本章概覽乘方開方平方根立方根實數實數的概念及性質實數的大小比較與運算互為逆運算開平方開立方平方根算術平方根算術平方根的估算平方根平方根人教版七年級下冊第3課時平方根第六章實數6.1平方根1.一般地，如果一個_______的平方等于a，即

x2=a，那么這個_______叫做a

的算術平方根.2.填空：（1）22=_____，（-2）2=_____;

（2）0.82=_____，（-0.8）2=_____.3.想一想：5的平方等于25，5叫做25的算術平方根.-5的平方也等于25，那么-5叫做25的什么根呢？正數x440.64正數x0.64復習回顧思考如果一個數的平方等于9，這個數是多少？32=9，這個數可以是3.（-3）2=9，這個數也可以是-3.因此，如果一個數的平方等于9，那么這個數是3或-3.想一想：3和-3有什么特征？3和

-3互為相反數，會不會是

巧合呢？互為相反數，3和-3一起叫做±3.x2116049x填表：±1±40±7

如果我們把上述填表的x

的值分別叫做1，16，0，49，

的平方根，你能類比算術平方根的概念，給出平方根的概念嗎？探究新知概念引入

一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a

的平方根或二次方根.這就是說，如果x2=a，那么x叫做a

的平方根.平方根二次方根

例如，3和-3是9的平方根，簡記為±3是9的平方根.你還能再舉幾個平方根的例子嗎？求一個數a

的平方根的運算，叫做開平方.+1-1+2-2+3-3149+1-1+2-2+3-3觀察下圖，你發現了什么？平方開平方互為逆運算歸納小結平方根的概念和計算如果x2=a，那么x

叫做a

的平方根.平方與開平方互為逆運算.根據這種互逆關系，可以求一個數的平方根.

互為逆運算平方運算開平方運算例4

求下列各數的平方根：（1）100；（2）；（3）0.25.解：（1）因為（±10）2=100，所以100的平方根是±10；（2）因為

，所以

的平方根是±；（3）因為（±0.5）2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5.x8-8x2160.361.填表：644-40.6-0.6【選自教材P47練習第2題】對應訓練2.求下列各數的平方根：（1）64；（2）0.09；（3）；（4）（-7）2.解：（1）因為（±8）2=64，所以64的平方根是±8；（3）因為

，所以

的平方根是±；（4）因為（±7）2=（-7）2=49，所以（-7）2的平方根

是±7.（2）因為（±0.3）2=0.09，所以0.09的平方根是±0.3；思考1，4，9的平方根分別是多少？正數的平方根有什么特點？1，4，9的平方根分別是±1，±2，±3.

正數有兩個平方根，它們互為相反數，其中正的平方根就是這個數的算術平方根.0有幾個平方根？各是多少？為什么？ 0只有一個平方根，是0.因為02=0，并且任何一個不為0的數的平方都不等于0，所以0的平方根是0.思考-1，-4，-9有平方根嗎？為什么？

沒有.正數的平方是正數，0的平方是0，負數的平方也是正數，即在我們所認識的數中，任何一個數的平方都不會是負數，所以負數沒有平方根.歸納正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.1.判斷下列說法是否正確：【選自教材P46練習第1題】（1）0的平方根是0；（2）1的平方根是1；（3）-1的平方根是-1；（4）0.01是0.1的一個平方根.1的平方根是±1.-1沒有平方根.0.1是0.01的一個平方根.對應訓練2.如果3x-2和5x+6都是一個非負數的平方根，

求這個非負數.解：①若3x-2和5x+6不同，則它們互為相反數，即3x-2+5x+6=0，解得x=-0.5，此時3x-2=-3.5，(-3.5)2=12.25.

②若3x-2和5x+6相同，則3x-2=5x+6，解得x=-4，此時3x-2=5x+6=-14，(-14)2=196.已知一個數的兩個平方根，根據兩個平方根互為相反數列方程求解.

