2021年高考數學一輪總復習專題24平面向量的概念及運算檢測文

本專題專門注意：

i.向量加減的幾何意義

2.向量共線的問題

3.零向量問題

4.向量夾角為銳角和鈍角問題

5.差不多定理的兩條路徑法表示向量

6.向量共線與三點共線的區別與聯系

7.向量的模與夾角的運算及應用問題

8.平行與垂直問題

【學習目標】

1.明白得平面向量的概念，明白得兩個向量相等的含義；明白得向量的幾何表示.

2.把握向量的加法、減法的運算，并明白得其幾何意義.

3.把握向量數乘的運算及其幾何意義，明白得兩個向量共線的含義.

4.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.

【方法總結】

1.向量線性運算技巧

(1)用已知向量表示與其相關的另外一些向量時，在運用向量的加法、減法、數乘運算的同時，應充分利用

平面幾何的一些差不多定理.

(2)在求向量時盡可能轉化到某平行四邊形或三角形內，以便運用平行四邊形法則和三角形法則，涉及到線

段比時，一方面考慮平行線定理，另一方面充分運用數乘運算的幾何意義

2.向量共線問題

(1)向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注

意待定系數法和方程思想的運用.

1/20

(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線

且有公共點時，才能得出三點共線.

高考模擬：

一、單選題

1.4g_

1.已知平面向好=(1，2),B=(1,T),則.-3一()

A.7?B.2C.琳D.3

【答案】C

【解析】分析：苜先根據向量的額乘以及向量的減法運算，求得對應向量的坐標，利用模的坐標公式求得

結果.

詳解：因為平面向量日-(L2),b=(1,-1),則向量於一患-1(12)-^(1,-1)-(-12),

所以|3一”|=上向由=再，故選。一

點睛：該題考查的是有關向量的模的問題，在解題的過程中，需要應用向量的數乘以及減法運算公式，求得對應

向量的坐標，之后應用模的坐標運算式求得結果.

2.設￡方為向量，則?|a-5|=|a||6p?是“句7茄，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】分析：”|7瓦=同加可得維而向=±1,由“力仆”可得向量夾角為0或〃，利用充分不必要的定義

可得結果.

詳解:由同仍l|cos(M)|=問鬧,得COS(￡3阿±1,

即@耳=0或n，.?.￡〃&

由￡〃“得向量占與％同向或反向，

(￡,B>=o或”，.?.而司=|司同，

“向臼=|同向”是，目/茄，的充分必要條件,故選c.

點睛:判定充要條件應注意:第一弄清條件p和結論q分別是什么，然后直截了當依據定義、定理、性質嘗試p=q，qnp.

關于帶有否定性的命題或比較難判定的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆

2/20

命題和否命題的等價性，轉化為判定它的等價命題；關于范疇問題也能夠轉化為包含關系來處理

3.已知向量￡=（l，2）』=（-2,t）,且則而+B=（）

A.嫄B.在C.V110D.5

【答案】B

【解析】分析：第一應用向量共線時坐標所滿足的關系，求得t=-4,從而能夠求得￡+5=（-L-2）,之后應用

向量的模的坐標公式求得結果.

詳解：依照題意可得lxt=2x（-2）,可得t=-4,

因此3+1=（-1,-2）,從而可求得伍+）=再不?=而,故選B.

點睛：該題考查的是有關向量模的求解問題，在解題的過程中，需要利用向量共線坐標所滿足的條件，求得相關

的參數的值，之后應用向量加法運費法則求得和向量的坐標，接著應用向量的模的坐標公式求得結果

4.已知四個命題：

①假如向量。與匕共線，則。=匕或。=一匕；

②xW3是|x|W3的必要不充分條件；

③命題P：*G（0,2）,工2-2x--3<0的否定「p：VA:e（0,2）,%2-2x-3>0；

000

④“指數函數y=ax是增函數，而y=是指數函數，因此y=是增函數”

此三段論大前提錯誤，但推理形式是正確的.

以上命題正確的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】①錯，假如向量”與匕共線，則。=入九（九CK）；

②xW3是|x|W3的必要不充分條件；正確，由|x|W3能夠得到xW3,但由xW3不能得到

|小3,如x=-4；

③命題P：氣式0,2）,x2—2.x—3<0的否定一p：VxG（0,2）,%2—2x—320；

00一.

