年級：高二輔導科目：數學課時數：3課題求數列通項的公式方法教學目的1、掌握各種不同的求數列通項的方法，能夠在具體做題目的時候選擇恰當的方法。教學內容【知識梳理】等差數列的通項公式是如何推導的？用的是什么方法？等比數列的通項公式是如何推導的？用的是什么方法？【典型例題分析】一、公式法〔變形后用公式〕例1、中，假設求an 解：+4,即＝４，｝是等差數列?？梢酝ㄟ^等差數列的通項公式求出,然再求后數列{an}的通項。變式練習1：數列滿足，，求數列的通項公式。解：兩邊除以，得，那么，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。變式練習2:數列{an}中,求an.答案：變式練習3：正數數列{an}中，假設a1=10,且求an.解：由題意得：，即.即二、累加法例2、數列滿足，求數列的通項公式。解：由得那么所以數列的通項公式為。評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。變式練習1：數列滿足，求數列的通項公式。解：由得那么所以評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。變式練習2：數列滿足，求數列的通項公式。解：兩邊除以，得，那么，故因此，那么評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式，最后再求數列的通項公式。三、累乘法例3、數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以，那么，故所以數列的通項公式為評注：此題解題的關鍵是把遞推關系轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。變式練習:數列滿足，求的通項公式。解：因為 ①所以 ②用②式－①式得那么,故所以 ③由，，那么，又知，那么，代入③得。所以，的通項公式為評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，從而可得當的表達式，最后再求出數列的通項公式。四、待定系數法例4、在數列{an}中a1=1，當n≥2時，有an=3an-1+2，求其通項an解析：對于形如an+1=pan+q(p,q為常數)的遞推公式都可以采用此法，即可設an+1-t=p(an-t)再設法求出參數t.由題設知an+1=3an+2，可化為an+1-t=3(an-t)，即an+1=3an-2t，比擬系數得-2t=2，即t＝－1，于是an+1+1=3(an+1)，故數列{an+1}是公比為3的等比數列，首項為a1+1=2，那么an+1=2·3n-1，即an=2·3n-1-1。例5、數列滿足，求數列的通項公式。解析：設 ④將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤由及⑤式得，那么，那么數列是以為首項，以2為公比的等比數列，那么，故。評注：此題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。變式練習：數列滿足求答案：五、運用Sn與an的關系例6、數列{an}的前n項和Sn=10n+1，求通項公式an.解析：當n=1時，S1=a1，當n≥2時，an=Sn-Sn-1。當n≥2時，an=Sn-Sn-1=10n+1-(10n-1+1)=9·10n-1，又當n=1時，a1=S1=11不適合上式，∴通項公式an=。變式練習：正項數列{an}的前n項和為Sn，假設2=an+1(n∈N*)，求通項公式an.解析：根據題設2=an+1得4Sn=an2+2an+1，當n≥2時，有4Sn-1=an-12+2an-1+1，二式相減，得4an=an2-an-12+2(an-an-1)，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，由an>0知an-an-1=2，所以{an}是2為公差的等差數列，當n=1時，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1.六、對數變換法例7、數列滿足，，求數列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩設 eq\o\ac(○,11)將⑩式代入eq\o\ac(○,11)式，得，兩邊消去并整理，得，那么，故代入eq\o\ac(○,11)式，得eq\o\ac(○,12)由及eq\o\ac(○,12)式，得，那么，所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，那么，因此那么。評注：此題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。七、迭代法例8、數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以又，所以數列的通項公式為。評注：此題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得，即，再由累乘法可推知，從而。八、數學歸納法例9、數列滿足，求數列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論?！?