專題04統計概率（解答題11種考點）考法一超幾何模型【例1-1】（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在內的學員人數為，求的分布列與數學期望．【答案】(1)，(2)分布列見解析；期望為【解析】（1）由直方圖可知，解得．因為，，所以學員該項技能的評價指標的中位數在內．設學員該項技能的評價指標的中位數為，則，解得．（2）由題意可知抽取的12名學員中該項技能的評價指標在內的有4名，在內的有8名．由題意可知的所有可能取值為．，，，，，則的分布列為01234【例1-2】（2023·河南新鄉·統考三模）現有4個紅球和4個黃球，將其分配到甲、乙兩個盒子中，每個盒子中4個球．(1)求甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率．(2)已知甲盒子中有3個紅球和1個黃球，若同時從甲、乙兩個盒子中取出個球進行交換，記交換后甲盒子中的紅球個數為X，X的數學期望為．證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題可知，甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率．（2）當時，X的取值可能是2，3，4，且，，，則．當時，X的取值可能是0，1，2，且，，，則．故．【例1-3】（2023·山東泰安·校考模擬預測）某購物中心準備進行擴大規模，在制定末來發展策略時，對中心的現有顧客滿意度進行了一個初步的現場調查，分別調查顧客對購物中心的商品質量、服務質量、購物環境、廣告宣傳的滿意程度．調查時將對被抽中的每個顧客從這四個問題中隨機抽取兩個問題來提問，統計顧客的滿意情況．假設，有三名顧客被抽到，且這三名顧客對這四個問題的滿意情況如下表：商品質量服務質量購物環境廣告宣傳顧客甲滿意不滿意滿意不滿意顧客乙不滿意滿意滿意滿意顧客丙滿意滿意滿意不滿意每得到一個滿意加10分，最終以總得分作為制定發展策略的參考依據．(1)求購物中心得分為50分的概率；(2)若已知購物中心得分為50分，則顧客丙投出一個不滿意的概率為多少？(3)列出該購物中心得到滿意的個數X的分布列，并求得分的數學期望．【答案】(1)(2)(3)分布列見解析，40【解析】（1）將得分為50分記為事件A；得分為50分即在六個問題的結果中，有五個滿意，一個不滿意，可能的結果共有：（種）三名顧客產生的反饋結果總共有：（種）則，∴購物中心得分為50分的概率為（2）將顧客丙投出一個不滿意記為事件B，則，，（3）可能的取值為2、3、4、5、6，，23456∵，∴．【變式】1.（2022·廣東汕頭·二模）袋中裝著標有數字1，2，3，4的小球各3個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3個小球上的數字互不相同的概率；（Ⅱ）用表示取出的3個小球上所標的最大數字，求隨機變量的分布列和數學期望．【答案】（1）（2）【解析】（I）“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為，則．（II）由題意所有可能的取值為：，，，.；；；．所以隨機變量的分布列為1234隨機變量的均值為．2.（2023云南某市衛生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所轄的，，三個區市民接種，每個區均能從中任選一個批號的疫苗接種．（1）求三個區市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區相同的概率；（2）記，，三個區選擇的疫苗批號的中位數為，求的分布列．【答案】（1）；（2）隨機變量的分布列為：12345【解析】（1）設三個區市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區相同為事件，則．（2）的所有可能取值為1，2，3，4，5，則，，，，．所以隨機變量的分布列為：123453．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補齊貧困地區義務教育發展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質量的教育，是夯實脫貧攻堅根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區教師資源匱乏的問題，某市教育局擬從5名優秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分3批次進行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機抽選．已知這5名優秀教師中，2人有支教經驗，3人沒有支教經驗．