正確

④“指數函數y=如是增函數，而y=|■”是指數函數，因此y=1?”是增函數”

3/20

此三段論大前提錯誤，但推理形式是正確的.，正確.

故選D.

5.兩個單位向番，8的夾角為120°,則|2￡+同=()

A.2B.3C.也D.W

【答案】D

【解析】兩個單位向量日，8的夾角為120、貝42=+可="|2。+占卜=J婷+4a6+4M3?8=—*

3

代人得到福.

故答案為：叵

6.已知￡,看是兩個單位向量,則|2￡+司+|23-司的最大值為()

A.2非B.2根c.2/)4\管

【答案】A

【角軍析】設。=(cosatsina)th=(co50,s"i0)

則12a+=J(2cosa+cosfT)2+(2sina+sin/?)2=,5+4cos(a-￡),

|2Q_&=^(2cosa-cosfi)2+(2sina-sinp)2=y/5-4co$(a_8),

因此3+&|*|2a-b|=\/5+4cos(a-/)?(5-4cos(。-0)=)25一16cos2m-位"y'25=5當且僅當co5(ar-夕)=。

時，3+2T21b|取到最大值5.

12a+瓦+|2a-瓦=J|2&+6|2+|2a-6|2+2|2a+b\■|2a-5|

=J4#+產+40,b+4a2+t)2-4a-b+2\2a+f>\■\2a-h\

=^10+2|2a+^|-|2a-6|$J10+2x5=2或

因此|21+石|+|21句的最大值為2點故選A.

點睛：本題的難點在于解題思路的找尋，關于那個最值，一樣利用函數的思想，先建立22+司，|2￡-b|的三角函

數，進而研究函數|2￡+臼+|22-5|的最值.

7-若向量2、G滿足向=1、小|=\251(i+5),則最與石的夾角為()

n27r3TT57r

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

4/20

2

【解析】試題分析:因為厚，(4+機所以那?(左十君)=0,即日1日十金)=|a|+|a|?|b|cos<b>=0?

所以8s<2b>=-?哥虱=-嚀，又<￡b>E［。用，故西b的夾角為手，

選C.

考點：平面向量的數量■積、模、夾角.

8,已知向量而,曲滿足|應1|=|而|=2,6A,M=2,若戊;=2點+〃麗且;l+〃=l”,A6R),則|而|的最小

值為()

A.1B.2C.D,邪

【答案】D

【解析】I而產=岫+〃施)2=M偽I+(1-布向2_媼2+4(1_7)2+2A(1-X)(JA?*

?.?M而=2

|Ot|2=4；2+4(1-A)2+24(1-；)-2=4/I2-4；+4=4(4--)2+3A=-,xy.._5

2,當且僅當2時，=W

點睛：本題考查向量的差不多運算，向量模的求法，差不多不等式的應用，考查運算能力.解題時二次函數的配

方是解題的關鍵

9.已知ei￡2是互相垂直的兩個單位向量，a=ei+2e2,b=4e「2e2,則

A.a//bB.a，bc.I°l=2|b|D,<a-h>=60°

【答案】B

【解析】a-卜=(Q+2e?)?(4e1-2e2)=4e「+叫.e?-4e?2=4-4=0.a1b

本題選擇B選項.

10.設平面向量Q.G=1,2,3)滿足卜［=1,且〃?。=0,則,+〃|的最大值為()

A.2B,3C,母+1D.飛3+9

【答案】C

5/20

【解析】設］=%+%，

?：a1a2=0，且同=l(i=L2),

.'.c|=|Oj+.

q+叼+巧=|c+a3<\c\+a3=^2+1.當且僅當三與勺共線同向時等號成立,

.1.q+叼+q的最大值為忘+1.選C.

點睛：

由于向量a-a=0,且卜|=%|=1,因此向量a+。確定，這是解題的基礎也是關鍵.然后在此基礎上依照

121I112112

向量模的三角不等式可得H+%+%|的范疇，解題時要注意等號成立的條件.

