七年級下冊數學《第五章相交線與平行線》本章知識綜合運用六個六個概念●●1、相交線：兩條直線相交所成的四個角中，有4對鄰補角，2對對頂角.(1)◆鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．◆鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．(2)◆對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．◆對頂角的性質：對頂角相等．●●2、垂線：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．【注意】垂直是相交的一種特殊位置.●●3、“三線八角”：①兩條直線被第三條直線所截形成的8個角中，有4對同位角，2對內錯角，2對同旁內角.②同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．●●4、平行線平行線定義：在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線．◆在同一平面內，不重合的兩條直線只有兩種位置關系：相交和平行.◆過直線外一點畫已知直線的平行線的方法：一“落”把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”把直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”沿直尺移動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點；四“畫”沿三角尺過已知點的邊畫直線．●●5、平移：在平面內，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移．◆作圖-平移變換（1）確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．（2）作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形．●●6、命題：◆命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．◆定理：經過推理證實的真命題叫做定理，定理可以作為繼續推理論證的依據．◆證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證一個公理一個公理●●平行公理及推論1、平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.2、推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c..一個判定一個判定●●平行線的判定方法判定方法一：平行線的定義判定方法二：判定定理1：同位角相等，兩直線平行．判定方法三：判定定理2：內錯角相等，兩直線平行．判定方法四：判定定理3：同旁內角互補，兩直線平行．判定方法五：平行公理的推論．判定方法六：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線垂直.三個性質三個性質●●1、垂線的性質①在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．②連接直線外一點與這條直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短．●●2、平行線的性質性質定理1：兩直線平行，同位角相等．性質定理2：兩直線平行，同位角相等．性質定理3：兩直線平行，同旁內角互補．【注意】平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．●●3、平移的性質①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行（或在同一條直線上）且相等．一個方法一個方法●●過拐點作平行線解決平行線中的折線問題幾何中常通過添加適當的輔助線建立已知和未知之間的“橋梁”，遇到平行線中折線問題，通常過拐點作一條平行線，利用平行公理的推論得出三條直線互相平行題型一題型一相交線的有關概念與性質【例題1】（2022秋?青龍縣月考）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE，若∠BOD＝32°，則∠BOE的度數為（）A．32° B．48° C．58° D．64°【分析】直接利用鄰補角的定義得出∠AOF的度數，進而利用角平分線的定義得出答案．【解答】解：∵∠DOF＝90°，∠BOD＝32°，∴∠AOF＝90°﹣32°＝58°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝58°．∴∠DOE＝90°﹣∠EOF＝32°，∴∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝32°+32°＝64°．故選：D．【點評】此題主要考查了角平分線的定義，對頂角、鄰補角，余角的性質，正確得出∠AOF度數是解題關鍵．解題技巧提煉在求角的度數時經常要用到鄰補角和對頂角的性質，解決此類的問題是觀察、分析、找出所求角與已知角之間的關系，并理清各角之間的關系，特別是相等關系.【變式1-1】（2022秋?香坊區校級期中）圖中∠1與∠2是同位角的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-2】（2022春?蓮湖區期末）如圖，當剪刀口∠AOB的度數減小5°時，∠COD的度數（）A．不變 B．減少5° C．增大5° D．增大10°【變式1-3】（2022春?景谷縣期末）如圖，小華同學的家在點P處，他想盡快到達公路邊去接從外地回來的外婆，他選擇沿線段PC去公路邊，他的這一選擇用到的數學知識是（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間直線最短 C．兩點之間線段最短 D．垂線段最短【變式1-4】（2022?南京模擬）如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且PB⊥l于點B，∠APC＝90°，則下列結論中正確的是（）①線段BP的長度是點P到直線l的距離；②線段AP是A點到直線PC的距離；③在PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長度是點P到直線l的距離.A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④【變式1-5】（2021春?婁底月考）如圖，直線AB，CD相交于點O，OM⊥AB．（1）若∠1＝20°，∠2＝20°，則∠DON＝；（2）若∠1＝∠2，判斷ON與CD的位置關系，并說明理由；（3）若∠1=14∠BOC，求∠AOC和∠【變式1-6】已知直線AB和CD相交于O，∠AOC為銳角．（1）填空：如圖1圖中有對相等的角（平角除外）．分別是，判斷的依據是；（2）如圖2，作∠COE＝90°，OF平分∠COB，求∠AOF﹣∠EOF的度數．（3）在（2）的條件下，∠AOC：∠COF＝2：5，計算∠DOF的度數．題型二題型二同位角、內錯角、同旁內角的識別【例題2】（2022春?法庫縣期中）如圖，下列說法正確的是（）A．∠1與∠2是同位角 B．∠1與∠2是內錯角 C．∠1與∠3是同位角 D．∠2與∠3是同旁內角解題技巧提煉本題主要是考查“三線八角”的識別，熟練掌握三類角的特征是關鍵，同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．學會在復雜圖形中進行判斷.【變式2-1】（）A．∠3與∠4是同旁內角 B．∠2與∠5是同位角 C．∠6與∠1是內錯角 D．∠2與∠6是同旁內角【變式2-2】（2021春?江西月考）如圖，∠ABD的同旁內角共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-3】指出圖中各對角的位置關系：（1）∠C和∠D是角；（2）∠B和∠GEF是角；（3）∠A和∠D是角；（4）∠AGE和∠BGE是角；（5）∠CFD和∠AFB是角．【變式2-4】如圖，填空．（1）若直線ED，BC被直線AB所截，則∠1與是同位角；（2）若直線ED，BC被直線AF所截，則∠3與是內錯角；（3）∠1與∠3是直線AB和直線AF被直線所截構成的角；（4）∠2與∠4是直線和直線被直線BC所截構成的角；（5）圖中∠5的同旁內角有個，它們是．題型三題型三平行線判定方法的綜合運用【例題3】如圖，下列條件中，能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠B C．