北理工高等代數課件大綱contents目錄引言線性方程組與矩陣向量空間與線性變換特征值與特征向量多項式與行列式線性變換的矩陣表示01引言123高等代數是數學的一個重要分支，主要研究線性代數、多項式代數、抽象代數等領域的基本概念、性質和定理。高等代數在數學、物理、工程等領域有廣泛的應用，是解決復雜數學問題的重要工具。學習高等代數有助于培養學生的邏輯思維、抽象思維和解決問題的能力，提高數學素養。高等代數的定義與重要性高等代數起源于19世紀，隨著數學的發展和需要而逐步形成和完善。線性代數的研究可以追溯到17世紀，而抽象代數的研究則是在19世紀末和20世紀初開始興起。20世紀以來，隨著計算機科學和數學的不斷發展，高等代數的研究和應用也得到了更廣泛的發展和應用。010203高等代數的發展歷程02線性方程組與矩陣線性方程組的定義線性方程組是由一組線性方程組成的數學模型，其中包含未知數和已知數。線性方程組的解法通過消元法、代入法、高斯消元法等解線性方程組，得到未知數的值。解的存在性討論線性方程組解的存在性，如唯一解、無窮多解等。線性方程組的解法矩陣是一個由數字組成的矩形陣列，表示為二維數組。矩陣的定義矩陣中的每個元素都有行標和列標，表示其在矩陣中的位置。矩陣的元素矩陣的行數和列數稱為矩陣的維度。矩陣的維度矩陣的基本概念矩陣的加法一個數與一個矩陣相乘，得到一個新的矩陣。矩陣的數乘矩陣的乘法矩陣的性質01020403討論矩陣的一些基本性質，如轉置、逆、行列式等。相同維度的兩個矩陣可以相加，得到一個新的矩陣。兩個矩陣相乘，需要滿足一定的條件，得到一個新的矩陣。矩陣的運算與性質03向量空間與線性變換向量空間的基本概念01向量空間是一個由向量構成的集合，滿足加法、數乘等封閉性、結合律、分配律等基本性質。02向量空間中的向量可以用坐標表示，坐標系的選擇對于向量的表示具有重要意義。向量空間中的零向量和負向量的定義和性質。03線性變換的定義與性質線性變換是向量空間中的一種變換，它將向量空間中的向量映射到另一個向量空間中的向量，滿足加法、數乘等線性性質。線性變換可以用矩陣表示，矩陣的行和列對應于輸入和輸出空間的基向量。線性變換的性質包括：線性變換的加法、數乘、復合、逆變換等。向量空間的子空間是指向量空間中的一部分，仍然滿足向量空間的性質?；资窍蛄靠臻g中一組線性無關的向量，可以用來表示向量空間中的任意向量。向量空間的子空間與基底子空間的性質包括：子空間的加法、數乘封閉性、子空間的基底等?；椎倪x擇對于向量的表示和線性變換的矩陣表示具有重要意義。04特征值與特征向量特征值與特征向量的定義與性質特征值對于給定的矩陣A，如果存在一個非零向量x和常數λ，使得Ax=λx，則稱λ為矩陣A的特征值，x為矩陣A的對應于特征值λ的特征向量。特征向量的性質特征向量與特征值一一對應，不同的特征值對應的特征向量線性無關，矩陣乘以特征向量等于特征值乘以特征向量。相似變換法通過相似變換將矩陣A變換為對角矩陣，對角線上的元素即為特征值，對應的非零列向量即為特征向量。冪法通過反復計算矩陣的冪來逼近特征向量，當矩陣A的冪趨于零時，對應的列向量即為特征向量。定義法根據特征值的定義，通過解方程組Ax=λx來計算特征值和特征向量。特征值與特征向量的計算方法在線性變換中的應用通過求出線性變換矩陣的特征值和特征向量，可以了解線性變換的性質和行為。在矩陣分解中的應用通過求出矩陣的特征值和特征向量，可以將矩陣分解為若干個簡單的部分，便于分析和計算。在數值計算中的應用在解決某些數值問題時，需要求解方程組的根或者求解某些函數的極值，通過利用特征值和特征向量的性質，可以簡化計算過程。特征值與特征向量的應用05多項式與行列式VS由數字、未知數和四則運算符號通過有限次運算得到的代數式稱為多項式。性質多項式是整式的一種，具有整式的所有性質。此外，多項式還有次數、根等特性。定義多項式的定義與性質行列式是n個數字按照一定排列和順序構成的代數式，通常用大寫字母A或D表示。定義行列式具有一系列獨特的性質，如轉置、乘法、除法等。行列式的值是一個標量，可以用來解決線性方程組等問題。性質行列式的定義與性質計算方法行列式的計算方法包括展開法、遞推法、歸納法等。其中，展開法是最基本的方法，通過將行列式按某一行或某一列展開，將其化為更簡單的形式。應用行列式在數學和物理中都有廣泛的應用，如解線性方程組、求矩陣的逆和行列式、判斷二次型是否正定等。此外，行列式在計算機科學、工程學等領域也有重要的應用價值。行列式的計算方法與應用06線性變換的矩陣表示線性變換的矩陣表示方法線性變換的矩陣表示具有一些重要的性質，如線性組合性質、數乘性質、轉置性質等。矩陣表示法的性質線性變換是向量空間中的一種運算，它將向量空間中的元素進行線性變換。矩陣表示法是將線性變換用矩陣形式表示的一種方法。定義給定一個線性變換，選取一組基向量，將線性變換作用在這組基向量上，得到新的向量組，用矩陣表示這個新的向量組，即為該線性變換的矩陣表示。矩陣表示法的步驟矩陣加法兩個線性變換的矩陣表示可以通過矩陣加法進行運算。標量乘法標量與線性變換的矩陣表示相乘，相當于將線性變換放大或縮小。矩陣乘法兩個線性變換的矩陣表示可以通過矩陣乘法進行運算，滿足結合律和分配律。逆矩陣對于可逆的線性變換，存在逆矩陣，使得逆矩陣與原矩陣相乘為單位矩陣。線性變換的矩陣運算規則線性變換的矩陣表示的應用通過將線性方程組的增廣矩陣轉換為系數矩陣和常數列矩陣，利用線性變換的矩陣表示可以方便地求解線性方程組。特征值和特征向量通過將特征值和特征向量的定義轉換為矩陣形式，利