高考數學解析幾何專題

第03講共焦點問題

知識與方法

橢圓與雙曲線共焦點求解模型:

結論1:已知F11F2為橢圓和雙曲線的公共焦點，P為它們的一個公共點，且ZF1PF2=

θ,e,e分別為橢圓和雙曲線的離心率，則蕓i+T=L

12ele2

2222

【證明】設橢圓方程為?+?=ι,雙曲線方程為京-患=1，設P為橢圓與雙曲線在第

1

一象限內的公共點，F1,F2分疝為左、右焦點，則∣PF1∣+?PF2?=2α1,IPFiI-IPF2I=2a2,.?.

∣PF1∣=a1+a2,∣PF2∣=%—c?在△。&尸2中，由余弦定理得：|乙尸2『=∣PF∕2+

2

?PF2?-2?PF1??PF2?cosθ,

222

4c=(a1+a2)+(a?—a2)—2(a1+a2)(a1—a2)cosθ,

2c2=af(l-cosθ)+諼(1+cos0)

Sinqcos2^

即H+寸I

2222

結論2:己知橢圓(7臉+金=1(其中a1>bl>O)與雙曲線囁一克=1(其中

a2>0,b2>0)

的焦點重合，e1,e2分別為CvC2的離心率，則詈+*必+區

【證明】?=?=?^=?+ι,?=?=≡?i=ι-???J+3=?f+?

u?ecucoVcC匕］匕2

典型例題

類型1：已知頂角的共焦點問題

【例1］已知F11F2為橢圓和雙曲線的公共焦點，P為它們的一個公共點，且?F1PF2=p

則該橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值是（）

A.—B.—C.1D.√3

32

【例2】已知elle2分別是具有公共焦點F11F2的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的

一個公共點，O是線段F1F2的中點，且?P0?=IF2OI,則等==.

【例3】已知F11F2為橢圓和雙曲線的公共焦點，P為它們的一個公共點，且NFlPF2=學,

則該橢圓和雙曲線的離心率之積的取值范圍是.

［例4］已知F11F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且NFlPF2=M

則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（）

類型2:與面積有關的共焦點問題

下面幾例角度不夠不明顯，需要用到橢圓與雙曲線焦點三角形面積公式求解頂角的正、余弦

值.

2γ2C

v2

【例5］已知橢圓C1?--?-y=l（m>1）與雙曲線Q：/-好=1（幾>0）的焦點重合,

βι,e2分別為GC的著心率，則（）

A.m>n且e1e2>1B.m>九且e1e2<1

C.m<ri且e1e2>1D.m<九且e1e2<1

［例6］記共焦點的橢圓和雙曲線的離心率分別為βpβ2,若橢圓短軸長

是雙曲線虛軸長的2倍,則工+工的最大值為

5?-----------------

【例7】已知F11F2是雙曲線G：W=I（α>0,fe>0）與橢圓C2:||+^=1的公

共焦點，點P是曲線CvC2在第一ɑ象限的交點，若XPg的面積為3√δ,則雙曲線C1

的離心率為（）

2√10?√10c3遮√5

Aa.D.C.γUλ.—

5352

【例8】若橢圓?+?=l（t>15）與雙曲線?-?=l在第一象限內有交點A,且

雙曲線左、右焦點分別是&,尸2,4&尸24=120。，點P是敖圓上任意一點，貝IJΔPF1F2面

積的最大值是.

類型3：與焦半徑有關的共焦點問題

【例9】楠圓C1與雙曲線C2有相同的左右焦點分別為F11F2,敖圓C1的離心率為e1,

雙曲線C2的離心率為e2,且兩曲線在第一象限的公共點P滿足∣PF1h∣F1F2∣:∣PF2∣=

4:3:2,則山的值為()

。2-內

A.2B.3C.4D.6

2222

【例10】雙曲線?-?=l(α2>0,?2>0)與橢圓器+患=131>打>0)有相同的焦

點，且左、右焦點分“為N.,它們在第一象限的交點,P,若SinNFlPF2=2sin"F∕2,

且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數,則該雙曲線的離心率為.