∠A＝∠3 D．∠A＝∠1+∠2解題技巧提煉正確識別“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角，結合平行線的幾種判定綜合論證.【變式3-1】（2022秋?宛城區期末）如圖，下列能判定AB∥CD的條件有（）個（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B＝∠5；（4）∠B+∠BCD＝180°．A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-2】（2022春?青龍縣期末）如圖所示，添加一個條件，使AB∥CE，則添加的條件為．【變式3-3】如圖，已知∠C＝∠1，∠1和∠D互余，∠2和∠D互余．求證：AB∥CD．【變式3-4】（2022春?定南縣期末）如圖，AB⊥EF于點B，CD⊥EF于點D，∠1＝∠2（1）證明：AB∥CD；（2）試判斷BM與DN是否平行？為什么？【變式3-5】如圖，已知點E在直線DC上，射線EF平分∠AED，過E點作EB⊥EF，G為射線EC上一點，連接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．（1）求證：∠DEF＝∠EBG；（2）若∠EBG＝∠A，求證：AB∥EF．題型四題型四平行線性質的綜合運用【例題4】（2022秋?東方期末）如圖，已知DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，則∠AEB的度數為．解題技巧提煉綜合利用平行線的性質，正確探究出“三線八角”中同位角、內錯角、同旁內角之間的關系.【變式4-1】（2021春?銅梁區校級期末）如圖，已知點D為∠EAB內一點，CD∥AB，DF∥AE，DH⊥AB交AB于點H，若∠A＝40°，則∠FDH的度數為（）A．120° B．130° C．135° D．140°【變式4-2】（2022?太康縣校級開學）如圖，OP∥QR∥ST，若∠2＝105°，∠1＝43°，則∠3＝．【變式4-3】（2021春?定陶區期中）如圖，已知AB∥CD，∠B＝40°，點E在DC的延長線上，CN是∠BCE的平分線，CM⊥CN，求∠BCM的度數．【變式4-4】（2022春?溫嶺市期中）如圖，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝30°，則∠NMP等于（）A．10° B．15° C．5° D．7.5°【變式4-5】（2021春?固始縣期末）如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少30°，那么這兩個角是（）A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不對題型五題型五平行線判定與性質的綜合運用【例題5】（2021春?夏邑縣期末）如圖直線a，b分別被直線c，d所截，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，則∠4的度數等于（）A．72° B．80° C．82° D．108°解題技巧提煉平行線的判定和性質在解題中經常反復使用，看到角相等或互補就應該想到能否判定兩直線平行，看到直線平行就應該想到能否證明相關的角相等或互補.【變式5-1】（2021春?鄂州期末）如圖，下面推理過程正確的是（）A．因為∠B＝∠BCD，所以AB∥CD B．因為AB∥CD，所以∠1＝∠2 C．因為∠BAD+∠B＝180°，所以AD∥BC D．因為∠1＝∠B，所以AD∥BC【變式5-2】（2022春?新田縣期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠B＝∠3，試說明DE∥BC．【變式5-3】（2021春?荔灣區校級月考）如圖，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，則∠1與∠2是否相等？說說你的理由．【變式5-4】已知A、B、C不在同一直線上，順次連接AB、BC、CA．（1）如圖①，點D在線段BC上，DE∥AB交AC于點E，∠EDF＝∠A．求證：DF∥AC．（2）如圖②，若點D在BC的延長線上，DE∥AB交AC的延長線于點E，DF∥AC交BA的延長線于點F．問∠EDF與∠BAC有怎樣的關系，說明理由．題型六題型六利用平行線的性質解決學具操作及折疊問題【例題6】（2022?日照三模）如圖，將矩形紙條ABCD折疊，折痕為EF，折疊后點C，D分別落在點C′，D′處，D′E與BF交于點G．已知∠BGD′＝26°，則∠α的度數是（）A．77° B．64° C．26° D．87°解題技巧提煉本題是給出了一個長方形的折疊問題或是把三角尺與直尺之間的夾角放到平行線中，利用折疊的特征和平行線的性質求解是解題的關鍵.【變式6-1】如圖，長方形ABCD沿AE折疊，使點B落在CD邊上的點F處，如果∠EFC＝65°，那么∠BAE＝°．【變式6-2】（2022?黔東南州）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若∠1＝28°，則∠2的度數為（）A．28° B．56° C．36° D．62°【變式6-3】（2022?路南區二模）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板按如圖所示方式放置（∠ABC＝30°），并且頂點A，B分別落在直線m，n上，若∠1＝38°，則∠2的度數是（）A．20° B．22° C．28° D．38°【變式6-4】（2022春?孝南區期末）如圖1，∠DEF＝24°，將長方形紙片ABCD沿直線EF折疊成圖2，再沿直線GF折疊成圖3，則圖3中∠CFE＝．題型題型七利用平行線的性質和判定解決生活實際問題【例題7】（2022春?齊齊哈爾期末）一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉彎后，前進的方向仍與原來相同，那么這兩次轉彎的角度可以是（）A．先右轉80°，再左轉100° B．先左轉80°，再右轉80° C．先左轉80°，再左轉100° D．先右轉80°，再右轉80°解題技巧提煉本題是給出了一個生活中的實際問題，分析題意，選擇適當的判定方法或者是平線的性質來求解.【變式7-1】（2022春?淮濱縣期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【變式7-2】（2022春?二七區校級期中）如圖，A、B之間是一座山，一條鐵路要通過A、B兩地，在A地測得鐵路的走向是北偏東68°，如果A、B兩地同時開工，那么在B地按方向施工，才能使鐵路在山腹中準確接通．【變式7-3】（2022春?中山市期末）如圖，兩面平面鏡OA、OB形成∠AOB，從OB上一點E射出的一條光線經OA上一點D反射后的光線DC恰好與OB平行，已知∠AOB＝35°，∠ODE＝∠ADC，則∠DEB的度數是．【變式7-4】（2022春?洪山區期中）一個長方形臺球桌面ABCD（AB∥CD，AD∥BC，∠A＝90°）如圖1所示，已知臺球在與臺球桌邊緣碰撞的過程中，撞擊線路與桌邊的夾角等于反彈線路與桌邊的夾角，即圖1中的∠1＝∠2．（1）臺球經過如圖2所示的兩次碰撞后，第二次的反彈線路為GH．若開始時的撞擊線路為EF，求證：EF∥GH；（2）臺球經過如圖3所示的四次碰撞后（臺球從點E出發，碰撞點依次為點F，G，H，I），落入點K處的球袋內．若∠IKC＝55°，則∠GHI+∠AFE＝．題型題型八真假命題的判斷【例題8】（2022春?海淀區月考）下列四個命題：①同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行；④從直線外一點作這條直線的垂線段叫點到直線的距離．其中是真命題的是．解題技巧提煉判斷命題的真假時，真命題需說明理由；假命題只需舉一個反例即可；舉反例是說明一個命題是假命題的常用方法.【變式8-1】判斷命題“如果x2＞0，那么x＞0“是假命題，只需舉出一個反例．反例中的x可以為（）A．2 B．12 C．0 【變式8-2】（2022秋?阿圖什市校級月考）下列命題是真命題的是（）A．內錯角相等 B．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行 C．相等的角是對頂角 D．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【變式8-3】（2022春?倉山區期末）如圖，從①∠1+∠2＝180°，②∠3＝∠A，③∠B＝∠C，三個條件中選出兩個作為題設，另一個作為結論可以組成3個命題．從中選擇一個真命題，寫出已知求證，并證明．如圖，已知，求證：．