11.四邊形ABCD中，AB=DC,且|AD—4用=|40+4回，則四邊形ABCD是（）

A.平行四邊形B.菱形'C.矩形D.正方形

【答案】C

【解析】由于A3=DC,故四邊形是平行四邊形，依照向量加法和減法的幾何意義可知，該平行四邊形的對角

線相等，故為矩形.

12.下列命題正確個數為的是（）

①關于任意向量。、b、c,若a//b,匕〃c,則。〃c

②若向量。與b同向，且I>1切，則。>匕

③Qb）c=a.Q.c）

④向量與是共線向量，則A、B、C、D四點一定共線

A.4個B.3^C.2個D.0個

［答案］①一

【解析】關于①，若匕=0,則不能得出ac,①錯；關于②，向量不能比較大小，因此②錯；關于③，（a-b）-c

表示與c共線的向量，a-Q-c）表示與d羹線的向量，因此。力）-c與a-Q-c）不一定相等，③錯；關于④，

6/20

AB與8是共線向量，等價于ABCD,A、B、C、D四點不一定共線，因此④錯，正確個數為0個，選D.

點睛：本題要緊考查向量中的有關棚念，屬于易錯題。解答本題的關鍵是熟練把握向量中的相關概念、性質等。

13.如圖，以A3為直徑在正方形A86D內部作半圓0,P為半圓上與A,8不重合的一動點，下面關于

+++的說法正確的是()

A.無最大值，但有最小值

B.既有最大值，又有最小值

C.有最大值，但無最小值

D.既無最大值，又無最小值

【答案】A

【解析】設正方形的邊長為2,如圖建立平面直角坐標系,

PA+PB+PD=2P0+PD=(-2cos0,-2sin0)+(-1-cos0,2-sin0)

=(-l-3cos6,-3sin6)|PA+PB+PC+PD^=J(—1—3cosO>+(_3sin?》=J10+6cos9?/cosoe

(-1,D,：.\PA+PB+PC+PD^e(4,16).

故選D.

點睛：本題考查了向量的加法及向量模的運算，利用建系的方法，引入三角函數來解決使得思路清晰，運算簡便,

遇見正方形，圓，等邊三角形，直角三角形等專門圖形常用建系的方法.

14.下列命題正確的是()

7/20

A.。與匕，匕與共c線，則。與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點

C.呵量a與心不共線，則匕差不多上非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

【答案】C-

【解析】當匕為零向量時，A不成立；兩個相等的非零向量的始點與終點能夠在同一直線上，B不成立；有相同

起點的兩個非零向量，若它們終點與起點共線則它們平行，D不成立；若。與b至少有一個為零向量，則向量a

與匕必共線,.因此C正確，選C.

15.已知向量。4與。5的夾角為。，|0A|=2,OP=tOA,0Q=(l-t)0B,在，0時

取最小值，當0(心時，cose的取值范疇為()

04

【答案】D

【解析】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則由題意有：A(2,O),B(cose,sin0),

由向量關系可得：OP=tOA=(2t,0),0Q=(l-t)0B=((l-r)cosO,(1-OsinO),

則：—。尸卜J[(lT)cos。12弓+[(1-"sin?),

整理可得：怛。卜聲+4cos0)^2-(2+4cos0)^+1,

一r(2+4cos。)13

滿足題意時：』=-2(5+4cos6)=2—2(4cos6+5)'

n131

據此可得三角不等式：0<;一/——J，

2214cos0+V5J<74

解得：一：<cosO<1,BPcos0的取值范疇是一[二.

24I2

本題選擇D選項.

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點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數量積的幾何意義.具體應用時

可依照已知條件的特點來選擇，同時要注意數量積運算律的應用.

16.下列命題中：

①士〃分o存在唯獨的實數/!eR,使得B=Xa.

②2為單位向量,且￡〃￡,則￡=±1乖；

③而?石|=向2；

④嗚日共線，日與2共線，則嗚2共線；

⑤若ab=h-c且BH0,則a=c

正確命題的序號是（）

A.①⑤B.②③C.②③④D.①④⑤

【答案】B

【解析】分析：逐一分析判定即得正確答案.

9/20

詳解：對于①，當日=施工而寸，強力,但是并不存在唯一實數實數ae凡使得君=2點所以是錯誤的.