2222

【例11］已知橢圓CI京+靠=l(α>b>0)與雙曲線0：2一翥=1(m>0,n>0)

有共同的焦點心,尸2,且在第一象限的交點為P,滿足2配?而=殆(其中。為原點).

設C1,C2的離心率分別為e1,e2,當3e1+e2取得最小值時，e的值為()

【例12】設橢圓3+?=1與雙曲線《一?=1在第一象限的交點為T1F11F2為其共

同的左右焦點,且ITFll<4,若橢圓和雙曲線的離心率分別為β1,e2,則el+el的取值范

圍為()

A,(2,?)B,(7,?)C.(1,?)D.(^÷∞)

強化訓練

2222

1.已知橢圓G：*+W=I（其中m>2b>0）與雙曲線Gj-S=1（其中n>

xm24b2n2b2v

0,b>0）的焦點重合,e1,e2分別為CnC2的離心率，則（）

A.m>Tt且e1e2≥∣B.τn>幾且e1e2≤|

C.mVTi且e1e2≥∣D.zn<九且e1e2≤g

2222

2.已知橢圓CιA+?=1（其中m>b>0）與雙曲線。2邑一為=1（其中n>O,b>

mzbznz4bz

0）的焦點重合，

e1,e2分別為C1,C2的離心率，則（）

A.τn>n且e1e2≥-B.m>n且e1e2>1

C.m<?i且e1e2≥-D.mV幾且e1e2>1

3.已知&、F2是雙曲線CIW-?=1(α>O,b>O)與橢圓C2：\+?=l的公共焦點，

點P,Q分別是曲線C11C2在第一、第三象限的交點，四邊形PFIQF2的面積為6√6,設雙

曲線C1與橢圓C2的離心率依次為e1,e2,則e1+e2=()

4.如圖，離心率為2的雙曲線C1與橢圓(?^+?=l(α>b>0)有共同的焦點

F11F2,P1Q分別是G,C2,在第一、三象限的交點，若四邊形PFIQF2是矩形，則橢圓C2

的離心率為()

A二B.更CrD.晅

4277

5.已知橢圓G：S'+棄=?(ɑi>瓦>0)與雙曲線C2?^^~=

l(α2>0,b2>0)有相同的左右焦點F1,F2,若點P是CI與Q

在第一象限內的交點，且∣F[F2∣=2∣PF2∣,設Cl與C2的離心率分

別為e1,e2,貝!∣eι+e?的取值范圍是()

A.&+8)B.(∣,+∞)C.[∣,+∞)D.以上答案

都不對

6.已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為APFιF2,且兩條曲線在第

一象限的交點為PAPFIF2是以PF1為底邊的等腰三角形,若IPFIl=10,橢圓與雙曲線

的離心率分別為e1,e2,則e2—勺的取值范圍是()

A?(∣,+8)B?(i)C.(0,∣)D.ɑ,l)

7.已知中心在原點的橢圓和雙曲線有共同的左、右焦點F11F2,兩曲線在第一象限的交點為

P,APF]F2是以PFl為底邊的等腰三角形，若IPFll=8,橢圓和雙曲線的離心率分別為

e,e,則—+—的取值范圍是()

12ele2

A.(4,+∞)B.(4,7)C.(2,4)D.(2√2,4)

8.中心在原點的橢圓C1與雙曲線C2具有相同的焦點Fι(,-cl0),F2(C,0)(C>0),P為C1

與C2在第一象限的交點，IPal=∣F1F2∣且∣PF2∣=5,若雙曲線C2的離心率e2∈(2,3),

則橢圓Cl的離心率e1的范圍是.

9.己知橢圓9+y2=ι與雙曲線W=I(α>o∕>O)有相同的焦點，其左、右焦點

分別為Fi、F2,若橢圓與雙曲線在第一象限內的交點為P,且IFIPl=IFi&l,則雙曲線

的離心率為.

