明]這個活動可以鼓勵學生主動觀察，設法收集(如可以使用數碼相機或現場素描等)。學生可以結合自己的生活環境發現、找到他如下面的圖7:時間是不一樣的，可以讓學生感悟數據的隨機性；更進一步，讓學生感悟雖然數據是隨機的，但數據較多時具有某種穩定性，可以從中得到很(1)指導學生如何測量時間和作記錄，啟發學生先設計調查方案。例如，事先調整家里鐘表的時間，使其和學校鐘表的時間保持一致；在調查期間需要保證每天上學途中的行為盡量一致；作為參照，也可記錄放學回家的時間；等等。在此過程中，培養學生認真做事的習慣。(2)組織學生展示數據，鼓勵學生從中發現信息。學生得到的信息可以是多方面的：雖然每天上學途中需要的時間可能是不一樣的，但通過一個星期的調查可以知道“大概”需要多少時間；可以知道上學途中所需要的最長時間和最短時間等。(3)組織學生進行交流，比較自己與他人的調查結果，從而獲得更多信息：大多數同學上學途中所需要的時間，同學中最長的和最短的時間；可以將時間分段，統計每個時間段的學生人數，得到表格或者統計圖。在此過程中，鼓勵學生體會分析調查結果及得到結論的樂趣。第二學段(4~6年級)例24如果一個人的壽命是76歲，這個人一生的心跳大約有多少次?光速大約每秒30萬千米，光從太陽到達地球大約需要多長時間?如果把100萬張紙疊加起來，會有珠穆朗瑪峰那么高嗎?[說明]參見例3。在計算的過程中，要合理利用數的單位和度量單男生”。那么,201004302表示什么?通常表示具體的數量，如一只鉛筆0.25元；百分數是同分母(統一標別為6.7元和12.8元。李阿姨帶了100元，夠付款嗎?運算已經超過100元了，所以100元不夠。例289.9×6.9比70小吧?+比1大嗎?[說明]與例6一樣，應當讓學生清楚“湊整計算”是估算的一個重要方法，比如，可以把9.9×6.9湊整成10×7,估算結果比70小；比大，所以+比1大。例29利用計算器計算15×15,25×25,…,95×95,并探索規例30彩帶每米售價3.2元，購買2米，3米，…,10米彩帶分別需要多少錢?在方格紙上把與數對(長度，價錢)相對應的點描出，并(1)所描的點是否在一條直線上?(2)估計一下買1.5米的彩帶大約要花多少元?(3)小剛買的彩帶長度是小紅的3倍，他所花的錢是小紅的幾倍?0125670例31聯歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個綠氣球以借助各種符號表示(參見例9)。成從中找出第16個字母，由此推出第16個氣球的顏色。圖9例34圖10中每個小方格為1個平方單位，試估計曲線所圍部分圖10就記為1,無圖形就記為0,然后相加求和；精細估計的方案可以為小方格的圖形，大于一半的記為1,小于一半的記為0,然后相加求和；例35測量一個土豆的體積。圖11[說明]通過實際操作進一步理解平移和旋轉，不僅能增加問題的趣味性，還可以讓學生感悟幾何運動也是可以記錄的，體驗選取最佳方案教學設計時，可關注如下要點：(1)完成還原積木的任務一定要從簡單到復雜，如圖，先打亂四塊積木中的下面兩塊，讓學生嘗試思考的過程。學生有了一定經驗后，可以打亂三塊或四塊積木，讓學生繼續嘗試。(2)可以分小組進行。為了記錄準確，事先要確定每一個步驟的(3)小組活動時，可以先討論，確定一個大概的還原路線，然后(4)小組成員共同操作，進行比較，驗證確定的路線。例37描述從學校到家的路線示意圖，并注明方向及途中的主要參[說明]學生可以用語言描述路線，為了交流的方便，學生也可以借助實物模擬路線。教師還可以進一步鼓勵學生畫出路線的簡單示意圖，并在圖中標明方向及主要參照物。例38小青坐在教室的第3行第4列，請用數對表示，并在方格紙上描出來。在同樣的規則下，小明坐在教室的第1行第3列應當怎樣表示?與方格紙上點(行列或者列行)的對應關系，并且知道不同的數對之間例39對全班同學的身高的數據進行整理和分析。[說明]在例20中，已經引導學生對全班同學的身高的數據進行初步分析。