(1)求5名優秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動中恰有兩次被抽選到的概率；(2)求第一次抽取到無支教經驗的教師人數的分布列；(3)求第二次抽選時，選到沒有支教經驗的教師的人數最有可能是幾人？請說明理由．【答案】(1)(2)分布列見解析(3)最有可能是1人，理由見解析【解析】（1）5名優秀教師中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到的概率為，則三次抽取中，“甲”恰有兩次被抽取到的概率為；（2）X表示第一次抽取到的無支教經驗的教師人數，X的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列為：X012P0.10.60.3（3）設表示第二次抽取到的無支教經驗的教師人數，可能的取值有0，1，2，則有：，，，因為，故第二次抽取到的無支教經驗的教師人數最有可能是1人．考法二二項分布【例2】（2023·寧夏石嘴山·統考一模）人類命運共同體充分展現了中國的大國擔當．在第75屆聯合國大會上中國承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達到峰值，努力爭取2060年之前實現碳中和（簡稱“雙碳目標”），此舉展現了我國應對氣候變化的堅定決心，預示著中國經濟結構和經濟社會運轉方式將產生深刻變革，極大促進我國產業鏈的清潔化和綠色化．新能源汽車、電動汽車是重要的戰略新興產業，對于實現“雙碳目標”具有重要的作用．為了解兩個品牌新能源電動汽車的使用滿意度，在某市對購買兩個品牌的用戶各隨機抽取了100名進行問卷調查，記錄他們對A、B兩種品牌的滿意度得分（滿分100分），將數據分成6組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)請通過頻率分布直方圖分別估計A、B兩種電動汽車使用滿意度的平均得分，并判斷哪種品牌電動汽車更受用戶歡迎（同一組中的數據用該組中間的中點值作代表）；(2)以樣本頻率估計概率，若使用滿意度得分不低于70分說明用戶對該品牌電動汽車較滿意，現從該市使用B品牌的用戶中隨機抽取5個人，用表示對B品牌較滿意的人數，求的分布列及數學期望．【答案】(1)，品牌電動汽車的滿意度平均分分別為，B品牌電動汽車更受用戶歡迎；(2)分布列見解析，.【解析】（1）設用戶對品牌電動汽車的滿意度平均分為，則，設用戶對品牌電動汽車的的滿意度平均分為，則，顯然，所以品牌電動汽車更受用戶歡迎．（2）依題意，用戶對品牌電動汽車滿意度不低于70分的頻率為，低于70分的頻率為，從該市使用品牌的用戶中隨機抽取5個人，則的所有可能取值為，則，，，，，，，所以的分布列為：012345數學期望.【變式】1．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測）學校組織A，B，C，D，E五位同學參加某大學的測試活動，現有甲、乙兩種不同的測試方案，每位同學隨機選擇其中的一種方案進行測試，選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每位同學測試的結果互不影響.(1)若5位同學全選擇甲方案，將測試合格的同學的人數記為X，求X的分布列及其方差；(2)若測試合格的人數的期望值不小于3，求選擇甲方案進行測試的同學的可能人數.【答案】(1)分布列見詳解；.(2)【解析】（1）由已知隨機變量X的取值有,則.；；；；；.所以X的分布列為X012345P方差.（2）設選擇甲方案測試的學生人數為，則選擇乙方案測試的學生人數為，并設通過甲方案測試合格的學生人數為，通過乙方案測試合格的學生人數為，當時，此時所有學生均選擇乙方案測試，則，所以，不符合題意；當時，此時所有學生均選擇甲方案測試，則，所以，符合題意；當時，，，所以，又，則，故當時，符合題意.綜上，所以.所以當選擇甲方案測試的學生人數為時，測試合格的人數的均值不小于3.2．（2023·北京密云·統考三模）為了解某地區居民每戶月均用電情況，采用隨機抽樣的方式，從該地區隨機調查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數據，發現每戶月均用電量都在之間，進行適當分組后（每組為左閉右開區間），得到如下頻率分布直方圖：