10.已知橢圓C1；g+g=l(a>b>0)和雙曲線C2r?-g=l(m>0,n>0)的焦點相

同，F11F2分別力左、右焦點，P是橢圓和雙曲線在鼻象?艮的交點，PMLx軸，M為垂

足，若?OM?=1?OF2?(O為坐標原點)，則橢圓和雙曲線的離心率之積為.

參考答案

類型1：已知頂角的共焦點問題

［例1］已知F11F2為橢圓和雙曲線的公共焦點，P為它們的一個公共點，且?F1PF2==

則該橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值是()

1

b?TBTC?D.我

【答案】B

【解析】由上述結論可知嵩+看=4,所以，e1e2≥^,當且僅當e2=√3e1時等號成立,

所以選B.

【例2】已知elle2分別是具有公共焦點F11F2的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的

一個公共點，。是線段F1F2的中點，且?P0?=?F20?則等==________.

+e

y∣^i2

【答案】?

【解析】P0

??=IF2OI=i∣F1F2∣=P

【例】已知FF為橢圓和雙曲線的公共焦點，P為它們的一個公共點，且

3112ZF1PF2=y,

則該橢圓和雙曲線的離心率之積的取值范圍是.

【答案】e1e2>1

【解析】2=4一看=意=

2/、

由t=?√W=-3(t-∣)+p則蘇―W(W)

所以/(t)在(U)上單調遞減，則/(I)=Ij(I)=O,故有0<京<1=e1e2>1.

【例4］已知F11F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且NFlPF2=*

則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為()

A.B.—C.3D,2

33

【答案】A

【解析】由上述結論可得康+看=4,

解法1：利用柯西不等式

由柯西不等式得上+2=l?2++?且≤）l+i??+4=^,

e1e2e1√3e2?J3-Je；%3

當且僅當-=-,即e1=^,e2=√3時等號成立，

e?。23

即上+上的最大值為—,故選A.

e23

解法2:利用三角換元

由W+§=4,可利用三角換元?=2cosθf-=2sin0,

efele1e2

則工+上=乎sin（6+夕）≤號

β?∣e233

類型2:與面積有關的共焦點問題

下面兒例角度不夠不明顯，需要用到橢圓與雙曲線焦點三角形面積公式求解頂角的正、余弦

值.

,2

［例5］已知橢圓。1：a+、2=i（rn>1）與雙曲線c2^-y=l（n>0）的焦點重合,

β1,β2分別為CnC2的窗心率，則（）

A.TH>Ti且e1e2>1

B.m>九且e1e2<1

C.THV九且β1e2>1

D.τnV幾且e1e2<1

【答案】A

【解析】設P為橢圓與雙曲線在第一象限內的公共點，FltF2為它們的左、右公共焦點,

貝IJ∣PF1∣+IPF2I=2m,?PF1?-?PF2?=2n,.?.m>n,

由橢圓和雙曲線焦點三角形面積公式，可得SA=*ta∏3="?（頂角為θ）,

2tan-

所以tan；藁,所以冷

所以?÷A=2,

112

*?*e?≠62,?2=-JH—j>------,e?e?>L故選A.

βf戔e1e2

［例6］記共焦點的橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,若橢圓短軸長

是雙曲線虛軸長的2倍,則力搟的最大值為——.

【答案】I

【解析】易知1+.=5,

解法I：利用柯西不等式

由柯西不等式得

141115

當且僅當丁小即寸/2=2時等號成立,即V或的最大值為2-

解法2:利用三角換元

1412

由于+丁=5,可利用三角換元一=y[Scosθt-=√5sinθ,

比%e1e2

,115.5

則rl—I----=—sin(θ+(jp)≤—

。222

【例7】已知FltF2是雙曲線一,=1(α>O,h>O)與橢圓C2：2+?=l的公

共焦點，點P是曲線C1,C2在第一象限的交點，若4PF[Fz的面積為3瓜,則雙曲線C1

的離心率為()

2√10?√10,?3√5??√5

D.C.L).一

5-------3---------5--------2

【答案】A

22

【解析】由題意，ɑ+?=25-9=16,得c=4,設點P(,x0,y0)ix0>O,yo>0),

I-8?7o=3√65√10

Xo=~Γ4~∕5√103√6?