在這個學段中，要求學生結合以前積累的身高數據(參見例20的說明),進行進一步的整理，然后進行分析。整理的目的是為了(1)組織學生討論并明確做統計圖的基本標準。如果學生意見不(2)可以把幾年來全班同學平均身高的數據畫出折線統計圖，讓(3)組織學生討論用什么數據來代表全班同學的身高，自己的身平均身高進行比較；可以用出現人數最多的高度段作為代表(“眾數”的意義),用自己的身高與其相比；學生也可能用班級中等水平學生的身高作為代表(“中位數”的意義),用自己的身高與其相比。學生只(4)雖然數據整理和分析的方法可以有所不同，但要求分析的結小組討論后在課堂分小組交流。在此基礎上，再調查周邊的事情(如喜例41袋中裝有5個球，4個紅球和1個白球。只告訴學生袋中球面，有放回重復摸多次(摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸),就(1)適合于第二學段。通過摸球，學生發現每次摸出的球的顏色(2)適合于第三學段。在(1)的基礎上，學生可以估計袋中白球實際上，如果袋中裝有4個紅球和1個白球，可以知道摸到紅球的概率為4/5(也就是8/10)。通過摸球的試驗，可以用紅球出現的頻摸球的次數與估計的精度之間的關系是什么呢?通過計算可以得到：保7/10到9/10之間”,需要摸60次以上。教師不必會推導這個結論，例42將下面這些卡片混在一起，從中任意選取一張卡片，這張卡片可能是什么?圖12[說明]希望學生理解，因為是任意選取一張卡片，則每張卡片都可能被選取，但事先無法確定哪張卡片一定會被選取(是隨機的),每張卡片被選取的可能性是一樣大的(簡單事件)。如果學生能夠很好地理解，則可以進一步提問：這張卡片是船的可能性大呢?還是房子或者車的可能性大呢?可以讓學生進行實際操綜合與實踐例43繪制學校平面圖。主要活動場所、道路等等。[說明]本活動適用于五、六年級，目的是通過實際操作，讓學生更好地理解位置、方向和比例等基礎知識，掌握測量的方法。因為整個操作比較復雜，建議采用小組活動的形式，這樣做既有利于培養學生統籌規劃的實踐能力，也有利于學生體驗團結協作、獲得成功的快樂。教學設計時，可以關注如下要點：(1)選擇測量工具。最簡單的測量工具是指南針和皮尺(也可用步長近似測量)。(2)在教師的指導下，各小組討論并形成基本測量方案，組內分(3)交流。各小組展示本組繪制的校園平面圖，交流繪制的方法和過程(可以用壁報、幻燈等形式)。某人計劃用5天的時間外出旅游，所需費用大概是多少?(1)調查你所在的學校到北京天安門的距離約有多少千米?(2)如果一個人每天跑一個“馬拉松”,要幾天能完成這項長跑?(3)如果全班用接力方式開展這項活動，請你設計一個合理的活(4)全班交流、展出同學們的不同方案，說明各個方案的特點，分工調查關鍵數據(如調查學校到北京的距離，如果是北京的學校就要改變長跑的目的地，比如可以把目的地改為延安)、學生分組集體討論后，可以制定一個計劃，自主提出適合自己班級特點的“長跑方案”,個城市”,等等。因此，這是一個靈活的開放題。教師可以組織學生交將邊長分別為3和4的正方體的表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體。探求滿足下面條件的小正方體的數量規律。圖13(1)一面、兩面、三面有紅顏色的小正方(2)將正方體的邊長改為5,表面刷上紅色的漆，再將它分割成(3)將正方體的邊長改為6,結果如何?(4)分析上面三個問題的求解過程，你能發現什么規律?第三學段(7~9年級)一次水災中，大約有20萬人的生活受到影響。如果災情持續一個月，大約需要籌集多少頂帳篷?多少噸糧食?例如，假定一頂帳篷可以住10個人，需要2萬頂；假如要保證一個家庭住一頂帳篷，每個家庭4口人，需要5萬頂。假定平均每人每天需要0.4千克糧食，可以估計出每天需要的糧食數，10天需要的和一例48估計與0.5比哪個大?與1.0比呢?運算，如，2+等。