.1課時2數列中的遞推公式與性質【學習目標】1.理解遞推公式的含義,能根據遞推公式求出數列的前幾項.(數學運算)2.理解數列的單調性,會判斷數列的單調性,會求簡單數列的最大項.(邏輯推理、直觀想象)3.會利用數列的周期性解決簡單的問題.(邏輯推理、數學建模)【自主預習】預學憶思1.什么是數列的遞推公式?【答案】如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫作這個數列的遞推公式.2.由數列的遞推公式能否寫出數列的前幾項?【答案】用遞推公式給出一個數列,必須給出:(1)遞推“基礎”——數列{an}的第1項(或前幾項).(2)遞推關系——數列{an}的第n項an與它的前一項an-1(n≥2)(或前幾項)之間的關系,并且這個關系可以用一個式子來表示.3.數列的遞推公式與數列的通項公式有什么區別與聯系?【答案】遞推公式通項公式區別表示an與它的前一項an-1(或前幾項)之間的關系表示an與n之間的關系聯系(1)都是表示數列的一種方法;(2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式4.數列是特殊的函數,我們知道函數有單調遞增函數,單調遞減函數,那么數列有單調性嗎?若有,如何判斷數列的單調性?【答案】有些數列具有單調性,在數列{an}中,若an+1>an,n∈N+,則{an}是遞增數列;若an+1<an,n∈N+,則{an}為遞減數列.這也是判斷數列單調性的依據.自學檢測1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)有些數列可能不存在最大項.()(2)所有的數列都有遞推公式.()(3)所有數列都具有單調性.()(4)在數列{an}中,若an=n-3n+2,則{an}是遞減數列.(【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×2.數列1,12,14,18,…的遞推公式可以是(A.an=12n(n∈N+) B.an=12n(C.an+1=12an(n∈N+) D.an+1=2an(n∈N+【答案】C【解析】由題意可知選項C符合題意,故選C.3.已知數列{an}的通項公式為an=log12(n+1),則數列{an}是數列.(填“遞增”或“【答案】遞減【解析】因為an-an-1=log12(n+1)-log12n=log121所以an<an-1,所以{an}是遞減數列.4.已知數列{an}滿足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,寫出該數列的前5項.【解析】由題意得a3=a2+2a1=4,a4=a3+2a2=8,a5=a4+2a3=16,故該數列的前5項依次為1,2,4,8,16.【合作探究】探究1：數列的遞推關系情境設置已知某冰雪項目看臺有30排座位,第一排有20個座位,從第二排起,后一排都比前一排多2個座位.問題1:寫出前五排的座位數.【答案】20,22,24,26,28.問題2:第n排與第n+1排的座位數有何關系?【答案】第n+1排比第n排多2個座位.問題3:能用等式表示出第n排座位數an與第n+1排座位數an+1的關系嗎?【答案】能.an+1=an+2.問題4:僅由數列{an}的關系式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能確定這個數列嗎?【答案】不能.數列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關系確定的,如果只有遞推關系而無初始值,那么這個數列是不能確定的.新知生成數列的遞推公式如果數列{an}的任一項an+1與它的前一項an之間的關系可用一個公式來表示,即an+1=f(an),n≥1,那么這個公式就叫作數列{an}的遞推公式,a1稱為數列{an}的初始條件.微點評:由遞推公式和初始條件可確定數列{an},這是表示數列的又一種重要方法.許多與數列有關的應用問題最后都歸結為這種數學模型.新知運用一、利用數列的遞推公式求數列的項例1若數列{an}滿足a1=2,an+1=1+an1-an,n∈N+,求【解析】a2=1+a11-aa3=1+a21-a2a4=1+a31-a3a5=1+a41-a4=1+…∴{an}是周期為4的數列,∴a2023=a4×505+3=a3=-12【方法總結】遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關系.對于通項公式,已知n的值即可得到相應的項,而對于遞推公式,則要已知首項(或前幾項),才可依次求得其他的項.若項數很大,則應考慮數列是否具有規律.二、利用遞推公式求通項公式例2(1)在數列{an}中,a1=1,an+1=an+1n-1n+1(n∈N+),則an=(A.1n B.2n-1n C.(2)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=nn+1an(n∈N+),則an=(A.n+1 B.n C.1n+1 D【答案】(1)B(2)D【解析】(1)(法一:歸納法)數列的前5項分別為a1=1,a2=1+1-12=2-12=a3=32+12-13=2-1a4=53+13-14=2-1a5=74+14-15=2-1由此可得數列的一個通項公式為an=2n-1n(n∈N+)(法二:迭代法)a2=a1+1-12a3=a2+12-1an=an-1+1n-1-1n(則an=a1+1-12+12-13+13-14+…+1n-1-1n=2-又a1=1也適合上式,所以an=2n-1n(n∈N+)(法三:累加法)an+1-an=1n-1a1=1,a2-a1=1-12a3-a2=12-1a4-a3=13-1…an-an-1=1n-1-1n(以上各式相加得an=1+1-12+12-13+…+1所以an=2n-1n(n≥2)因為a1=1也適合上式,所以an=2n-1n(n∈N+)(2)因為數列{an}滿足an+1=nn+1an(n∈N+),所以an+1a所以an=anan-1·an-1an-2·…·a3a2·a2a1·a1=n-1n×n-2n-1×…【方法總結】由遞推公式求通項公式的常用方法(1)歸納法:根據數列的某項和遞推公式,求出數列的前幾項,歸納出通項公式.(2)迭代法、累加法或累乘法,遞推公式對應的有以下幾類:①an+1-an=常數,或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;②an+1=pan(p為非零常數),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求積的),使用累乘法或迭代法;③an+1=pan+q(p,q為非零常數),適當變形后轉化為第②類解決.鞏固訓練1.(多選題)已知數列{an}中,a1=3,an+1=-1an+1,能使an=3的n可以為(A.22 B.24 C.26 D.28【答案】AD【解析】由a1=3,an+1=-1an+1,得a2=-14,a3=-43所以數列{an}是周期為3的數列,故a22=a3×7+1=a1=3,a28=a3×9+1=a1=3.2.已知數列{an}滿足a1=3,an+1=2an+1(n∈N+),則a5=,由此歸納出{an}的一個通項公式為,a8=.

