等差數列及其前n項和探考情悟真題【考情探究】考點內容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關聯考點等差數列的定義及通項公式①理解等差數列的概念.②掌握等差數列的通項公式.③了解等差數列與一次函數的關系2019課標全國Ⅲ,14,5分等差數列基本量的計算求和公式★★★2016課標全國Ⅱ,17,12分等差數列基本量的計算分段函數等差數列的性質能利用等差數列的性質解決相應問題2015課標Ⅱ,5,5分等差數列性質的應用求和公式★★★等差數列的前n項和掌握等差數列的前n項和公式2018課標全國Ⅱ,17,12分求前n項和的最值二次函數求最值★★★2015課標Ⅰ,7,5分等差數列前n項和公式等差數列的通項公式2019課標全國Ⅰ,18,12分求等差數列的通項公式及前n項和不等式的求解分析解讀等差數列是高考考查的重點內容,主要考查等差數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式、等差中項等相關內容.本節內容在高考中分值為5分左右,屬于中低檔題.破考點練考向【考點集訓】考點一等差數列的定義及通項公式1.(2018陜西咸陽12月模擬,7)《張丘建算經》卷上一題大意為今有女善織,日益功疾,且從第二天起,每天比前一天多織相同量的布,現在一月(按30天計)共織布390尺,最后一天織布21尺,則該女第一天共織多少布?()A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺答案C2.已知正項數列{an}中,a1=1,a2=2,2an+12=an+2A.16 B.8 C.4 D.22答案C3.(2018河南開封定位考試,17)已知數列{an}滿足a1=12,且an+1=2(1)求證:數列1a(2)若bn=anan+1,求數列{bn}的前n項和Sn.答案(1)證明:∵an+1=2an2+an∴1an+1-1∴數列1an是以2為首項,(2)由(1)知an=2n+3,∴bn=4(∴Sn=41=414-1考點二等差數列的性質(2019湖北宜昌模擬,6)已知數列{an}滿足5an+1=25·5an,且a2+a4+a6=9,則log13A.-3 B.3 C.-13 D.答案A考點三等差數列的前n項和答案D2.(2019江西九江高三第一次十校聯考,7)已知數列{an}滿足2an+1=2an-1(n∈N*),a1=1,S=a1+a4+a7+…+a37,則S的值為()A.130 B.-104 C.-96 D.370答案B3.(2019福建龍巖永定模擬,10)已知等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,且SnTn=3A.1813 B.6323 C.33答案D煉技法提能力【方法集訓】方法1等差數列的判定與證明的方法(2019福建三明模擬,17)已知數列{an}中,an=2n-1.(1)證明:數列{an}是等差數列;(2)若數列{an}的前n項和Sn=25,求n.答案(1)證明:∵an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2,a1=1,∴數列{an}是等差數列,首項為1,公差為2.(2)由(1)得數列{an}的前n項和Sn=n+(n-1)n2×2=n方法2等差數列前n項和的最值問題的解決方法1.(2019江西高安模擬,11)已知數列{an}是等差數列,其前n項和為Sn,滿足a1+3a2=S6,給出下列結論:(1)a7=0;(2)S13=0;(3)S7最小;(4)S5=S8.其中正確結論的個數是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C2.(2019福建龍巖新羅模擬,12)已知等差數列{an}的公差為-2,前n項和為Sn,a3,a4,a5為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內角為120°,若Sn≤Sm對任意的n∈N*恒成立,則實數m=()A.7 B.6 C.5 D.4答案B3.(2019福建龍巖新羅模擬,16)等差數列{an}中,Sn是它的前n項和,且S6<S7,S6>S8,給出下列結論:①數列{an}的公差d<0;②S9<S6;③S14<0;④S7一定是Sn中的最大值.其中正確的是(填序號).

答案①②③④【五年高考】A組統一命題·課標卷題組考點一等差數列的定義及通項公式1.(2019課標全國Ⅲ,14,5分)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a3=5,a7=13,則S10=.