例50結合實例解釋3a。(a×10+5)2=a(a+1)×100+25。但這樣的猜測是正確的嗎?需要給出證明：。例52在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿和凳子腿數加起來共有60個，有幾個椅子和幾個凳子?[說明]這個問題與例32是相同的。事實上，這個問題可以用三種方法建立模型。在第二學段討論過的方法是基于四則運算，還可以用一元一次方程的方法或二元一次方程組的方法解決。啟發學生從不同的角度思考同一個問題，有利于學生進行比較，加深對于模型的理解。利用一元一次方程解決此問題時，可以引導學生通過具體列表的方式找出規律、建立方程，這樣利于學生理解方程的意義，體會建模的過程。假設椅子數為a,則凳子數為16-a,把例32中的表移過來并用字椅子數凳子數腿的總數這樣，合題意的方程為4a+3(16-a)=60,可以通過嘗試的方法，解得a=12,也可以解方程求解。對于二元一次方程組，則可以直接列方程。假設椅子數為a,凳子數為b,可以得到兩個方程a+b=16和4a+3b=60,用代入法得到4a+3(16-a)=60,求解得到a=12和b=4。正，如-5和3;當x的絕對值較小時，方程的左邊必然為負，如2。那么,在-5和2之間，以及在2和3之間方程可能有解。進一步，用同樣的道理可以將解的范圍縮小，使我們估計的和2的中間值-1.5代入方程的左邊進行計算，如果得到的值為正，則在-1.5和2之間有解，否則在-5和-1.5之間有解。可以借助計算器來完例54小麗去文具店買鉛筆和橡皮。鉛筆每支0.5元，橡皮每塊0.4元。小麗帶了2元錢，能買幾支鉛筆、幾塊橡皮?410例55小明的父母出去散步，從家走了20分到一個離家900米的報亭，母親隨即按原速返回。父親在報亭看了10分報紙后，用15分圖14例56某書定價8元。如果一次購買10本以上，超過10本部分乙地，平均車速為8千米/時；小麗上午10:00坐公共汽車也由甲地0(1)在平面直角坐標系中描述相應的點，觀察這些點是否在一條(2)如果兩種計量之間的關系是一次函數，請給出該一次函數表(3)求出華氏0度時攝氏是多少度。(4)華氏溫度的值與對應的攝氏溫度的值有相等的可能嗎?變量之間是一次函數關系。攝氏從0度開始，設為橫坐標方便。但在求華氏0度對應的攝氏溫度時，需要通過函數值來反求自變量的值。在平例60證明：兩直線平行，則同位角相等。圖15[說明]考慮到學生的實際情況，在教學過程中，給出下面證明方法的時間可以酌情處理。一方面可以幫助學生了解反證法。如圖15所示，我們希望證明：如果AB//CD,那么∠1=∠2。假設∠1≠∠2,過點O作直線A′B′,使∠EOB'=∠2。根據“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”這個基本事實，可得A′B′//CD。這樣，過點O就有兩條直線AB,A′B′平行于CD,這與基本事實“過直線外一點有且僅有一條直線與這條直線平行”矛盾，說明∠1≠∠2的假設是不對例61直觀闡述基本事實：兩組對應邊及其夾角分別相等的兩個三[說明]雖然基本事實是不需要證明的，但是啟發學生進行直觀分析、探索結論的合理性。圖16-1因此，兩個三角形如果三條邊和三個角分別相等，則這兩個三角形全等。問題是，最少幾個元素就可以確定三角形從而構成全等條件呢?觀察圖16-1中的△ABC,如果對圖中的邊BC“視而不見”,這樣，對∠B和∠C也就“視而不見”了(如圖16-2),此時△ABC的形狀和大小并不改變。這就是說，AB,AC兩條邊及它們的夾角確定了△ABC的形狀和大小，于是可以推斷，兩邊以及這兩邊的夾角可以確定一個三角形。因此，可以認同“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”這個基本事實。另外，也可以用圖形運動(疊合)的方法確認“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”這個結論。