(1)記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從第5組，第6組中任取2戶居民，求他們月均用電量都不低于的概率；(2)從該地區居民中隨機抽取3戶，設月均用電量在之間的用戶數為，以頻率估計概率，求的分布列和數學期望；(3)該地區為提倡節約用電，擬以每戶月均用電量為依據，給該地區月均用電量不少于的居民用戶每戶發出一份節約用電倡議書，且發放倡議書的數量為該地區居民用戶數的2%.請根據此次調查的數據，估計應定為多少合適？（只需寫出結論）.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，(3)【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，戶居民中，第組的居民戶數為，第組的居民戶數為，從第組、第組中任取戶居民，他們月均用電量都不低于的概率為.（2）該地區月均用電量在之間的用戶所占的頻率為，由題意可知，，所以，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：.（3）前個矩形的面積之和為，設月均用電量的樣本數據的第百分位數為，則，則，解得，故應定為較為合適.3．（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預測）為迎接“五一小長假”的到來，某商場開展一項促銷活動，凡在商場消費金額滿200元的顧客可以免費抽獎一次，抽獎規則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個小球，其中，紅球2個，白球3個，黃球5個，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個球，根據摸出球的顏色情況分別進行兌獎.將顧客摸出的2個球的顏色分成以下四種情況：：1個紅球1個白球，：2個紅球，：2個白球，：至少一個黃球.若四種情況按發生的概率從小到大的順序分別對應一等獎，二等獎，三等獎，不中獎.(1)求顧客在某次抽獎中，第二個球摸到為紅球的概率(2)求顧客分別獲一?二?三等獎時對應的概率；(3)若三名顧客每人抽獎一次，且彼此是否中獎相互獨立.記中獎的人數為，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)顧客分別獲一?二?三等獎的概率分別為、、(3)分布列答案見解析，【解析】）設顧客第次摸到紅球為，則；（2）由題意知，，，，，因此，顧客分別獲一?二?三等獎的概率分別為、、；（3）由（2）可知，顧客抽獎一次獲獎的概率為，則，所以，，，，則分布列為：123數學期望.考法三獨立重復試驗【例3-1】（2023·河北滄州·校考三模）甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規則循環下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據以往經驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題可知，甲、乙、丙各旁觀1局的概率即為甲、乙、丙各勝1局的概率.設甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件，，，則，，相互獨立，設比賽完3局時，甲、乙、丙各勝1局為事件，則，則，所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為.（2）設甲、乙、丙第局比賽獲勝分別為事件，，，，設比賽完5局甲獲得最終勝利為事件，則，，，，，，所以.所以，已知比賽進行5局后結束，甲獲得最終勝利的概率為.【例3-2】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）手工刺繡是中國非物質文化遺產之一，指以手工方式，用針和線把人的設計和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個環節，簡記為工序A，工序，工序.經過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現某單位推出一項手工刺繡體驗活動，報名費30元，成功通過三道工序最終的獎勵金額是200元，為了更好地激勵參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務，可以在著手前付費聘請技術員，若某一道工序沒有成功，可以由技術員完成本道工序.每位技術員只完成其中一道工序，每聘請一位技術員需另付費100元，制作完成后沒有接受技術員補救服務的退還一半的聘請費用.(1)若小李聘請一位技術員，求他成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘請兩位技術員，求他最終獲得收益的期望值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）記事件M為“小李聘請一位技術員成功完成三道工序”，當技術員完成工序A時，小李成功完成三道工序的概率為：,當技術員完成工序B時，小李成功完成三道工序的概率為：,當技術員完成工序C時，小李成功完成三道工序的概率為：,當技術員沒參與補救時，小李成功完成三道工序的概率為：，故小李成功完成三道工序的概率為；（2）設小李最終收益為X，小李聘請兩位技術員參與比賽，有如下幾種情況：兩位技術員都參與補救但仍未成功完成三道工序，此時，；兩位技術員都參與補救并成功完成三道工序，此時，；只有一位技術員參與補救后成功完成三道工序，此時，;技術員最終未參與補救仍成功完成三道工序，此時，；故.