角的平分線(第一課時)REPORTING目錄角的平分線基本概念角的平分線的性質定理角的平分線的判定定理角的平分線的尺規作圖角的平分線在幾何問題中的應用PART01角的平分線基本概念REPORTINGWENKUDESIGN從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的平分線。定義角的平分線是射線，它從一個角的頂點出發，將該角分為兩個相等的角。性質定義與性質角的平分線將原角平分為兩個相等的小角。若兩角互補，則它們的平分線構成的角也是互補的。角的平分線與角的關系互補關系平分關系通常使用特定的符號或標記來表示一個角被平分，如使用一條帶有箭頭的線段來表示角的平分線。符號表示在幾何圖形中，可以通過文字描述來指出哪條射線是某個角的平分線。文字描述角的平分線的表示方法PART02角的平分線的性質定理REPORTINGWENKUDESIGN0102性質定理的表述角平分線上的點到角兩邊的距離相等。角平分線將角分為兩個相等的部分。通過幾何作圖，我們可以證明角平分線將角分為兩個相等的部…以角的頂點為圓心，任意長為半徑畫弧，交角的兩邊于兩點；再以這兩點為圓心，大于它們之間距離的一半為半徑，在角的內部畫弧，兩弧交于一點。連接這一點與角的頂點，所得射線即為角的平分線。要點一要點二要證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等，我們可以利用全…在角的平分線上任取一點，向角的兩邊作垂線，與角的兩邊交于兩點。通過證明這兩個直角三角形全等，可以得出這兩段垂線段長度相等，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等。性質定理的證明在幾何作圖中，我們可以利用角平分線的性質定理來畫出角的平分線或者判斷一條射線是否是一個角的平分線。在解決幾何問題時，我們可以利用角平分線的性質定理來證明一些線段或角相等的關系。例如，如果知道一個三角形的一個內角的平分線與這個三角形的一邊平行，那么我們可以利用角平分線的性質定理來證明這個三角形是等腰三角形。在實際生活中，角平分線的性質定理也有廣泛的應用。例如，在建筑設計、工程測量等領域中，經常需要利用角平分線的性質來確定一些點的位置或者測量一些角度的大小。性質定理的應用舉例PART03角的平分線的判定定理REPORTINGWENKUDESIGN角平分線的定義一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。判定定理在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。判定定理的表述已知∠AOC=∠BOC，點P在∠AOB內，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，PD=PE。求證：點P在∠AOB的平分線上。證明連接OP。在△POD和△POE中，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。又∵PD=PE，OP=OP，∴△POD≌△POE（HL）。∴∠DOP=∠EOP。∴點P在∠AOB的平分線上。判定定理的證明例1分析例2分析判定定理的應用舉例已知：∠AOC=70°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC。求證：∠BOM=50°。根據角平分線的定義，OM平分∠AOC，則∠COM=∠AOM=1/2∠AOC=35°。又∵∠BOC=30°，∴∠BOM=∠COM+∠BOC=35°+30°=65°，而非50°。故此題有誤。已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，E是AD上一點。求證：∠BED>∠B。在直角△ABD中，∵AD⊥BC，∴∠BAD=90°-∠B。又∵E是AD上一點，∴∠BED是△ABE的外角，∴∠BED>∠BAD。∴∠BED>90°-∠B。∴∠BED>∠B。PART04角的平分線的尺規作圖REPORTINGWENKUDESIGN以角的頂點為圓心，任意長為半徑畫弧，交角的兩邊于兩點。步驟一步驟二步驟三分別以這兩點為圓心，大于這兩點間距離的一半為半徑，在角的內部畫弧，兩弧交于一點。連接角的頂點和所得到的交點，即為角的平分線。030201作圖步驟與規范將一個角平分為兩個相等的小角。角的平分線定義利用圓的性質（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等）和直線的性質（兩點確定一條直線）來構造角的平分線。尺規作圖原理作圖原理分析已知∠AOB，求作∠AOB的平分線。實例一作圖實例演示按照上述作圖步驟，可以作出∠AOB的平分線OC。作圖步驟已知△ABC，∠B為銳角，求作∠B的平分線。實例二已知四邊形ABCD，∠A和∠C為鈍角，求作∠A和∠C的平分線。實例三同樣按照上述作圖步驟，可以作出∠B的平分線BD。作圖步驟分別按照上述作圖步驟，可以作出∠A和∠C的平分線AE和CF。作圖步驟PART05角的平分線在幾何問題中的應用REPORTINGWENKUDESIGN

在三角形中的應用角的平分線性質在三角形中，角的平分線將相對邊分為兩段，且這兩段與角的兩邊成比例。等腰三角形的性質在等腰三角形中，頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”。直角三角形斜邊上的中線在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。03菱形對角線性質在菱形中，兩條對角線互相垂直且平分。01平行四邊形對角線性質在平行四邊形中，兩條對角線互相平分。02矩形對角線性質在矩形中，兩條對角線不僅互相平分，而且相等。在四邊形中的應用n邊形的內角和等于(n-2)×180°，其中n為多邊形