（填“①”，“②”，“③”）證明：【變式8-4】（2022春?欽北區期中）如圖，直線AB，CD被直線AE所截，直線AM，EN被MN所截．請你從以下三個條件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中選出兩個作為已知條件，另一個作為結論，得出一個正確的命題．（1）請按照：“∵，；∴”的形式，寫出所有正確的命題；（2）在（1）所寫的命題中選擇一個加以證明，寫出推理過程．題型題型九通過閱讀填寫推理過程【例題9】（2022春?寧安市期末）推理填空如圖，已知∠BCD+∠B＝180?，AE平分∠BAD，CD與AE相交于點F，∠CFE＝∠E．求證：AD∥BC．證明∵AE平分∠BAD（已知），∴∠1＝∠2（），∵∠BCD+∠B＝180?，∴AB∥CD（），∴∠1＝（），∵∠CFE＝∠E（已知），∴∠1＝∠E（），∴∠2＝，∴AD∥BC（）．解題技巧提煉給出一個平行線判定問題的求解過程，要求填寫理由，對于這種題型要認真分析題意，然后聯系上下文求解.【變式9-1】已知某品牌遮陽傘如圖①所示，圖②是其剖面圖，若AG同時平分∠BAC與∠EDF，且AB∥ED，則AC∥DF嗎？請在下面括號內填寫理由．解：∵AB∥DE∴∠＝∠（）∵AG同時平分∠BAC與∠EDF（已知）∴∠DAC＝∠DAB，∠GDF＝∠GDE（）∴∠DAC＝∠GDF（）∴AC∥DF（）【變式9-2】（2021春?靜安區期中）如圖，已知：∠A＝∠C，DF平分∠BDC，BE平分∠ABD，說明：BE∥DF的理由．解：因為∠A＝∠C()．所以．所以∠ABO＝∠CDO()．因為DF平分∠CDO，BE平分∠ABO，所以∠1=12∠，∠2=1所以∠1＝∠2()，所以BE∥DF()．【變式9-3】（2022春?湖北期末）如圖，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，試說明∠ADC＝90°．請完善解答過程，并在括號內填寫相應的理論依據．解：∵∠1＝∠C，（已知）∴GD∥．（）∴∠2＝∠DAC．（）∵∠2+∠3＝180°，（已知）∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代換）∴AD∥EF．（）∴∠ADC＝∠．（）∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC＝90°．（）∴∠ADC＝90°．（等量代換）【變式9-4】（2022秋?德惠市期末）填空：（將下面的推理過程及依據補充完整）如圖，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，那么EF平分∠DEB嗎？解：∵CD平分∠ACB（已知），∴（）．∵AC∥DE（已知），∴∠1＝∠，∴∠2＝∠3（等量代換）．∵（已知），∴∠3＝∠4（）∠2＝∠5（）∴（等量代換），∴EF平分∠DEB．題型題型十通過添加輔助線解決拐點問題【例題10】閱讀下列解題過程：如圖，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度數．解：過E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF（平行的傳遞性）AB∥EF?∠B＝∠1＝35°又因為CD∥EF?∠D＝∠2＝32°所以∠BED＝∠BED＝∠1+∠235°+32°＝67°（等量代換）然后解答下列問題：如圖，是明明設計的智力拼圖玩具的一部分，現在明明遇到兩個問題，請你幫他解決：問題（1）：∠D＝30°，∠ACD＝65°，為了保證AB∥DE，∠A＝；問題（2）：∠G+∠F+∠H＝°時，GP∥HQ．解題技巧提煉當兩條平行線不是被第三條直線所截，而是被一條折線所截時，平行線的性質則不能直接應用，因此需過折線的“轉折點”作一條平行線，利用平行公理的推論得出三條直線互相平行，從而多次利用平行線的性質解決問題.【變式10-1】（2021秋?雅安期末）如圖，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索圖中角α，β，γ之間的關系式正確的是（）A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180°【變式10-2】（2022?皇姑區一模）如圖所示，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，則∠C+∠D的值為．【變式10-3】如圖，AB∥CD．（1）如圖①，若∠CMN＝90°，點B在射線MN上，∠ABM＝120°，求∠C的度數；（2）如圖②，若∠CMN＝150°，請直接寫出∠ABM與∠C的數量關系．【變式10-4】（2021春?懷化期末）如圖，MN∥OP，點A為直線MN上一定點，B為直線OP上的動點，在直線MN與OP之間且在線段AB的右方作點D，使得AD⊥BD．設∠DAB＝α（α為銳角）．（1）求∠NAD與∠PBD的和；（提示過點D作EF∥MN）（2）當點B在直線OP上運動時，試說明∠OBD﹣∠NAD＝90°；（3）當點B在直線OP上運動的過程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，請求出此時α的值【變式10-5】（2022秋?南關區校級期末）已知AM∥CN，點B在直線AM、CN之間，∠ABC＝88°．（1）如圖1，請直接寫出∠A和∠C之間的數量關系：．（2）如圖2，∠A和∠C滿足怎樣的數量關系？請說明理由．（3）如圖3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE與CH交于點G，則∠AGH的度數為．題型題型十一平移性質的應用【例題11】如圖是一塊從一個邊長為50cm的正方形材料中裁出的墊片，現測量FG＝8cm，求這個墊片的周長．解題技巧提煉解決這類問題時，根據平移的性質，利用平移前后的對應線段相等和平移的距離得出圖形各邊的長，進而解決求圖形的周長或面積問題，通過平移把不規則圖形的面積轉化成規則圖形的面積來求解.【變式11-1】（2021春?濱?？h月考）如圖，在8×8的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1個單位長度，△ABC的頂點都在正方形網格的格點上．（1）將△ABC經平移后得到△A′B′C′，點A的對應點是點A′．畫出平移后所得的△A′B′C′；（2）連接AA′、CC′，則線段AA′、CC′的位置關系為，線段AA′、CC′的數量關系為；（3）四邊形AA′C′C的面積為．【變式11-2】（2022春?黃陂區期中）如圖，一塊長為am，寬為bm的長方形草地上，有一條彎曲的小路，小路左邊線向右平移tm就是它的邊線．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，則小路面積與綠地面積的比為（）A．19 B．110 C．211【變式11-3】如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BC＝5，將直角梯形ABCD沿AB方向平移2個單位得到直角梯形EFGH，HG與BC交于點M，且CM＝1，則圖中陰影部分的面積為．【變式11-4】（2022春?黃陂區月考）如圖是一塊長方形的草地，長為21m．寬為15m．在草地上有兩條寬為1米的小道，長方形的草地上除小道外長滿青草．求長草部分的面積為多少？【變式11-5】（2021春?慶云縣期末）如圖，一塊邊長為8米的正方形土地，在上面修了三條道路，寬都是1米，空白的部分種上各種花草．（1）求種花草的面積；（2）若空白的部分種植花草共花費了4620元，則每平方米種植花草的費用是多少元？題型十題型十二綜合壓軸探究題【例題12】（2022春?羅定市期末）已知，直線l1∥l2，直線l3和l1，l2分別交于C，D點，點A，B分別在直線l1，l2上，且位于直線l3的左側，動點P在直線l3上，且不和點C，D重合．（1）如圖1，當動點P在線段CD上運動時，求證：∠APB＝∠CAP+∠DBP；（2）如圖2，當動點P在點C上方運動時（P，A，B不在同一直線上），請寫出∠APB，∠CAP，∠DBP之間的數量關系，并選擇其中一種的數量關系說明理由．解題技巧提煉解決這類問題主要是運用綜合分析法，靈活運用本章節所學的知識來解決問題，在解題過程中會用到轉化思想或分類討論的思想，得出各種情況下的結論.【變式12-1】已知直線AB和CD交于點O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）當α＝30°時，則∠EOC＝°；∠FOD＝°．（2）當α＝60°時，射線OE′從OE開始以12°/秒的速度繞點O逆時針轉動，同時射線OF′從OF開始以8°/秒的速度繞點O順時針轉動，當射線OE′轉動一周時射線OF′也停止轉動，求經過多少秒射線OE′與射線OF′第一次重合？