【答案】63an=2n+1-1511【解析】∵a1=3,an+1=2an+1,∴a2=2a1+1=7,a3=2a2+1=15,a4=2a3+1=31,a5=2a4+1=63.可以歸納出an=2n+1-1,∴a8=29-1=511.3.(1)已知a1=1,an+1-an=2(n∈N+),求數列{an}的通項公式.(2)已知數列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N+),求數列{an}的通項公式.【解析】(1)∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2(n≥2),將這些式子的兩邊分別相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1)(n≥2),即an-a1=2(n-1)(n≥2).又a1=1,∴an=2n-1(n≥2),當n=1時,a1=1也滿足上式,故數列{an}的通項公式為an=2n-1.(2)由an+1=3an得an+1a因此a2a1=3,a3a2=3,a4a將上面的(n-1)個式子相乘可得a2a1·a3a2·a4a3即ana1=3n-1∴an=a1·3n-1(n≥2).又a1=2,∴an=2·3n-1(n≥2).當n=1時,a1=2也符合上式,∴an=2·3n-1.探究2：數列的單調性情境設置觀察下面的數列,回答問題.(1)2,32,43,(2)-13,16,-19(3)0.8,0.88,0.888,….問題1:寫出(1)(2)(3)的通項公式.【答案】(1)所給數列可寫成1+11,2+12,3+13∴原數列的一個通項公式為an=n+1n(n∈N+)(2)所給數列可寫成(-1)1×13×1,(-1)2×13×2,(-1)3×13×3,(-1)4∴原數列的一個通項公式為an=(-1)n×13n=(-1)n3n(n(3)所給數列可寫成891-110,891-1102,891-1∴原數列的一個通項公式為an=891-110n(n∈N+問題2:觀察(1)(2)(3)中數列,從第二項起每一項與它前一項有什么大小關系?【答案】(1)中從第二項起每一項都比它前一項小;(2)中從第二項起有些項比它前一項大,有些項比它前一項小;(3)中從第二項起每一項都比它前一項大.新知生成數列的單調性一般地,對于一個數列{an},如果從第二項起,每一項都大于它的前一項,即an+1>an,n∈N+,那么這個數列叫作遞增數列;如果從第二項起,每一項都小于它的前一項,即an+1<an,n∈N+,那么這個數列叫作遞減數列;如果從第二項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項,那么這個數列叫作擺動數列;各項都相等的數列叫作常數列.新知運用一、判斷數列的單調性例3判斷數列an=n2n2【解析】因為an=n2n2+1,所以an=n2+1-1n2+1=1-1n2+1,當n增大時,1n【方法總結】判斷數列單調性的方法(1)作差比較法:①若an+1-an>0恒成立,則數列{an}是遞增數列;②若an+1-an<0恒成立,則數列{an}是遞減數列;③若an+1-an=0恒成立,則數列{an}是常數列.(2)作商比較法:①若an>0,則當an+1an>1時,數列{a當an+1an<1時,數列{a當an+1an=1時,數列{a②若an<0,則當an+1an<1時,數列{a當an+1an>1時,數列{a當an+1an=1時,數列{a二、求數列的最大(小)項例4已知an=9n(n+1)10n(n∈N+),則數列{an}中有沒有最大項?如果有,求出最大項;【解析】(法一:函數單調性法)令f(n)=an,則f(n+1)-f(n)=an+1-an=9n+1(n+2)10n+1-9n當n<8時,an+1-an>0,即an+1>an,所以{an}在n<8時單調遞增;當n=8時,an+1-an=0,即an+1=an,所以a8=a9;當n>8時,an+1-an<0,即an+1<an,所以{an}在n>8時單調遞減.所以數列{an}的最大項是第8項和第9項,為a8=a9=99(法二:不等式組法)設an最大,則an≥a即9解得8≤n≤9.又因為n∈N+,所以n=8或n=9.故{an}的最大項為a8=a9=99【方法總結】求數列最值的方法(1)函數的單調性法:令an=f(n),通過研究f(n)的單調性來研究數列的最大(小)項.(2)不等式組法:先假設有最大(小)項.不妨設an最大,則滿足an≥an-1,an≥an+1(n≥2),解不等式組便可得到n的取值范圍,從而確定n的值鞏固訓練已知數列{an}的通項公式為an=n-(1)討論數列{an}的單調性;(2)求數列{an}的最大項和最小項.【解析】(1)已知數列{an}的通項公式為an=n-254n-255=1據此可得1>a1>a2>a3>…>a15,a16>a17>a18>a19>…>1,即當n<16(n∈N+)時(2)由(1)知,數列{an}的最大項為a16,最小項為a15.【隨堂檢測】1.已知數列{an}的第1項是1,第2項是2,且an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),則該數列的第5項為().A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.2.已知數列{an}的通項公式為an=n·23n(n∈N+),則數列{an}中的最大項為().A.89 B.23 C.6481【答案】A【解析】因為數列{an}的通項公式為an=n·23n,顯然an>0,令anan-1≥1,anan+1≥1,即n·23n(n-1)·23n-1≥1,n·23n(n+1)·23n+1≥1,得2≤n≤3,