答案1002.(2016課標全國Ⅱ,17,12分)等差數列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通項公式;(2)設bn=[an],求數列{bn}的前10項和,其中[x]表示不超過x的最大整數,如[0.9]=0,[2.6]=2.答案(1)設數列{an}的公差為d,由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25所以{an}的通項公式為an=2n(2)由(1)知,bn=2n當n=1,2,3時,1≤2n+35當n=4,5時,2<2n+35當n=6,7,8時,3≤2n+35當n=9,10時,4<2n+35所以數列{bn}的前10項和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)考點二等差數列的性質(2015課標Ⅱ,5,5分)設Sn是等差數列{an}的前n項和.若a1+a3+a5=3,則S5=()A.5 B.7 C.9 D.11答案A考點三等差數列的前n項和1.(2015課標Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差為1的等差數列,Sn為{an}的前n項和.若S8=4S4,則a10=()A.172 B.192答案B2.(2019課標全國Ⅰ,18,12分)記Sn為等差數列{an}的前n項和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通項公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍.答案本題考查等差數列的通項公式與前n項和公式;考查學生對數列基礎知識的掌握程度和應用能力,主要考查數學運算的核心素養.(1)設{an}的公差為d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通項公式為an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(由a1>0知d<0,故Sn≥an等價于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N}.3.(2018課標全國Ⅱ,17,12分)記Sn為等差數列{an}的前n項和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.答案(1)設{an}的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通項公式為an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.B組自主命題·省(區、市)卷題組考點一等差數列的定義及通項公式1.(2016浙江,8,5分)如圖,點列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示點P與Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則()A.{Sn}是等差數列 B.{SnC.{dn}是等差數列 D.{dn答案A2.(2019江蘇,8,5分)已知數列{an}(n∈N*)是等差數列,Sn是其前n項和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是.

答案16考點二等差數列的性質(2015陜西,13,5分)中位數為1010的一組數構成等差數列,其末項為2015,則該數列的首項為.

答案5考點三等差數列的前n項和1.(2017浙江,6,4分)已知等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案C2.(2019北京,16,13分)設{an}是等差數列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比數列.(1)求{an}的通項公式;(2)記{an}的前n項和為Sn,求Sn的最小值.答案本題屬等差、等比數列的綜合運用,重在考查等差、等比數列的基礎知識、基本運算,考查的學科素養為數學運算.(1)設{an}的公差為d.因為a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因為a2+10,a3+8,a4+6成等比數列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,當n≥7時,an>0;當n≤6時,an≤0.所以,Sn的最小值為S6=-30.C組教師專用題組考點一等差數列的定義及通項公式1.(2014遼寧,9,5分)設等差數列{an}的公差為d.若數列{2aA.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0答案D2.(2013安徽,7,5分)設Sn為等差數列{an}的前n項和,S8=4a3,a7=-2,則a9=()A.-6 B.-4 C.-2 D.2答案A3.(2014陜西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,則f2014(x)的表達式為答案f2014(x)=x4.(2014浙江,19,14分)已知等差數列{an}的公差d>0.設{an}的前n項和為Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.答案(1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,將a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因為d>0,所以d=2.從而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故2所以m5.(2015北京,16,13分)已知等差數列{an}滿足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{an}的通項公式;(2)設等比數列{bn}滿足b2=a3,b3=a7.問:b6與數列{an}的第幾項相等?答案(1)設等差數列{an}的公差為d.因為a4-a3=2,所以d=2.又因為a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).(2)設等比數列{bn}的公比為q.因為b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6與數列{an}的第63項相等.6.