〕當時，，所以等式成立。〔2〕假設當時等式成立，即，那么當時，由此可知，當時等式也成立。根據〔1〕，〔2〕可知，等式對任何都成立。評注：此題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項公式，最后再用數學歸納法加以證明。八、換元法例10、數列滿足，求數列的通項公式。解：令，那么故，代入得即因為，故那么，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，那么，即，得。評注：此題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式?！菊n堂總結】常用的求數列通項公式的方法：1、公式法〔通過變形湊結構可以得到一個特殊數列---等差或等比數列，利用等差等比數列的通項公式求解〕2、累加列乘法3、運用Sn與an的關系4、待定系數法5、數學歸納法【課后練習】1、數列對于任意，有，假設，那么 。2、數列{}的前項和，那么其通項；3、數列滿足,求數列的通項公式。 4、數列的首項為1，且寫出數列的通項公式。5、數列滿足，，求此數列的通項公式。6、數列中,,求數列的通項公式。7、設是首項為1的正項數列，且〔=1，2，3，…〕，那么它的通項公式是=________.8、,求數列的通項公式。9、數列滿足,,求數列的通項公式。10、數列{an}滿足a1=1，Sn=，求通項an11、數列,求此數列的通項公式。12、數列中，求通項。13、設數列的前項和為．，，．求數列的通項公式。14、設是正數組成的數列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項(1)寫出數列的前3項(2)求數列的通項公式(寫出推證過程)15、各項均為正數的數列的前n項和滿足，且，求的通項公式；16、在數列中，，，．〔Ⅰ〕證明數列是等比數列；〔Ⅱ〕求數列的通項公式；17、設數列的前項和為，〔Ⅰ〕證明：當時，是等比數列；〔Ⅱ〕求的通項公式。18、在數列中，，其中．求數列的通項公式；課后作業答案：1、4；2、2n-103、；4、；5、6、7、8、9、10、解析：由a1=1，當n=2時，a1+a2=a2a2=2a1=2，當n=3時，a1+a2+a3=2a3a3=3，同理可得a4=4，……猜測得an=n，下面用數學歸納法證明。1°當n=1，2，3時，已驗算成立，2°假設n=k時，猜測成立，即ak=k，當n=k+1時，Sk+1=ak+1，又Sk=ak=，二式相減，得aK+1=ak+1-ak+1=ak+1=k+1，即n=k+1時猜測也成立，由1°2°知對于一切自然數n都有an=n.11、12、13、解：依題意，，即，由此得．因此，所求通項公式為，．，，于是，當時：，14、(1)由題意，當n=1時，有，S1=a1，∴，解得a1=2當n=2時，有，S2=a1+a2，將a1=2代入，整理得(a2－2)2=16，由a2＞0，解得a2=6當n=3時，有，S3=a1+a2+a3，將a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64，由a3＞0，解得a3=10故該數列的前3項為2，6，10(2〕解法一由(1〕猜測數列{an}有通項公式an=4n－2下面用數學歸納法證明{an}的通項公式是an=4n－2，(n∈N*〕n=1時，因為4×1－2=2，，又在(1)中已求出a1=2，所以上述結論成立②假設當n=k時，結論成立，即有ak=4k－2，由題意，有，將ak=4k－2代入上式，解得2k=，得Sk=2k2，由題意，有，Sk+1=Sk+ak+1，將Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)，整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2，即當n=k+1時，上述結論成立根據①②，上述結論對所有的自然數n∈N*成立解法二由題意知，(n∈N*)整理得，Sn=(an+2)2,由此得Sn+1=(an+1+2)2，∴an+1=Sn+1－Sn=［(an+1+2)2－(an+2)2］整理得(an+1+an〕(an+1－an－4)=0，由題意知an+1+an≠0，∴an+1－an=4，即數列{an}為等差數列，其中a1=2，公差d=4∴an=a1+(n－1)d=2+4(n－1)，即通項公式為an=4n－2解法三由得,(n∈N*)①，所以有②，由②式得，整理得Sn+1－2·+2－Sn=0，解得，由于數列{an}為正項數列，而，因而，即{Sn}是以為首項，以為公差的等差數列所以=+(n－1)=n,Sn=2n2，故an=即an=4n－2(n∈N*)15、解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假設a1＝S1＞1，因此a1＝2。又由an+1＝Sn+1-Sn＝，得an+1-an-3＝0或an+1＝-an因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。因此an+1-an-3＝0。從而｛an｝是公差為3，首項為2的等差數列，故｛an｝的通項為an＝3n-2。16、〔1〕證明略；〔2〕17、解：由題意知，且兩式