對于基本事實“兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等”的直觀分析可以借助下面的圖17-1和圖17-2。圖17-1區可以進一步引導學生思考，為什么“三個角分別相等的兩個三角形全等”不能成為基本事實。對于以上事實的認可，也可以從六個元素中的一個出發，即由少到多進行考慮，通過畫圖探索出需要幾個元素即可確定一個三角形。例62根據性質對平行四邊形、矩形、菱形、正方形分類[說明]在第一和第二學段都討論過分類的問題，通過分類有助于學生把握問題本質，了解研究對象的共性與差異。特別是對于幾何圖形分類，有利于培養幾何直觀性和思維的層次性。分類的關鍵在于確定分類的標準，在不同的標準下可能會有不同的分類結果。一般來說，分類標準可以由粗到細，即由一個特征發展到多個特征(參見例21)。針對本問題把圖形分為兩類(其中一類可以是空的，在具體教學過程中不出現空集的概念)的標準可以考慮為：對邊在具體教學過程中，可以啟發學生想象，也可以做出實物讓學生操作。例63探索并了解：過圓外一點所畫的圓的兩條切線的長相等。[說明]通過探索和了解此結論的證明，幫助學生體驗發現結論到驗教學中可以參考安排如下的過程：(1)發現結論。在透明紙上畫出如圖18-1的圖：設PA,PB是◎圖18-2(2)證明結論的正確性。如圖18-2,連圖19①②證明：因為ABCD①②又因為BEFC也是平行四邊形所以BC=EFBE=CF③⑤④因為⑤⑥成立，所以四邊形AEFD是平行四邊形。他的考慮全面嗎?[說明]引導學生判斷上述證明過程是否正確，希望學生通過錯誤的實例，感悟特殊和一般的關系。例65下面圖20-2中的三個三角形是由圖20-1中的三角形經過平移、旋轉和軸對稱得到的，分別指出圖形運動的形式，并標出對應的圖20-1圖[說明]把運動后的結果歸納在一起讓學生辨認，有利于學生理解三種圖形運動形式的不同之處，從而把握平移、旋轉和軸對稱的基本特征，體驗圖形運動是研究圖形的有力工具。例66在直角坐標系中描出下列各點，將各組的點順次連接起來。觀察這個圖形，你覺得像什么?坐標與格子點的對應關系(參見例38)。在本學段將學習一般的直角圖21例68設計調查方法。了解本年級的同學是否喜歡某電視劇。調查的結果適用于學校的全體同學嗎?適用于全地區的電視觀眾嗎?如果不適用，應當如何改進調查方法?[說明]對于許多問題，不可能、有時也不必要得到與問題有關的所有數據，只要得到一部分數據(樣本)就可以對于總體的情況進行估計。很顯然，如果得到的樣本能夠客觀地反映問題，則估計就會準確一些，否則估計就會差一些。因此，我們希望尋找一個好的抽取樣本的方法，使得樣本能夠客觀地反映問題。在本學段，主要學習簡單隨機抽樣方法，這是收集數據中通用的方法，在一般情況下，我們都假定樣本是通過隨機的方法得到的。因為同一個年級的學生差異不大，采用簡單隨機抽樣方法比較合適。可以在上學時在學校門口隨機問訊，也可以按學號隨機問訊。為了分析方便，需要把問題數字化，如喜歡這部電視劇的記為1,不喜歡的記為對于這樣的問題，問訊學生數不能少于20人，取40~50人比較合適，取更多的學生當然更好，但需要花費更多的精力。由此可見，一個好的抽樣方法不僅希望“精度高”還希望“花費少”。假設問訊的學生數為n,記錄數據的和為m(顯然，m為喜歡這部電視劇的人數),則調查結果說明，學生中喜歡這部電視劇的比例為。我們依此估計本年級的同學中喜歡這部電視劇的比例。例69某個公司有15名工作人員，他們的月工資情況如下表。計職務經理副經理職員人數12月工資/元不難計算出該公司月工資的中位數和眾數均為800元。而月工資的平均數=加權平均(可以看成是加權平均)例70如果還有一個公司也有15名工作人員，他們的月工資情況如下表。參照例69,比較兩個公司的月工資狀況。職務經理副經理職員人數12月工資/元[說明]容易計算，這個公司的月平均工資也是1240元。