則22,解得,即P,代入雙曲線CI的方程,

好,羽3Vβ

----------=11

1259

并將b2=16-a2代人，化得α4-35A2+250=0,則(α2-10)(a2-25)=0,

r42λ∕10

又OVQVC=4,解得a=√r10,所以雙曲線Cl的離心率為-=7布=―-—

故選：A.

2222

【例8】若橢圓^-+?-=l(t>15)與雙曲線≡--?=1在第一象限內有交點A,且

t+10t-15、'169

雙曲線左、右焦點分別是&,汽2,NFiFzA=120。，點P是橢圓上任意一點，則△PF1F2面

積的最大值是.

【答案】125√5

【解析】依題意有F1F2=2×5=10,設AF2=TntAF2=8+τn,

由余弦定理得(8+m)2=m2÷IO2—2?m-10?cos120°,解得m=6.

故對與橢圓來說AF1+AF2=20=2a,a=10,t=90,垓=75,b=5√3,枚圓方程為京+

A=L當P為短軸上頂點時，面積取得最大值為J×10×5√3=25√3.

類型3：與焦半徑有關的共焦點問題

［例9］橢圓C1與雙曲線C2有相同的左右焦點分別為F11F2,枚圓Cl的離心率為e1,

雙曲線C2的離心率為e2,且兩曲線在第一象限的公共點P滿足IPF1HF1F2I:∣PF2∣=

4:3:2,則包絲1的值為()

e2-eι

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【解析】因為F11F2為橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，且兩曲線在第一象限的公共點

P滿足

IPFihIFiF2I:IPF2I=4:3:2

所以橢圓C1的離心率為“蕭標=京W

雙曲線G的離心率為-2=i?i=?=^

因此，型包=群=2

故選A.

2222

【例10】雙曲線?-?=l(α2>0,?2>0)與橢圓?+?=l(α1>b1>0)有相同的焦

點，且左、右焦點分%為2%F2,它們在第一象限的交點為P,若SinzF1PF2=2sinZPF1F2,

且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數,則該雙曲線的離心率為.

【答案】萼

【解析】設橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,?F1F2?=2c,由正弦定理得

∣PF2∣∣F1F2∣

sinZ,PF1F2sinZF1PF2

VSinzF1PF2=2sinzPF1F2,.?.∣F1F2∣=2?PF2?>-?PP2?=C

c

?.??PF1?+∣PF2I=2α1,?PF1?—?PF2?=2a2t??PF1?=2a1—c=2a2+c,?α1=α2÷

又,?,e?e=???=—------=l,c2=ɑ?÷α2c

1x2

4QlQ2a2+ca2

兩邊除以aj并化簡得-β2-1=0,e2=杵2

故答案為：等

【例11】已知橢圓Clq+?=l(a>b>0)與雙曲線C2：《一\=l(m>0,n>0)

有共同的焦點出,尸2,且在第一象限的交點為P,滿足2配?而=殆(其中。為原點).

設CvC2的離心率分別為e1,e2,當3eι+e?取得最小值時，e的值為()

A.在B.四CwD.在

4323

【答案】D

【解析】如圖，作PMIFiF2,垂足為M,

1+2α

根據橢圓與雙曲線的定義可得［!pζ∣!nζ!"n,解得?PF1?=a+m,?PF2?=a-m,

由2甌?而=和，可得點P的橫坐標為xp=p

即陽Ml=MlF2”|

2

由勾股定理可得(α+m)-管J=(α_my_住了

2

整理得c=2am,即e1e2=2,

???3β1+β2≥2λ∕3β1?e2=2√δ,當且僅當3e1=e2時等號成立，

√6

..e=—.