（3）在（2）的條件下，射線OE′在轉動一周的過程中，當∠E′OF′＝90°時，請直接寫出射線OE′轉動的時間為秒．【變式12-2】（2022春?淥口區期末）直線AB，CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內部．（1）當點E，F在直線AB的同側；①如圖1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度數；②如圖2，若OF平分∠BOE，請判斷OC是否平分∠AOE，并說明理由；（2）若∠AOF＝2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數量關系．【變式12-3】（2022秋?南關區校級期末）【感知】如圖①，AD∥BC，∠PAB＝125°，∠PCD＝130°，∠APC的度數為．【探究】如圖②，AD∥BC，點P在射線ON上運動，∠DAP＝∠α，∠CBP＝∠β，（1）當點P在線段CD上運動時，試探究∠APB，∠α，∠β之間的數量關系．（2）當點P在線段C，D兩點外側運動時（點P與點C，D，O三點不重合），直接寫出∠APB，∠α，∠β之間的數量關系為．七年級下冊數學《第五章相交線與平行線》本章知識綜合運用六個六個概念●●1、相交線：兩條直線相交所成的四個角中，有4對鄰補角，2對對頂角.(1)◆鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．◆鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．(2)◆對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．◆對頂角的性質：對頂角相等．●●2、垂線：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．【注意】垂直是相交的一種特殊位置.●●3、“三線八角”：①兩條直線被第三條直線所截形成的8個角中，有4對同位角，2對內錯角，2對同旁內角.②同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．●●4、平行線平行線定義：在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線．◆在同一平面內，不重合的兩條直線只有兩種位置關系：相交和平行.◆過直線外一點畫已知直線的平行線的方法：一“落”把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”把直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”沿直尺移動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點；四“畫”沿三角尺過已知點的邊畫直線．●●5、平移：在平面內，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移．◆作圖-平移變換（1）確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．（2）作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形．●●6、命題：◆命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．◆定理：經過推理證實的真命題叫做定理，定理可以作為繼續推理論證的依據．◆證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證一個公理一個公理●●平行公理及推論1、平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.2、推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c..一個判定一個判定●●平行線的判定方法判定方法一：平行線的定義判定方法二：判定定理1：同位角相等，兩直線平行．判定方法三：判定定理2：內錯角相等，兩直線平行．判定方法四：判定定理3：同旁內角互補，兩直線平行．判定方法五：平行公理的推論．判定方法六：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線垂直.三個性質三個性質●●1、垂線的性質①在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．②連接直線外一點與這條直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短．●●2、平行線的性質性質定理1：兩直線平行，同位角相等．性質定理2：兩直線平行，同位角相等．性質定理3：兩直線平行，同旁內角互補．【注意】平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．●●3、平移的性質①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行（或在同一條直線上）且相等．一個方法一個方法●●過拐點作平行線解決平行線中的折線問題幾何中常通過添加適當的輔助線建立已知和未知之間的“橋梁”，遇到平行線中折線問題，通常過拐點作一條平行線，利用平行公理的推論得出三條直線互相平行題型一題型一相交線的有關概念與性質【例題1】（2022秋?青龍縣月考）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE，若∠BOD＝32°，則∠BOE的度數為（）A．32° B．48° C．58° D．64°【分析】直接利用鄰補角的定義得出∠AOF的度數，進而利用角平分線的定義得出答案．【解答】解：∵∠DOF＝90°，∠BOD＝32°，∴∠AOF＝90°﹣32°＝58°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝58°．∴∠DOE＝90°﹣∠EOF＝32°，∴∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝32°+32°＝64°．故選：D．【點評】此題主要考查了角平分線的定義，對頂角、鄰補角，余角的性質，正確得出∠AOF度數是解題關鍵．解題技巧提煉在求角的度數時經常要用到鄰補角和對頂角的性質，解決此類的問題是觀察、分析、找出所求角與已知角之間的關系，并理清各角之間的關系，特別是相等關系.【變式1-1】（2022秋?香坊區校級期中）圖中∠1與∠2是同位角的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據同位角的特征：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，兩個角都在兩條被截直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，由此判斷即可．【解答】解：第一個圖：∠1和∠2是同位角；第二個圖：∠1的兩邊所在的直線沒有任何一條和∠2的兩邊所在的直線公共，∠1和∠2不是同位角；第三個圖：∠1和∠2不是同位角；第四個圖：∠1和∠2是同位角．∴∠1與∠2是同位角的有2個．故選：B．【點評】本題考查三線八角中的某兩個角是不是同位角，同位角完全由兩個角在圖形中的相對位置決定．在復雜的圖形中判別同位角時，應從角的兩邊入手，具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構成“F“形．【變式1-2】（2022春?蓮湖區期末）如圖，當剪刀口∠AOB的度數減小5°時，∠COD的度數（）A．不變 B．減少5° C．增大5° D．增大10°【分析】根據對頂角的性質進行判斷即可．【解答】解：由于∠AOB與∠COD是對頂角，所以∠AOB＝∠COD，當∠AOB的度數減小5°時，∠COD的度數也減少5°，故選：B．【點評】本題考查對頂角、鄰補角，理解對頂角的定義是正確解答的前提．【變式1-3】（2022春?景谷縣期末）如圖，小華同學的家在點P處，他想盡快到達公路邊去接從外地回來的外婆，他選擇沿線段PC去公路邊，他的這一選擇用到的數學知識是（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間直線最短 C．兩點之間線段最短 D．垂線段最短【分析】根據垂線段的性質解答即可．【解答】解：某同學的家在P處，他想盡快到達公路邊去接從外地回來的外婆，他選擇P→C路線，是因為垂線段最短，故選：D．