但是兩個公司月工資的方差相差很大，通過計算可以得到：例69中數據的方差為1174400,本例中數據的方差為294400,兩個方差相差4倍。可以讓學生知道，進一步學習“統計與概率”,將會得到“兩個方差有非常圖22明]在現1992~2004中國GDP變化表(億元)年份年份多數據是與時間有關的，因此這些數據會呈現發展趨勢。學生應當能夠理解報刊書籍中的這類數據的表達，包括表格、描點、折線圖、趨勢圖等，并且嘗試自己表達分析。對于上述數據，學生應當會描點，雖然這時直角坐標系的度量單位與書本上教的是不一樣的，但是只要刻度之間的比例關系一致，表達就是合理的，讓學生感悟到：對于實際問題往往需要具體問題具體分析，而不能單純地套用書本上學到的知識。因為描點呈現線性增長趨勢，可以進一步引導學生利用直線來表示這種趨勢、預測未來經濟發展，感悟變量的隨機性。教師可以引導學生思考和討論如何畫出合適的直線、如何制定“合適直線”的標準，并且告訴學生，在高中階段“統計與概率”的學習中將會解決這個問題，引發學生的學習興趣。這個例子可以舉一反三，不一定局限與時間有關的數據，比如，學生身高與體重的關系，同一種樹的樹葉長與寬的關系(參見例79)。也可以組織學生查閱資料，探究進出口總量與GDP的關系，人均收入例73將下面這些卡片混在一起，從中任意選取一張卡片，這張卡片是船的概率是多少?是車的呢?圖23這張卡片是船的可能性比是車的可能性大，現在應當明確地知道其概率這個例子可以舉一反三，如轉動轉盤，當轉盤停止時指針指向某一特定部分的概率；一個袋子里有幾種顏色、數量種顏色球的概率，等等。例74分析擲兩個骰子點數之和的可能性的大小。[說明]這個問題看起來很難，無從下手。事實上，這也是簡單事件的問題，利用例10的圖，可以得到結論：對應的格子越多可能性越大。比如，點子之和為7的可能性最大，為2或者12的可能性最小。綜合與實踐例75直覺的誤導。有一張8cm8cm的正方形的紙片，面積是64cm2。把這張紙片按圖24-1所示剪開，把剪出的4個小塊按圖24-2所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm,寬為5cm的長方形，面積是65cm2。這是可能的嗎?圖圖24-2對于數學的結論，完全憑借直覺判斷是不行的，還需要通過演繹推理來一般來說，學生應當是不會相信圖24-2中紙片的面積是65cm2,但又無法說明為什么觀察的結果是錯誤的。進一步引導學生思考，如果觀察是錯誤的，那么錯誤可能出在哪里呢?學生通過邏輯思考，可以推斷只有一個可能：圖24-2中紙片所示圖形不是長方形，因此不能用長方形的面積計算公式來計算面積。然后，可以引導學生實際測量圖形左上角或者右下角，發現確實不像是直角。可以告訴學生，這個想法是正確的，但最好能夠給出證明，引導學生經歷一個由合情推理到演繹推理的過程。在實際教學中可以引導學生先看圖、再讓學生分組將圖剪開，動手操作發現矛盾(64=65?)。然后，嘗試找出理由并嘗試證明，最后表達收獲。可以采用如下反證法證明，在證明過程中加深對相似圖形的理解。如圖25,過D做AC的垂線交AC于F。假定圖24-2中的圖形是長方形，那么圖形的右下角就應當是直角，則在圖25中有∠1+∠3=90°。因為∠2+∠3=90°,則∠1=∠2。由相似三角形的判定定理，兩個直角三角形△ABC與△DEF相似。由相似三角形對應邊成比例，應當有：這是不可能的，因此圖24-2中的圖形不可能是長方形。由于,這個差是很小的，因此會造成我們視覺的誤差，把圖24-2中的圖形判斷為長方形。圖25教學中可以鼓勵學生運用不同的方法對此問題進行解釋。例76從年歷中想到的。觀察幾個年份的年歷和月歷，思考下面幾個問題：(1)在同一年的月歷中，哪些月份的“月歷表”的排列是基本一致的?(2)有一種計算機病毒叫“黑色的星期五”,當計算機的日期是13日又是星期五時，這種病毒就發作。請找出最近的5個使“黑色的星期五”發作的年、月、日。