對干②，由于日和*方向可能相同，也可能相反，所以是正確的.對于③，是正確的.對于④，如果

疝#3石=6石*6,顯然滿足題意，但是疝與之可能不共線，所以是錯誤的,對于⑤，只能推出

|a||A|cos<a,6>=|a||c|cos<G>,不能推出日=片.所以是錯誤的.

故答案為：B

點睛：（1）本題要緊考查平面向量的差不多概念和性質定理，意在考查學生對這些基礎知識的把握能力和辨別能

力.（2）本題的幾個命題是典型的易錯題，要明白得把握如：￡〃80存在唯獨的實數/leR,使得B=而；￡與日共

線，日與2共線，貝值與2共線；若?阻［則￡=￡.

17.給出下列命題：

①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量.

②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.

③為a=0（九為實數），則九必為零.

④九，日為實數，若入。=日匕，則。與匕共線.

其中正確的命題的個數為（）

A.1B.2C..3D.4一

【答案】A

【解析】因為兩個向量終點相同，起點若不在一條直線上，則也不共線，命題錯誤；由于兩個向量不能比較大小，

但它們的模能比較大小，因此命題是正確的；若大。=0（九為實數），則。也能夠零，因此命題也是錯誤的；若

九,N為0,盡管有九。=日6,則。與b也不一定共線，即命題也是錯誤的，應選答案A。

18.關于非零向量。1,c,下列命題正確的是（一）'

A,若九a+九。=0（九，九6尺），,則九=入=0

121212

B.若〃/〃，則。在b上的投影為同

C,若〃_Lb,貝！b=。山）

D.若。?c=Z??c,則a=b

【答案】C

10/20

【解析】A.：若九。+九b=0（九，九eR）,,a=b=O時，不一定有入=入=0,故A錯誤

121212

B：al1b可得。在b上的投影為卜|或一向，故B錯誤；

C：由。_Lb,.可得。0=0從而有。?b=Cz%>=0,故C正確

D：由％-c=/??<?=>C-b）c=0,0=6不一定成立，故D錯誤

故選C"一一一

———ab

19.設％⑦差不多上菲零向量，下列四個條件中，一定能使「+「=0成立的是（）

1?1H

A.aLbB.a//bC.a=2bD.a--b一

【答案】D

ab八ab~,a,

【解析】由17+口=0得若「=—L=0,即匕=-「?4，則向量a力共線且方向相反，

\a\\b\\a\\b\b

Hh

因此當向量a力共線且方向相反時,篦使「+「=。成立，

一一問忖

本題選擇D選項.

20.在以下關于向量的命題中，不正確的是（?）

A.若向量a=（x,y）,向量b=（-y,x）（孫w0）,則a_Lb

B.若四邊形ABCD為菱形，則48=。。,且,可=科叫

C.點G是一△ABC的重心，則GA+G3+GC=0

D.△ABC中，AB和C4的夾角等于A

【答案】D—一一一

【解析】AABC申/曲和CA的夾角等于A的補角，D的說法是錯誤的.

本題選擇D選項.

二、填空題一一

21.已知向量Q=（%x+4）,b=（x+l,y）,其中x>0,且a與6共線，則當V取最小值時，1。-加為

【答案】回

【解析】由向量共線的充要條件得

11/20

xy=(x+4)(%+1)=x2+5x+4

4口

y=%+—+522r--+5=9

貝I]x<x

當且僅當*=2時，取等號，現在￡=(2，6),6=(3,9)

???￡-6=(-1,-3)

則向-4二次

22.已知向量3=(1,0)5=。,1),若(￡+')"為實數)，則而+篇|=,

【答案】2

“->+4T)_L->(T+4T)?T=0

【解析】I。b)b,則3b)b

'?t2+=0A=——

ab,即1+22=0,解得2

23.若AP=LPB,AB=G+1)BP,則九=

2

【答案】弓

13

【解析】如圖所示，由=可知點P是線段AB上靠近點A的三等分點，則A3=-

35

結合題意可得：X+l=--,.

24.如圖所示，已知045,由射線。4和射線06及線段A3構成如圖所示的陰影區(不含邊界).

⑴若。為中點，OD=(用。4,表示)

(2)已知下列四個向量:

12/20

31

①叫=04+205；②=-OA+-OB-

243

31

@OM=-0A+-0B-@OM=-OA+-OB.

