第七章

空間問題的解答胡衡武漢大學土木建筑工程學院彈性力學及有限元二零零八年五月按位移求解空間問題（1）按位移求解空間問題（2）代入平衡微分方程按位移求解空間問題（3）得到按位移求解空間問題時需要的基本微分方程：其中：按位移求解空間軸對稱問題（1）同樣方法，運用以下三組方程可以得到按位移求解空間軸對稱問題時需要的基本微分方程：按位移求解空間軸對稱問題（1）同樣方法，運用以下三組方程可以得到按位移求解空間軸對稱問題時需要的基本微分方程：按位移求解空間軸對稱問題（2）同樣方法，運用以下三組方程可以得到按位移求解空間軸對稱問題時需要的基本微分方程：半空間體受重力及均布壓力（1）qoρgh設有半空間體，密度為ρ，在水平邊界上受均布壓力q,以邊界面為xy面，z軸鉛直向下。試求解半空間體的位移以及應力分量。abcFρo應力狀態（1）xzyPpxpypzn’空間問題平面問題應力狀態（2）xzyPpxpypzn’注：如果已知空間中一點的六個應力分量，就可以得到任一斜面上的正應力以及切應力，因此可以說六個應力分量決定了一點的應力狀態。應力邊界條件xzyPn’若圖示實線斜面是受有面力作用的邊界面，則：上式為空間問題的應力邊界條件。主應力（1）若某一斜面上只有正應力，于是該面上的全應力在坐標上的投影成為：于是：又有：因此可求解主應力大小及方向：。代入原方程求解主應力的方向。主應力（2）若有非零解，則：主應力的存在（3）注：該方程的三個解一定為實數，即總存在三個互相垂直的主應力。主應力（4）1）在受力物體內任意一點，一定存在三個互相垂直的應力主面以及對應的三個主應力。2）在受力物體內的任意一點，三個互相垂直的面上的正應力之和是不變量（不隨坐標系變化），并且等于該點的三個主應力之和。3）三個主應力中最大的一個就是該點的最大正應力，最小的一個就是該點的最小正應力。4）最大與最小的切應力，在數值上等于最大主應力與最小主應力之差的一半，作用在通過中間主應力并且“平分最大主應力與最小主應力的夾角”的平面上。幾何方程及位移邊界條件采用與平面問題的幾何方程一致的推導方法，可以得到：位移邊界條件：體應變單位體積的改變稱為體應變，用θ表示：體應變與位移的關系：物理方程（1）：體積應力體積模量物理方程（2）用應變表達應力：空間問題小結對于空間問題，一共有15個未知函數，它們是6個形變分量，6個應力分量，3個位移分量。而我們也有15個基本方程，它們是6個幾何方程，6個物理方程，3個平衡方程。此外，求出的解還必須滿足位移邊界條件以及應力邊界條件。軸對稱問題在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀，約束情況以及所受的外力作用都是對稱于某一軸（通過這個軸的任一平面都是對稱面），則所有的應力，形變以及位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。在描述軸對稱問題中的應力，形變及位移時，宜采用圓柱坐標ρ，φ，z。這樣可以使得應力分量，應變分量，位移分量都是ρ，z

的函數，不隨φ

變化。另外，所有物理量必須對稱過z軸的任何平面，凡不符合對稱性的物理量為零。xzyPCAB軸對稱問題的平衡方程與幾何方程xzyPC