(3)許多人都認為，“辦喜事”最好是“6月6日又是星期六”,可是有人說：“這樣的日子是千載難逢”,你同意這種說法嗎?你能找出幾個“6月6日又是星期六”的具體年份嗎?[說明]這是一個通過對日常生活觀察、發現某些規律的開放性問題，可以根據學生的學習情況，提出不同層次的問題。每一個問題的設計，意識，分平年和閏年：平年時，1,10月；2,3,11月；4,7月；9,12月的月歷表基本一致；閏年時，1,4,7月；2,8月；3,11月；2009年3月13日、2009年11月13日、2010年8月13日、2011年5月13日(隨著時間的推移，這個日期會發生變化)。解決問題的方式較多，可以利用對問題(1)發現的規律來思考。也可以充分利用問題(3)中最近的幾個“6月6日星期六”的日子有1992年、1998年、2009年、2015年、2020年，因此“千載難逢”的說法不(1)讓學生分組收集一些商品的空包裝紙盒，請大家分別計算出(2)請學生將這些盒子拆開，看一看它們是怎樣裁剪和粘接出來(3)給一個矩形紙板(如A4紙大小),讓學生根據上面的發現，(4)同組同學之間比較結果，分析誰的體積比較大?分析怎樣能作一個體積更大(最大)的盒子?(只是實驗、比較，不要求證明)。(5)結合一種具體的待包裝物體(如5本書或2個茶杯)設計一個能很好地啟發學生如何尋求解決后面問題的思路。問題(5)是一個實例78看圖說故事。如圖26,設計兩個不同問題情境，使情境中出現的一對變量，滿可以說出下面的故事：小王以常速度400米/分，跑了5分，在原地休息了6分，然后以常速度500米/分，跑回出發地。再比如：有一個容積為2升的開口空瓶子，小王以常速度0.4升/秒，向這個瓶子注水，灌了5秒后停水，等6秒后，然后以常速度0.5例79利用樹葉的特征對樹木分類。(1)收集三種不同樹的樹葉，每種樹葉的數量相同，比如，每種樹選10片樹葉。(2)分類測量每種樹葉子的長和寬，列表記錄所得到的數據。(3)分別計算出樹葉子的長寬比，估計每種樹樹葉的長寬比。(4)驗證估計的結果。(1)建議采用小組活動的形式，學生通過合作交流可以獲得較多(2)為了使分析的結果更加明顯，最好選擇樹葉區別較大的三種對于每種樹的10片樹葉都測量了長和寬以后，可以用10個比值的眾數，也可以用10個比值的中位數；還可以把長和寬各自相加后，取和的比值，這是10個比值的平均數(教師可以思考：為什么不用通常求平均數的方法計算比值的平均數)。針對這個問題，用平均數是比較合(4)取一片新的樹葉，通過這片樹葉的長寬之比、參照(3)的估葉子長與寬的比值恰好等于估計值的可能性也很小，這表現了數據的隨機性。可以進一步啟發學生考慮一個合理的方案：只要比值大概等于估計值，就可以認為是同一種樹，也就是說，需要構造一個以估計值為中心的數值區間，當新取的樹葉的長寬比值屬于這個區間時就認為屬于這個樹種。如何合理地構造這個數值區間是重要的，區間太短則可能拒絕同類樹種，區間太長則判斷的精度就要差。可以考慮下面的方法：當估計值是中位數時，區間由比中位數小兩位的比值和比中位數大兩位的比值構成；當估計值是平均數時，區間的長度為平均數±σ,或者平均數±2o,其中σ是樣本標準差。讓學生感悟決定數值區間的道理(可以告訴學生，進一步的學習，將會從理論上計算區間的長度)。這個問題可以舉一反三。例80利用幾何圖形研究代數問題。對于給定的兩個數x和y,求使得(x-b)2+(y-b)2達到最小的b,也就是說要找到一個bo,使得對任意的b有[說明]利用直角坐標系，不僅能夠推導出幾何圖形的代數表達式，還能夠利用幾何圖形來研究代數問題，這是幫助學生建立幾何直觀的有效途可以把給定的兩個數看作數對，對應于二維平面的點(見圖27),用A(x,y)表示。對于任意數b也可以看作數對(b,b),用點B(b,b)表回憶關于直線的學習，由圖27可以看到，點B(b,b)是在通過第一象限、與橫坐標傾斜45°角的直線上。我們的問題用幾何語言可以表述為：在這條直線上尋找一點，使得這一點