綜上可知，這個非負數是12.25或196.如果題目只是敘述兩個數均為一個數的平方根，則需要分相反和相等兩種情況進行討論.你會表示一個非負數的平方根嗎？即非負數a的平方根表示為：非負數a例如.正的平方根表示為：負的平方根表示為：讀作“正、負根號a”.因為在我們所認識的數中任何一個數的平方都不會是負數，所以負數不能開平方，即當a<0時，無意義.說一說算術平方根與平方根之間的聯系.符號只有當a≥0時有意義，a<0時無意義.

你知道為什么嗎？算術平方根平方根區別概念不同一般地，如果一個正數x

的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x

叫做a

的算術平方根一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a

的平方根個數不同正數的算術平方根有_______個正數的平方根有_______個表示方法不同正數a的算術平方根表示為_______正數a

的平方根表示為_______結果不同正數的算術平方根一定是_______正數的平方根為________，二者互為________12正數一正一負相反數算術平方根平方根聯系具有包含關系同一個正數的平方根包含算術平方根，算術平方根是這個正數正的平方根存在的條件相同只有非負數才有平方根和算術平方根特殊值00的平方根與算術平方根均為0例5

求下列各式的值：（3）因為

，所以.（1）；（2）；（3）.解：（1）因為62=36，所以；（2）因為0.92=0.81，所以

；知道一個數的算術平方根，就可以立即寫出它的負的平方根.為什么？1.計算下列各式的值：【選自教材P47練習第3題】（1）；（2）；（3）.（3）因為

，所以.解：（1）因為32=9，所以；（2）因為0.72=0.49，所以

；對應訓練2.平方根概念的起源與幾何中的正方形有關.

如果一個正方形的面積為A，那么這個正方形

的邊長是多少？【選自教材P47練習第4題】解：正方形的邊長為.求下列各式中x

的值：(1)3x2=48； (2)(x+1)2=4； (3)2(x-1)2-18=0.解：(1)原式可變形為

x2=16.因為(±4)2=16，所以x=4或x=-4.(2)因為(±2)2=4，所以x+1=2或x+1=-2，解方程，得x=1或x=-3.所以x=1或x=-3.將括號里的內容作為一個整體提升突破求下列各式中x

的值：(1)3x2=48； (2)(x+1)2=4； (3)2(x-1)2-18=0.(3)原式可變形為(x-1)2=9.因為(±3)2=9，

所以x-1=3或x-1=-3，解方程，得x=4或x=-2.所以x=4或x=-2.提升突破2.已知2a-1的平方根為

，3a-2b的算術平方根

為2，求4a-b+2的平方根.解：因為2a-1的平方根為，所以2a-1=3，解得a=2.因為3a-2b的算術平方根為2，所以3a-2b=4，所以6-2b=4，解得b=1.所以4a-b+2=9.因為9的平方根為±3，所以4a-b+2的平方根為±3.求下列各式中x

的值：(1)4x2-1=0； (2)(x+1)2=81； (3)(2x-3)2-64=0.(2)因為(±9)2=81，所以x+1=9或x+1=-9，解方程，得x=8或x=-10.所以x=8或x=-10.解：(1)原式可變形為.因為

，所以

或

.對應訓練求下列各式中x

的值：(1)4x2-1=0； (2)(x+1)2=81； (3)(2x-3)2-64=0.(3)原式可變形為(2x-3)2=64.因為(±8)2=64，所以2x-3=8或2x-3=-8，解方程，得

或

.所以

或

.對應訓練2.一個數的算術平方根為2a-6，平方根為±(a-1)，

求a

的值與這個數.解：分兩種情況：①當2a-6=a-1時，可得a=5，此時2a-6=4，42=16；所以a

的值為5，這個數為16.②當2a-6=-(a-1)時，可得a=，此時2a-6=-，

不符合題意，此種情況不存在.1.求下列各數的平方根：【選自教材P47習題6.1第3題】（1）49；（2）；（3）

；（4）0.0016.±70.04隨堂訓練2.判斷下列說法是否正確：【選自教材P47習題6.1第4題】（1）5是25的算術平方根；（2）的一個平方根；（3）（-4）2的平方根是-4；（4）0的平方根與算術平方根都是0.3.根據下表回答下列問題：【選自教材P48習題6.1第7題】x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）268.96的平方根是多少？