13

故選：D.

2222

【例12】設橢圓三+-=1與雙曲線臺一一=1在第一象限的交點為T1F11F2為其共

同的左右焦點，

且∣TF1∣<4,若橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則登+成的取值范圍為

A(W)B,(7用C.(1,?)D,償,+8)

【答案】D

【解析】解法1:

依題意有m2-4=α2+4,BPm2=a2+8,

TH2-4a2+423+4)232

?e?7÷e?7=-----?----1------?—=?——=2+—7——?

12τn2a2α2oz(α2÷8)α4÷Qa2

22

∣TF1∣+∣TF2∣=2√α+8,∣TF1∣-∣TF2∣=2?a?,?TF.l?=√α+8+∣α∣<4

113250

解得Q2<1,?*'0<a4÷8a2<9,?>—,?*?2+>—,

a4+o8a2z9a44+o8a229

??3250

????i+?2>2+—=—.

VV

故選D.

解法2:

因為0<Q<1,所以雙曲線的離心率β2==Jl+?>V5,即e2>V5,

11_m2+a2_c2+4÷C2-4_11

222,即~÷~=2,貝IJe?=—-

e?*登cC”破2比一1

所以e2+e2=-^-+e2=1+l(_l_+2e2_l)

設t=2ef-l(t>9),設∕ι(t)=1+?ɑ+(t>9),求導Λ,(t)=T(I->0,

所以∕ι(t)在(9,+8)單調遞增，所以∕ι(t)>∕l(9)=p

因此受+登的取值范圍詈,+8).

強化訓練

L已知橢圓。1：馬+與=1(其中m>2b>0)與雙曲線C2r?-?=1(其中n>

?m24b2δn2b2v

0l6>0)的焦點重合臼,3分別為CiG的離心率，則()

A.τn>ri且e1e2≥gB.τn>九且e1e2≤-

44

C

m<nqβ>-Dm<ne<-

2-52-5

ILI-Lel

【答案】A

【解析】可得τn>m由橢圓和雙曲線焦點三角形面積公式得4tan?=-?,所以tan?=

2tan?2

1

2,

所以嵩+5=5,5=/+；品,當且僅當2e1=e2時，

等號成立，所以e1e2≥i故選A.

2222

2.已知橢圓Ci：t+3=1(其中m>b>O)與雙曲線CΛ-?=1(其中n>O,b>

mzbln24?z2

O）的焦點重合,eι,e?分別為C1,C2的離心率，則（）

A.?n>Ti且e1e2≥gB.τn>幾且e1e2>1C.m<九且e1e2≥-

D.mVn且e1e2>1

【答案】B

【解析】由上述解法易知m>n,

由橢圓和雙曲線焦點三角形面積公式得tan?=工，所以tan?=2,所以2+與=5,所

2tan-2eιe2

由0<qV1,。2>1，且/+荔=5,得IV林V

令t=?-∕ω=-4(t-j)2+?

則忌=f(t)，te(弋)

所以f(t)在(l,θ上單調遞減，f(l)=l,/ɑ)=0,

ee

故。<eze2<L即ι2>I-故選B-

3.已知&、F2是雙曲線C總一5=1(α>O,b>O)與橢圓C2:^+^=1的公共焦點，

點P,Q分別是曲線C1,C2在第一、第三象限的交點，四邊形PF1QF2的面積為6√6,設雙

曲線C1與橢圓C?的離心率依次為e1,e25則e1+e2=()

?2√10+4D2√10+3C3√5+4C3√5+3

?-b?c??d??

【答案】A

2222

【解析】由于a、F2是雙曲線Q京一B=I(α>O,b>O)與橢圓C2嚷+勺=1的

公共焦點，

故+塊=16,

根據雙曲線C1與橢圓C2的對稱性可得，APFJz的面積為3限

i.8?y0=3√6(X—5舊

設點Pdχ0,y0×χ0>o.yo>0),則Hy2°^,解得fɑ-?,即P(學,乎)，

?+V=1E=十

2242

代入雙曲線C1的方程，并將b=16-a代人，化得α-35a+250=0,則

(α2-10)(α2-25)=0,

又OVa<c=4,解得Q=√10,

所以雙曲線C1的離心率為eι=(=磊=爭，

而桶圓C2的離心率為e2=l所以eι+e2=等2

故選：A.