【點評】此題主要考查了垂線段的性質，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：兩點之間段最短．【變式1-4】（2022?南京模擬）如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且PB⊥l于點B，∠APC＝90°，則下列結論中正確的是（）①線段BP的長度是點P到直線l的距離；②線段AP是A點到直線PC的距離；③在PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長度是點P到直線l的距離.A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④【分析】根據“從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短”，“從直線外一點到這條線段的垂線段的長度，叫做點到直線的距離”進行判斷，即可得解．【解答】解：∵PB⊥l于點B，∴線段BP的長度是點P到直線l的距離，故①正確，④錯誤；∵∠APC＝90°，∴線段AP的長度是A點到直線PC的距離，故②錯誤；根據垂線段最短，在PA，PB，PC三條線段中，PB最短，故③正確；故選C．【點評】本題考查了垂線的性質，解題的關鍵是掌握垂線的性質．【變式1-5】（2021春?婁底月考）如圖，直線AB，CD相交于點O，OM⊥AB．（1）若∠1＝20°，∠2＝20°，則∠DON＝；（2）若∠1＝∠2，判斷ON與CD的位置關系，并說明理由；（3）若∠1=14∠BOC，求∠AOC和∠【分析】（1）分析題意，列出代數式，求解即可解決問題；（2）若∠1＝∠2，找出ON與OD的夾角大小，即可得出結論；（3）根據角的位置關系，列出代數式，求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵OM⊥AB，∠1＝20°，∠2＝20°，∴∠CON＝∠AOC+∠2＝∠AOC+∠1＝90°∴∠DON＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°，故答案為：90°；（2）∵∠1＝∠2，∴∠CON＝∠AOC+∠2＝∠AOC+∠1＝90°，∴∠DON＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°，∴ON⊥CD；（3）∵∠1=14∠∴∠1=13∠BOM∴∠AOC＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，∠MOD＝∠180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°．【點評】本題考查了角的計算，解題關鍵是分清角的對應關系．【變式1-6】已知直線AB和CD相交于O，∠AOC為銳角．（1）填空：如圖1圖中有對相等的角（平角除外）．分別是，判斷的依據是；（2）如圖2，作∠COE＝90°，OF平分∠COB，求∠AOF﹣∠EOF的度數．（3）在（2）的條件下，∠AOC：∠COF＝2：5，計算∠DOF的度數．【分析】（1）根據對頂角相等的性質解答；（2）由鄰補角和角平分線的定義可得出結論；（3）在（2）的條件下，列出比例式即可得出結論．【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，∠BOC＝∠AOD，判斷的依據是對頂角相等；故答案為：2；∠AOC＝∠BOD，∠BOC＝∠AOD；對頂角相等；（2）設∠AOC＝2α，則∠BOC＝180°﹣2α，∵OF平分∠COB，∴∠COF＝∠BOF＝90°﹣α，∵∠COE＝90°，∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝α，∠AOF＝∠AOC+∠COF＝90°+α，∴∠AOF﹣∠EOF＝90°+α﹣α＝90°．（3）∵∠AOC：∠COF＝2：5，∴2α：（90°﹣α）＝2：5，解得α＝15°，∴∠BOF＝75°，∠AOC＝∠BOD＝30°，∴∠DOF＝∠BOF+∠BOD＝105°．【點評】本題考查了角平分線的作法，角平分線的定義及角的計算．關鍵是利用角平分線的定義得出∠EOF與∠AOC的關系．題型二題型二同位角、內錯角、同旁內角的識別【例題2】（2022春?法庫縣期中）如圖，下列說法正確的是（）A．∠1與∠2是同位角 B．∠1與∠2是內錯角 C．∠1與∠3是同位角 D．∠2與∠3是同旁內角【分析】根據同位角，內錯角，同旁內角的定義逐個判斷即可．【解答】解：A、∠1和∠2不是同位角，故本選項不符合題意；B、∠1和∠2不是內錯角，故本選項不符合題意；C、∠1和∠3是內錯角，不是同位角，故本選項不符合題意；D、∠2和∠3是同旁內角，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了同位角，內錯角，同旁內角的定義等知識點，能正確找出同位角、內錯角、同旁內角是解此題的關鍵．解題技巧提煉本題主要是考查“三線八角”的識別，熟練掌握三類角的特征是關鍵，同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．學會在復雜圖形中進行判斷.【變式2-1】（）A．∠3與∠4是同旁內角 B．∠2與∠5是同位角 C．∠6與∠1是內錯角 D．∠2與∠6是同旁內角【分析】根據同位角、同旁內角、內錯角和鄰補角的概念解答即可．【解答】解：A、∠3與∠4是內錯角，錯誤；B、∠2與∠5不是同位角，錯誤；C、∠1與∠6不是同旁內角，錯誤；D、∠2與∠6是同旁內角，正確；故選：D．【點評】此題考查同位角、同旁內角、內錯角，關鍵是根據同位角、同旁內角、內錯角和鄰補角的概念解答．【變式2-2】（2021春?江西月考）如圖，∠ABD的同旁內角共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據同旁內角的定義，結合圖形進行判斷即可．【解答】解：∠ABD與∠ADB是直線AB、AD，被直線BD所截而成的同旁內角，∠ABD與∠AEB是直線AB、AC，被直線BD所截而成的同旁內角，∠ABD與∠BAE是直線AC、BD，被直線AB所截而成的同旁內角，∠ABD與∠BAD是直線AD、BD，被直線AB所截而成的同旁內角，故選：D．【點評】本題考查同旁內角，理解同旁內角的定義是正確判斷的前提．【變式2-3】指出圖中各對角的位置關系：（1）∠C和∠D是角；（2）∠B和∠GEF是角；（3）∠A和∠D是角；（4）∠AGE和∠BGE是角；（5）∠CFD和∠AFB是角．【分析】根據同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角．同旁內角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角．分別進行分析即可．【解答】解：（1）∠C和∠D是同旁內角；（2）∠B和∠GEF是同位角；（3）∠A和∠D是內錯角；（4）∠AGE和∠BGE是鄰補角；（5）∠CFD和∠AFB是對頂角；故答案為：（1）同旁內角（2）同位角（3）內錯角（4）鄰補角（5）對頂角【點評】此題主要考查了三線八角，關鍵是掌握同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．【變式2-4】如圖，填空．（1）若直線ED，BC被直線AB所截，則∠1與是同位角；（2）若直線ED，BC被直線AF所截，則∠3與是內錯角；（3）∠1與∠3是直線AB和直線AF被直線所截構成的角；（4）∠2與∠4是直線和直線被直線BC所截構成的角；（5）圖中∠5的同旁內角有個，它們是．【分析】根據同位角、內錯角、同旁內角的定義逐個求解即可．【解答】解：（1）若直線ED，BC被直線AB所截，則∠1與∠2是同位角；（2）若直線ED，BC被直線AF所截，則∠3與∠4是內錯角；（3）∠1與∠3是直線AB和直線AF被直線DE所截構成的內錯角；（4）∠2與∠4是直線AB和直線AF被直線BC所截構成的同位角；（5）圖中∠5的同旁內角有3個，它們是∠A，∠3，∠2，故答案為：∠2，∠4，DE，內錯，AB，AF，同位，3，∠A，∠3，∠2．【點評】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義，能根據圖形找出同位角、內錯角和同旁內角是解此題的關鍵．題型三題型三平行線判定方法的綜合運用【例題3】如圖，下列條件中，能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠B C．∠A＝∠3 D．∠A＝∠1+∠2【分析】根據平行線的判定定理求解即可．【解答】解：由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，故A不符合題意；由∠1＝∠B，不能判定AB∥CD，故B不符合題意；∵∠A＝∠3，∴AB∥CD，故C符合題意；由∠A＝∠1+∠2，不能判定AB∥CD，故D不符合題意；故選：C．