323445

關于點M,M,M,M，落在陰影區域內（不含邊界）的點有（把所有符合條件點都填

1234

上）

【答案】-（OA+OB）M,M

212

【解析】若。為A3中點，則由向量的加法法則可得。。=3（94+。6）；

設M在陰影區域內，則射線與線段A3有公共點，記為N,

則存在實數te(0,1],使得⑴ON=tOA+(l-t^OB,

且存在實數r21,使得0M=rON,從而。M+—（1一力。8,

2

且"+一（1一力二廠21.又由于,故衣1一力20.關于①中片=1,r（l-r）=2,解得廠=3,t=3,滿

足一21也滿足一（1—力之。?，故①滿足條件.

3113Q

關于②廠（1—力二了解得廠=五，%二w，滿足丁21也滿足「（1—1）＞o.故②滿足條件，

1I53

關于③H=不，r（l—%）=—9解得廠=—?t=：,不滿足一》1,故③不滿足條件，

2365

31

關于④"二—，〃（1一力二一，

45

1915

解得〃=兀，％=歷'不滿足廠21，故④不滿足條件，

故答案為⑴.（Q1+08）（2）.M,M

212

25.已知向量。=（1,-2）,aVb,|2a-ft|=5,則例=.

【答案】75

【解析】由。=（1,一2）,得同=

由12。-。卜5,平方得4。2一4。b+/?2=25,

因為。_L/?「因此。8=0,

有2。-6+b2=25,?解彳觸卜75一

13/20

26.已知回=3,1|=4,a-b=Q,若向量c滿足(a—c>Q—c)=0,則|c|的取值范疇是.

【答案】10,5〕

【解析】易知卜+。|=5,由(a—c>Q-c)=0得c2=Q+5)c=|a+Z?j|c|cosja+b,c>=5|c|cosja+b,c),

因此1c|=0或|c|=5cos{a+b,c),由此可得|c|的取值范疇是[Of]..

_111-J.—*■1——*I-/—*-*x—*—*■111

27.在平面直角坐標系中，已知。為坐標原點，A(-1,0),80,cos",C(l,0),若動點

l+icosa,isinocj(aeR),則|。4+2QB+3OC+3。。1的最大值為.

【答案】2"+1

故|。4+208+3℃+3物=3x=2近+1

33

max\7

點睛：本題要緊考查了平面向量的線性運算及其運用，綜合了圓上點與定點之間的距離最大值，先給出動點的軌

跡方程，再表示出向量的坐標結果，依據其幾何意義運算求得結果，本題方法不唯獨，還能夠直截了當運算含有

三角函數的最值

2兀

28.已知向量體。的夾角為g,若k|=1,|4+。|=4字，則卜|

【答案】3

【解析】由題意可得：Q+/?)=〃2+/?2+2〃/=1+卜『+2xlx|&|xcos|■兀=7,

整理可得：肝—2xlx|b|—6=0,.?.]—3)(|+2)=0,

據此可得：b|=3.

14/20

29.已知「叫=2,|叫=4,且7M沖=；若點p滿足加+3-m=2,則"I的取值范疇為—.

【答案】卜71

［解析］因為口=771/2+2力W.TTV+TW?=25,^TM+TN\-\TP^：\TM+TN-TP\,得

3mmW7,故填b,71

*****Q.a，，:

30.在銳角A48C中，CM=3血,AM=xAB+yACf則y.

【答藉3

【解析】由題設可得點+俞=3謙一西，即4加=3/+AC,也即加=:淳+：就,貝伽=：〃=：,

故j=3,應填答案3。

31.如圖，在A048中，尸為線段48上的一點，OP=xOA+yOB,且加=4的，則、=,y=.

41

【答案】55

---OP=—OA+—OB

【解析】由題意，結合圖形，依照平面向量的運算法則，由BP=4P4,得OP-OB=4(04-OP),即5,

41

x=-y=z

因此5,5.