(2015福建,17,12分)等差數列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求數列{an}的通項公式;(2)設bn=2an-2+n,求b1+b2+b答案(1)設等差數列{an}的公差為d.由已知得a解得a所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)=2(1=(211-2)+55=211+53=2101.7.(2013課標Ⅰ,17,12分)已知等差數列{an}的前n項和Sn滿足S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通項公式;(2)求數列1a答案(1)設{an}的公差為d,則Sn=na1+n(由已知可得3a1+3d=0故{an}的通項公式為an=2-n.(2)由(1)知1a2n-1從而數列1a121-1-11+11-13+…+128.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求證:a,b,c成等差數列;(2)若C=2π3,求a答案(1)證明:由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因為sinB≠0,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差數列.(2)由C=2π3,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以ab=考點二等差數列的性質1.(2014課標Ⅱ,5,5分)等差數列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數列,則{an}的前n項和Sn=()A.n(n+1) B.n(n-1)C.n(n答案A2.(2014重慶,2,5分)在等差數列{an}中,a1=2,a3+a5=10,則a7=()A.5 B.8 C.10 D.14答案B3.(2013遼寧,4,5分)下面是關于公差d>0的等差數列{an}的四個命題:p1:數列{an}是遞增數列; p2:數列{nan}是遞增數列;p3:數列ann是遞增數列; p4:數列{a其中的真命題為()A.p1,p2 B.p3,p4C.p2,p3 D.p1,p4答案D考點三等差數列的前n項和答案D2.(2015安徽,13,5分)已知數列{an}中,a1=1,an=an-1+12(n≥2),則數列{an}的前9項和等于答案273.(2014重慶,16,13分)已知{an}是首項為1,公差為2的等差數列,Sn表示{an}的前n項和.(1)求an及Sn;(2)設{bn}是首項為2的等比數列,公比q滿足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通項公式及其前n項和Tn.答案(1)因為{an}是首項a1=1,公差d=2的等差數列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+…+(2n-1)=n(a1+a(2)由(1)得a4=7,S4=16.因為q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,從而q=4.又因為b1=2,{bn}是公比q=4的等比數列,所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1.從而{bn}的前n項和Tn=b1(1-q4.(2013浙江,19,14分)在公差為d的等差數列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數列.(1)求d,an;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.答案(1)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.(2)設數列{an}的前n項和為Sn.因為d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11,所以當n≤11時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-12n2+21當n≥12時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=12n2-21綜上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-【三年模擬】時間:50分鐘分值:70分一、選擇題(每小題5分,共45分)1.(命題標準樣題,4)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若S5=2S4,a1=2,則a6=()A.-15 B.-13 C.13 D.15答案B2.(2018河南開封定位考試,5)等差數列{an}的前n項和為Sn,且a1+a5=10,S4=16,則數列{an}的公差為()A.1 B.2 C.3 D.4答案B3.(2020屆廣西岑溪模擬,4)在等差數列{an}中,a2+a3=1+a4,a5=9,則a8=()A.14 B.15 C.16 D.17答案B4.(2019江西上饒二模,3)已知等差數列{an},a10=10,其前10項和S10=70,則公差d=()A.-29 B.29 C.-2答案D答案D6.(2019河北衡水中學二調,3)已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,a2=2,且對任意n>1,n∈N*,滿足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),則S10的值為()A.90 B.91 C.96 D.100答案B7.(2019山西運城月考,8)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,則n=()A.12 B.14 C.16 D.18答案B8.(2019湖北黃岡八模,6)設等差數列{an}的前n項和為Sn,等差數列{bn}的前n項和為Tn,若SnTn=2018A.528 B.529 C.530 D.531答案D9.(2020屆河南南陽模擬,7)《九章算術》是我國最重要的數學典籍,曾被列為對數學發展影響最大的七部世界名著之一.其中的“竹九節”問題,題意是:有一根竹子,共九節,各節的容積依次成等差數列.已知較粗的下3節共容4升,較細的上4節共容3升.根據上述條件,這根竹子各節容積的總和是()A.20122 B.21122 C.601答案A二、填空題(共5分)10.(2018四川德陽一模,7)我國古代數學名著《張邱建算經》中有“分錢問題”:今有與人錢,初一人與三錢,次一人與四錢,次一人與五錢,以次與之,轉多一錢,與訖,還斂聚與均分之,人得一百錢,問人幾何?意思