【點評】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關鍵．解題技巧提煉正確識別“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角，結合平行線的幾種判定綜合論證.【變式3-1】（2022秋?宛城區期末）如圖，下列能判定AB∥CD的條件有（）個（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B＝∠5；（4）∠B+∠BCD＝180°．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據平行線的判定方法對四個條件分別進行判斷即可．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；（2）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；（3）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD；（4）∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD．故選：C．【點評】本題考查了平行線判定：同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行．【變式3-2】（2022春?青龍縣期末）如圖所示，添加一個條件，使AB∥CE，則添加的條件為．【分析】根據平行線的判定定理求解即可．【解答】解：添加的條件為：∠B＝∠DCE（答案不唯一），∵∠B＝∠DCE，∴AB∥CE（同位角相等，兩直線平行），故答案為：∠B＝∠DCE（答案不唯一）．【點評】此題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理是解題的關鍵．【變式3-3】如圖，已知∠C＝∠1，∠1和∠D互余，∠2和∠D互余．求證：AB∥CD．【分析】已知兩角互余，得出∠1＝∠2，等量代換得到∠C＝∠2，即可判定AB∥CD．【解答】證明：∵∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，∴∠1+∠D＝90°，∠2+∠D＝90°，∴∠1＝∠2，∵∠C＝∠1，∴∠C＝∠2，∴AB∥CD．【點評】本題考查平行線的判定以及余角的知識，掌握平行線的判定方法是解題的關鍵．【變式3-4】（2022春?定南縣期末）如圖，AB⊥EF于點B，CD⊥EF于點D，∠1＝∠2（1）證明：AB∥CD；（2）試判斷BM與DN是否平行？為什么？【分析】（1）直接根據平行線的性質即可得出結論；（2）先根據AB⊥EF于點B，CD⊥EF于點D得出∠ABE＝∠CDE，再由∠1＝∠2可知∠MBE＝∠NDE，由此可得出結論．【解答】（1）證明：∵AB⊥EF于點B，CD⊥EF于點D∴∠ABE＝∠CDE＝90°，∴AB∥CD；（2）BM∥DN．理由：∵AB⊥EF于點B，CD⊥EF于點D，∴∠ABE＝∠CDE．∵∠1＝∠2，∴∠MBE＝∠NDE，∴BM∥DN．【點評】本題考查的是平行線的判定，熟知同位角相等，兩直線平行是解答此題的關鍵．【變式3-5】如圖，已知點E在直線DC上，射線EF平分∠AED，過E點作EB⊥EF，G為射線EC上一點，連接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．（1）求證：∠DEF＝∠EBG；（2）若∠EBG＝∠A，求證：AB∥EF．【分析】（1）根據互相垂直的意義，以及同角的余角相等，得出結論；（2）根據角平分線定義以及等量代換，得出∠A＝∠AEF，利用內錯角相等兩直線平行，得出結論．【解答】證明：（1）∵EB⊥EF，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°．又∵∠EBG+∠BEG＝90°，∴∠DEF＝∠EBG；（2）∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，∴∠A＝∠DEF．∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，∴∠A＝∠AEF，∴AB//EF．【點評】本題考查角平分線、互相垂直的意義，余角的性質，以及平行線的判定，等量代換在證明過程中起到非常重要的作用．題型四題型四平行線性質的綜合運用【例題4】（2022秋?東方期末）如圖，已知DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，則∠AEB的度數為．【分析】由平行線的性質得∠ABC＝∠1＝70°，再由角平分線的定義得∠CBE＝35°，再次利用平行線的性質得∠AEB＝35°．【解答】解：∵DE∥BC，∠1＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∠CBE＝∠AEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠∴∠AEB＝35°．故答案為：35°．【點評】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行內錯角相等．解題技巧提煉綜合利用平行線的性質，正確探究出“三線八角”中同位角、內錯角、同旁內角之間的關系.【變式4-1】（2021春?銅梁區校級期末）如圖，已知點D為∠EAB內一點，CD∥AB，DF∥AE，DH⊥AB交AB于點H，若∠A＝40°，則∠FDH的度數為（）A．120° B．130° C．135° D．140°【分析】根據平行線的性質先求出∠ECD，再根據平行線的性質求出∠CDF，再根據垂直和周角的定義可求∠FDH的度數．【解答】解：∵CD∥AB，∠A＝40°，∴∠ECD＝40°，∵DF∥AE，∴∠CDF＝140°，∵DH⊥AB，∴∠CDH＝90°，∴∠HDF＝130°．故選：B．【點評】考查了平行線的性質，關鍵是求出∠CDF的度數．【變式4-2】（2022?太康縣校級開學）如圖，OP∥QR∥ST，若∠2＝105°，∠1＝43°，則∠3＝．【分析】由平行線的性質可得求得∠QRP＝75°，∠QRS＝∠3，從而可求解．【解答】解：∵OP∥QR∥ST，∴∠2+∠QRP＝180°，∠3＝∠QRS，∵∠2＝105°，∴∠QRP＝75°，∵∠1＝43°，∴∠QRS＝∠QRP+∠1＝118°，∴∠3＝118°．故答案為：118°．【點評】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．【變式4-3】（2021春?定陶區期中）如圖，已知AB∥CD，∠B＝40°，點E在DC的延長線上，CN是∠BCE的平分線，CM⊥CN，求∠BCM的度數．【分析】根據兩直線平行，同旁內角互補求出∠BCE的度數，再根據角平分線的定義求出∠BCN的度數，然后再根據CM⊥CN即可求出∠BCM的度數．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝40°，∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°，∵CN是∠BCE的平分線，∴∠BCN=12∠BCE∵CM⊥CN，∴∠BCM＝90°﹣70°＝20°．【點評】本題考查了平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補，以及角平分線的定義，比較簡單．【變式4-4】（2022春?溫嶺市期中）如圖，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝30°，則∠NMP等于（）A．10° B．15° C．5° D．7.5°【分析】由AB∥CD，MP∥AB推出AB∥CD∥MP，根據平行線的性質求出∠AMD的度數為70°，再根據角平分線的定義求出∠AMN＝35°，所以∠NMP＝∠AMP﹣∠AMN．【解答】解：∵AB∥CD，MP∥AB，∴AB∥CD∥MP，∵∠A＝40°，∠D＝30°，∴∠AMP＝∠A＝40°，∠DMP＝∠D＝30°，∴∠AMD＝40°+30°＝70°，∵MN平分∠AMD，∴∠AMN=12∠AMD∴∠NMP＝∠AMP﹣∠AMN＝40°﹣35°＝5°．故選：C．【點評】本題主要考查兩直線平行內錯角相等的性質和角平分線的定義，熟練掌握性質和定義是解題的關鍵．【變式4-5】（2021春?固始縣期末）如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少30°，那么這兩個角是（）A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不對【分析】根據兩邊分別平行的兩個角相等或互補列方程求解．