4.如圖，離心率為2的雙曲線C1與橢圓G：攝+?=l(α>b>O)有共同的焦點

F11F21P1Q分別是Cι,C2,在第一、三象限的交點，若四邊形PF1QF2是矩形，則橢圓C2的

離心率為()

AYB.里CrDm

4277

【答案】D

【解析】設?PF1?=x,?PF2?=y,?.?點P為橢圓C2=?+?=

點，

?∣PF11+∣PF2∣=2Q=X+y;(1)

222

又四邊形PF1QF2為矩形，ΛIPF1I+IPF2I=∣F1F2∣即

y2—(2c)2=4c2,(2)

設雙曲線C1的實軸長為2m,焦距為2C,且上2

則2m=∣PFll-IPF2∣=%-y,(3)

(1)2+(3)2可得X2+y2=2(τn2+α2)=4c2(4)

將m=.代入(4)中a2=?e2,

24

橢圓C的離心率e=-=—

z2a7

故選D.

5.已知橢圓Cl："+,=IQ>瓦>0)與雙曲線C2：總一誓=IQ>0,?2>0)有相同

的左右焦點F1,F2,若點P是Cl與在第一象限內的交點，且I&F2I=2∣PF2∣,設C1

與C2的離心率分別為e1,e2,則J+e2的取值范圍是()

A.G，+8)B.(I，+8)C.[∣>÷0°)D.以上答案都不對

【答案】B

【解析】由橢圓定義可得?PF1?+?PF2?=2a1,由雙曲線定義可得∣PF[∣-∣PF2∣=2。2,則

∣PF∣=a-a,因為∣FιF∣=2?PF?,所以c=a-a,兩邊同除c,則---=1,則

2122212ele2

e???

1,

l+e2

所以e÷e=?-+e2=(e2÷1)-9

12??c≈2?***2

因為e2>1,所以β2+1>2,

易得(。2+1)——^單調遞增，所以(e2÷1)———>2—?=|,故選：B.

6.已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為aPF]F2,且兩條曲線在第

一象限的交點為PAPFlF2是以PF1為底邊的等腰三角形,若IPFIl=10,橢圓與雙曲線

的離心率分別為eve2,則e?-eι的取值范圍是()

A?(|，+8)B?&+8)C.(θ,∣)D,(|,|)

【答案】A

【解析】設橢圓與雙曲線的半焦距為C1PF1=rllPF2=r2由題意知r1=10,r2=2c,

Lrr5

且i>z?2Γ2>r1,：?2c<10l2c+2c>10,?-<c<5,

2c2c2cc2cZcc

雙1橢

,2αr1-r210-2c5-c20r1+r25+c

e=一士

???β2"IT^--=2Γ~~>|,故選A-

/15-c5+c25-c23一13

7.已知中心在原點的桶圓和雙曲線有共同的左、右焦點FLF2,兩曲線在第一象限的交點為

P,APFiFz是以PFl為底邊的等腰三角形，若IPFll=8,橢圓和雙曲線的離心率分別為

e,e,則的取值范圍是

12ele2

A.(4,+∞)B.(4,7)C.(2,4)D.(2√2,4)

【答案】B

【解析】設橢圓的長半軸長為由，雙曲線的實半軸長為a?,焦距為2c,則∣PF2∣=2c,

由橢圓和雙曲線的定義可得*+爹二翁,解得伊U卡：、n，

(8—2C=2a2(.α2=4—c>0

又因為IPF2I+IF聞>IPFj即4c>8,解得02,即2<c<4.

所以2+三=也3=8+2C+4-C=之+1e(4,7),故選：B.

e1e2ccc

8