32.①若公與加為非零向量，且涼/日時，貝而+加必與公或加中之一的方向相同；

②若工為單位向量，且力/",貝4=同,"瓦

③￡W=|a|3；

④若公與8共線，B與2共線，貝加與2必共線；

⑤若平面內有四個點"CD,則必有元+BD=BC+AD_

上述命題正確的有.(填序號)

【答案】⑤

【解?析】由題意，命題①中，若&與B模相等且方向相反時，不成立；命題②中，若￡為零向量時，不成立；命題

③中，依照向量數量積，^-a-a=|a|2-a*|a|\命題④中，若為日零向量時，不成立；命題⑤中，依照向量的

15/20

加減，由尼+麗=比+初，^C-BC=AD-BD,即市:+癰=疝+而，因此/缶=4七，成立，故正確答案為

⑤.

點睛：此題要緊考查平面向量中的相等向量、共線向量、數量積、加減法則等有關方面的知識與技能，屬于中低

檔題，也是平面向量的基礎知識點.在此問題中，針對每個命題的條件與結論，逐一對比平面向量相關的知識，

進行運算、判定，抓住零向量方向的專門性，進行驗證，從而問題可得解

33.設4為單位向量，①若明平面內的某個向量，貝的日司4；②若&與￡平行，貝的用句4；③若而與許

行且向=1,貝液二4.上述命題中，假命題個數是.

【答案】3

【解析】向量是既有大小又有方向的量，?與同&。模相同，但方向不一定相同，故①為假命題；薦與正方向有

兩種情形：一是同向，二是反向，反向時力=而瓦，故②③也是假命題，故答案為3

3

34.如圖，歹為線段5c的中點，CE=2EF,。尸二5A尸，設AC=。，45=8.,試用。，b表示AE,

AD,BD.

【答案】AD=—G+/?),BD=—a--b

555

【.解析】【試題分析】依據題設條件運用向量的三角形法則進行求解：

解：因為—CE=-CB=~(jb-a)f

333

21

因止匕AE-AC+CE=—。+一Z;.

33

因為AF二^(a+b),因此AD==^(Q+Z?),

因止匕=AD-AB-+=^a-^b.

35.已知A(l,3),B(4,-l),則與向量A3共線的單位向量為.

【解析】由題意可得：A3=(5,-4)

16/20

X2+y2=1

設所求向量為：n=(x,y),由題意可得：｛±

y—4

3_434

求解方程組可得：上向量AB共線的單位向量為或

5，-55J5

36.如下圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,點M是線段0D的中點，設=

則4M二.(結果用凡0表示)

【答案】—+—b

44

【解析】

....1..1.—*1—?13—

試題分析：由題可知，AM=AD+DM=AD+—DO=AD+—DB=b+—(a—b)=—a+—b；

24444

考點：向量的運算

r,1、

-h-(COSJC)———

37.已知&=60工1),2,函數/@)=6(4一")，那么下列四個命題中正確命題的序號

是.

①/(x)是周期函數，其最小正周期為2兀；

④點I"]是函數/(X)的一個對稱中心.

【答案】②③④

【解析】試題分析：

,---33.2.3

f(x)=a\a-b)=(sinx,1)(22sinx-cosxs—)=sinx(sinx-cosx)+1x—=sinx-sinxcosx+—

17/20

1—COSZX1._J1._1__i/.__\_x/z_71

=----------sin2x+—=--sinzx--coszx+2=--Vsin2x+cos2x7+2=-sin2x+—+2

22222224J

???函數/G)的周期為==兀，二①為錯誤的；當sin(2x+：1=l時，/G)取得最小值—f+2,現在

2(4)2

2%+—=—+Z),gpx=—+^7i,(^eZ),當k=0時，x=—,；.②為正確的；令—+2kn

42882

<2x+—<—+2左兀(左ez),解得巴+左兀<》4—+左兀(左eZ),函數/(x)的增區間為

4288

"際子+可金“)，當上=一1時，函數4)的增區間為卜泉-高，，③為正確的；令2x+亍

-knGZ),解得尤=一三+竺(女￡Z),函數/(X)的對稱中心為—+—,2^keZ),當左=0時,

8282J

④為正確的；綜上所述，②③④是正確的命題.故答案為②③④.

考點：命題的真假；三角函數的性質.

38.(5分)(2011?天津)已知直角梯形ABCD中,AD〃BC,NADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點，則|?A+3PB|

的最小值為.

【答案】5

【解析】

試題分析：依照題意，利用解析法求解，以直線DA,