【解答】解：如圖1，∵AB∥EF，∴∠3＝∠2，∵BC∥DE，∴∠3＝∠1，∴∠1＝∠2．如圖2，∵AB∥EF，∴∠3+∠2＝180°，∵BC∥DE，∴∠3＝∠1，∴∠1+∠2＝180°∴如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補．設另一個角為x，則這一個角為4x﹣30°，（1）兩個角相等，則x＝4x﹣30°，解得x＝10°，4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°；（2）兩個角互補，則x+（4x﹣30°）＝180°，解得x＝42°，4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°．所以這兩個角是42°、138°或10°、10°．故選：C．【點評】本題主要運用兩邊分別平行的兩個角相等或互補，學生容易忽視互補的情況而導致出錯．題型五題型五平行線判定與性質的綜合運用【例題5】（2021春?夏邑縣期末）如圖直線a，b分別被直線c，d所截，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，則∠4的度數等于（）A．72° B．80° C．82° D．108°【分析】根據∠1+∠2＝180°，∠5+∠2＝180°，可得∠1＝∠2，得a∥b，進而可得∠4的度數．【解答】解：如圖，∵∠1+∠2＝180°，∠5+∠2＝180°，∴∠1＝∠5，∴a∥b，∴∠4＝∠6，∵∠3＝108°，∴∠6＝180°﹣108°＝72°，∴∠4＝72°．故選：A．【點評】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是根據平行線的判定與性質得到a∥b．解題技巧提煉平行線的判定和性質在解題中經常反復使用，看到角相等或互補就應該想到能否判定兩直線平行，看到直線平行就應該想到能否證明相關的角相等或互補.【變式5-1】（2021春?鄂州期末）如圖，下面推理過程正確的是（）A．因為∠B＝∠BCD，所以AB∥CD B．因為AB∥CD，所以∠1＝∠2 C．因為∠BAD+∠B＝180°，所以AD∥BC D．因為∠1＝∠B，所以AD∥BC【分析】根據平行線的判定與性質進行逐一判斷即可．【解答】解：A．因為∠B＝∠BCD，所以AB∥CD，錯誤；B．因為AB∥CD，所以∠1＝∠2，錯誤；C．因為∠BAD+∠B＝180°，所以AD∥BC，正確；D．因為∠1＝∠B，所以AD∥BC，錯誤．故選：C．【點評】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質．【變式5-2】（2022春?新田縣期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠B＝∠3，試說明DE∥BC．【分析】根據平行線的判定定理與性質定理求解即可．【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），∴BD∥EF（內錯角相等，兩直線平行），∴∠B＝∠EFC（兩直線平行，同位角相等），∴∠B＝∠3（已知），∴∠3＝∠EFC（等量代換），∴DE∥BC（內錯角相等，兩直線平行）．【點評】此題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵．【變式5-3】（2021春?荔灣區校級月考）如圖，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，則∠1與∠2是否相等？說說你的理由．【分析】由AB∥CD，則∠ABC＝∠BCD，再由∠P＝∠Q，則∠PBC＝∠QCB，從而得出∠1＝∠2．【解答】解：∠1＝∠2，理由是：∵∠ABC+∠ECB＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠P＝∠Q，∴∠PBC＝∠QCB，∴∠ABC﹣∠PBC＝∠BCD﹣∠QCB，即∠1＝∠2．【點評】本題考查了平行線的判定和性質，解答此題的關鍵是注意平行線的性質和判定定理的綜合運用．【變式5-4】已知A、B、C不在同一直線上，順次連接AB、BC、CA．（1）如圖①，點D在線段BC上，DE∥AB交AC于點E，∠EDF＝∠A．求證：DF∥AC．（2）如圖②，若點D在BC的延長線上，DE∥AB交AC的延長線于點E，DF∥AC交BA的延長線于點F．問∠EDF與∠BAC有怎樣的關系，說明理由．【分析】（1）先根據平行線的性質，得出∠EDF＝∠BFD，再根據∠EDF＝∠A，得出∠A＝∠BFD即可得出結論；（2）先根據DE∥AB得出∠EDF與∠F互補，再根據DF∥AC得出∠F＝∠BAC，即可得出結論．【解答】解：（1）∵DE∥AB∴∠EDF＝∠BFD又∵∠EDF＝∠A∴∠A＝∠BFD∴DF∥AC（2）∠EDF與∠BAC互補∵DE∥AB∴∠EDF與∠F互補∵DF∥AC∴∠F＝∠BAC∴∠EDF與∠BAC互補【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質，解題時注意：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．題型六題型六利用平行線的性質解決學具操作及折疊問題【例題6】（2022?日照三模）如圖，將矩形紙條ABCD折疊，折痕為EF，折疊后點C，D分別落在點C′，D′處，D′E與BF交于點G．已知∠BGD′＝26°，則∠α的度數是（）A．77° B．64° C．26° D．87°【分析】依據平行線的性質，即可得到∠AEG的度數，再根據折疊的性質，即可得出∠α的度數．【解答】解：∵矩形紙條ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折疊可得，∠α=12∠DEG故選：A．【點評】本題主要考查了平行線的性質，折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．解題技巧提煉本題是給出了一個長方形的折疊問題或是把三角尺與直尺之間的夾角放到平行線中，利用折疊的特征和平行線的性質求解是解題的關鍵.【變式6-1】如圖，長方形ABCD沿AE折疊，使點B落在CD邊上的點F處，如果∠EFC＝65°，那么∠BAE＝°．【分析】想辦法求出∠BAE即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，由翻折不變性可知：∠AFE＝∠B＝90°，∠BAE＝∠EAF，∴∠AFD＝90°﹣∠EFC＝25°，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD＝25°，∴∠BAE＝（252故答案為（252【點評】本題考查平行線的判定，矩形的性質，翻折變換等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式6-2】（2022?黔東南州）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若∠1＝28°，則∠2的度數為（）A．28° B．56° C．36° D．62°【分析】過直角的頂點E作MN∥AB，利用平行線的性質解答即可．【解答】解：如下圖所示，過直角的頂點E作MN∥AB，交AD于點M，交BC于點N，則∠2＝∠3．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵AB∥MN，∴MN∥CD，∴∠4＝∠1＝28°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．∴∠2＝∠3＝62°．故選：D．【點評】本題主要考查平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等，過直角的頂點E作MN∥AB是解題的關鍵．【變式6-3】（2022?路南區二模）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板按如圖所示方式放置（∠ABC＝30°），并且頂點A，B分別落在直線m，n上，若∠1＝38°，則∠2的度數是（）A．20° B．22° C．28° D．38°【分析】根據三角形內角和定理求出∠ACB，過C作CD∥直線m，求出CD∥直線m∥直線n，根據平行線的性質得出∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，即可求出答案．【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°，過C作CD∥直線m，∵直線m∥n，∴CD∥直線m∥直線n，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∵∠1＝38°，∴∠ACD＝38°，∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，故選：B．【點評】本題考查了三角形內角和定理和平行線的性質和判定，能靈活運用平行線的性質和判定定理進行推理是解此題的關鍵．【變式6-4】（2022春?孝南區期末）如圖1，∠DEF＝24°，將長方形紙片ABCD沿直線EF折疊成圖2，再沿直線GF折疊成圖3，則圖3中∠CFE＝．【分析】由長方形的性質可知AD∥BC，由此可得出∠BFE＝∠DEF＝24°，再根據翻折的性質可知每翻折一次減少一個∠BFE的度數，由此即可算出∠CFE度數．【解答】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝24°．由翻折的性質可知：圖2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝156°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝132°，圖3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝108°．故答案為：108°．【點評】本題考查了平行線的性質，翻折變換以及長方形的性質，根據翻折變換找出相等的邊角關系是解題的關鍵．題型題型七利用平行線的性質和判定解決生活實際問題【例題7】（2022春?齊齊哈爾期末）一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉彎后，前進的方向仍與原來相同，那么這兩次轉彎的角度可以是（）A．先右轉80°，再左轉100° B．先左轉80°，再右轉80° C．先左轉80°，再左轉100° D．先右轉80°，再右轉80°【分析】根據兩條直線平行的性質：兩條直線平行，同位角相等．再根據題意得：兩次拐的方向不相同，但角度相等畫出圖形，根據圖形直接解答即可．【解答】解：如圖所示：A、，故本選項錯誤；B、，故本選項正確；C、，故本選項錯誤；D、，故本選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查的是平行線的性質，根據題意畫出圖形是解答此題的關鍵．解題技巧提煉本題是給出了一個生活中的實際問題，分析題意，選擇適當的判定方法或者是平線的性質來求解.【變式7-1】（2022春?淮濱縣期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】首先根據題意作輔助線：過點B作BD∥AE，即可得AE∥BD∥CF，則可求得：∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，則可求得∠C的值．【解答】解：過點B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，∵∠A＝120°，∠1+∠2＝∠ABC＝150°，∴∠2＝30°，∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．故選：D．【點評】此題考查了平行線的性質．注意過一點作已知直線的平行線，再利用平行線的性質解題是常見做法．【變式7-2】（2022春?二七區校級期中）如圖，A、B之間是一座山，一條鐵路要通過A、B兩地，在A地測得鐵路的走向是北偏東68°，如果A、B兩地同時開工，那么在B地按方向施工，才能使鐵路在山腹中準確接通．【分析】根據方向角的定義，即可解答．【解答】解：如果A、B兩地同時開工，那么在B地按南偏西68°方向施工，才能使鐵路在山腹中準確接通，故答案為：南偏西68°．【點評】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關鍵．【變式7-3】（2022春?中山市期末）如圖，兩面平面鏡OA、OB形成∠AOB，從OB上一點E射出的一條光線經OA上一點D反射后的光線DC恰好與OB平行，已知∠AOB＝35°，∠ODE＝∠ADC，則∠DEB的度數是．【分析】由平行線的性質可得∠ADC＝∠AOB＝35°，∠CDE+∠DEB＝180°，再由平角的定義可求得∠CDE＝180°﹣∠ADC﹣∠ODE＝110°，從而可求解．【解答】解：∵DC∥OB，∠AOB＝35°，∠ODE＝∠ADC，∴∠ADC＝∠AOB＝35°，，∠CDE+∠DEB＝180°，∴∠ODE＝∠ADC＝35°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADC﹣∠ODE＝110°，∴∠DEB＝180°﹣∠CDE＝70°．故答案為：70°．【點評】本題主要考查了平行線的性質．解答本題的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補．【變式7-4】（2022春?洪山區期中）一個長方形臺球桌面ABCD（AB∥CD，AD∥BC，∠A＝90°）如圖1所示，已知臺球在與臺球桌邊緣碰撞的過程中，撞擊線路與桌邊的夾角等于反彈線路與桌邊的夾角，即圖1中的∠1＝∠2．（1）臺球經過如圖2所示的兩次碰撞后，第二次的反彈線路為GH．若開始時的撞擊線路為EF，求證：EF∥GH；（2）臺球經過如圖3所示的四次碰撞后（臺球從點E出發，碰撞點依次為點F，G，H，I），落入點K處的球袋內．若∠IKC＝55°，則∠GHI+∠AFE＝．【分析】（1）根據平行線的性質結合題目條件推出∠GFE+∠HGF＝180°，即可證明EF∥GH；（2）由（1）的結論知：EF∥IK∥HG，運用平行線的性質可得∠HGC＝∠IKC＝55°，再根據直角三角形性質可得∠BIH＝90°﹣∠IHB＝55°，應用平角定義求出∠IHG，最后應用平行線的性質即可求出答案．【解答】（1）證明：由題意知，∠AFG＝∠BFE，∠DGH＝∠AGF，∵∠A＝90°，∴∠AFG+∠AGF＝90°，∠BFE+∠DGH＝90°，∵∠AFG+∠BFE+∠EFG＝180°，∴∠EFG＝∠AGF+∠DGH，∵∠AGF+∠DGH+∠FGH＝180°，∴∠EFG+∠FGH＝180°，∴EF∥GH；（2）解：由（1）的結論知：EF∥IK∥HG，∴∠HGC＝∠IKC＝55°，∵∠C＝90°，∴∠GHC＝90°﹣∠HGC＝35°，∴∠IHB＝∠GHC＝35°，∴∠IHG＝180°﹣∠IHB﹣∠GHC＝110°，∵∠B＝90°，∴∠BIH＝90°﹣∠IHB＝55°，∴∠IFG＝∠BIH＝55°，∴∠EFA＝∠GFI＝55°，∴∠GHI+∠AFE＝110°+55°＝165°，故答案為：165°．【點評】本題主要考查四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質及平行線的判定和性質是解題的關鍵．題型題型八真假命題的判斷【例題8】（2022春?海淀區月考）下列四個命題：①同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行；④從直線外一點作這條直線的垂線段叫點到直線的距離．其中是真命題的是．【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：①過同一平面內一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原命題是真命題，符合題意；②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；③兩條平行的直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行，正確，是真命題，符合題意；④從直線外一點作這條直線的垂線段的長度叫點到直線的距離，故原命題是假命題，不符合題意；真命題是①③，故答案為：①③．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解平行線的性質與判定方法及點到直線的距離的定義，難度不大．解題技巧提煉判斷命題的真假時，真命題需說明理由；假命題只需舉一個反例即可；舉反例是說明一個命題是假命題的常用方法.【變式8-1】判斷命題“如果x2＞0，那么x＞0“是假命題，只需舉出一個反例．反例中的x可以為（）A．2 B．12 C．0 【分析】找出x滿足x2＞0，但不滿足x＞0即可．【解答】解：“如果x2＞0，那么x＞0“是假命題，可以舉一個反例為x＝﹣2．因為x＝﹣2滿足條件x2＞0，不滿足x＞0．故選：D．【點評】本題考查了命題與定義：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論