【變式】1．（2023·福建龍巖·統考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發起體育運動和文化項目比賽，經過角逐，甲、乙兩人進入最后的決賽．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時該天比賽結束．若甲、乙兩人中的一方能連續兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結果沒有平局且結果互相獨立．(1)記第一天需要進行的比賽局數為X，求X的分布列及；(2)記一共進行的比賽局數為Y，求．【答案】(1)分布列見解析；期望為(2)【解析】（1）解：可能取值為2，3．所以的分布列如下：23∴．（2）前兩天中每一天甲以2：0獲勝的的概率均為；乙以2：0獲勝的的概率均為甲以2：1獲勝的的概率均為乙以2：1獲勝的的概率均為∴即獲勝方前兩天比分為和，或者和再加附加賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為∴∴．2．（2023·云南·校聯考模擬預測）目前,教師職業越來越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業規劃之一.當前,中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分,筆試通過后才能進入面試環節.已知某市年共有名考生參加了中小學教師資格考試的筆試,筆試成績,只有筆試成績高于分的學生才能進入面試環節.(1)從報考中小學教師資格考試的考生中隨機抽取人,求這人中至少有一人進入面試的概率;(2)現有甲、乙、丙名學生進入了面試,且他們通過面試的概率分別為,設這名學生中通過面試的人數為,求隨機變量的分布列和數學期望.參考數據:若,則,,,,.【答案】(1)(2)隨機變量的分布列見解析；期望為【解析】（1）記“至少有一人進入面試”為事件,由已知得:,所以,則,即這人中至少有一人進入面試的概率為.（2）的可能取值為,,,,,則隨機變量的分布列為：,.3．（2023·江西景德鎮·統考三模）部分高校開展基礎學科招生改革試點工作（強基計劃）的校考由試點高校自主命題，校考過程中達到筆試優秀才能進入面試環節.已知兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否達到優秀相互獨立.若某考生報考大學，每門科目達到優秀的概率均為，若該考生報考大學，每門科目達到優秀的概率依次為，，，其中.(1)若，分別求出該考生報考兩所大學在筆試環節恰好有一門科目達到優秀的概率；(2)強基計劃規定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優秀科目個數的期望為依據作出決策，該考生更有希望進入大學的面試環節，求的范圍.【答案】(1)報考大學恰好有一門筆試科目優秀概率為；報考大學恰好有一門筆試科目優秀概率為(2)【解析】（1）設該考生報考大學恰好有一門筆試科目優秀為事件，則；該考生報考大學恰好有一門筆試科目優秀為事件，則.（2）該考生報考大學達到優秀科目的個數設為，則，；該考生報考大學達到優秀科目的個數設為，則所有可能的取值為，；；；；隨機變量的分布列：；該考生更有希望進入大學的面試環節，，即，解得：，的范圍為.考法四正態分布【例4】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）2022年，隨著最低工資標準提高，商品價格上漲，每個家庭的日常消費也隨著提高，某社會機構隨機調查了200個家庭的日常消費金額并進行了統計整理，得到數據如下表：消費金額（千元）人數406040302010以頻率估計概率，如果家庭消費金額可視為服從正態分布，分別為這200個家庭消費金額的平均數及方差（同一區間的花費用區間的中點值替代）．(1)求和的值；(2)試估計這200個家庭消費金額為的概率（保留一位小數）；(3)依據上面的統計結果，現要在10個家庭中隨機抽取4個家庭進行更細致的消費調查，記消費金額為的家庭個數為，求的分布列及期望．參考數據：；若隨機變量，則，，.【答案】(1)4.3；2.06(2)0.8(3)分布列見解析，【解析】（1）由題意得（2）由（1）得所以.（3）由題意知這10個家庭中消費金額在范圍內的有8個家庭，故X的所有取值為2，3，4，，，，所以X的分布列為X234P所以．【變式】1．（2023·西藏日喀則·統考一模）為了不斷提高教育教學能力，某地區教育局利用假期在某學習平臺組織全區教職工進行網絡學習．第一學習階段結束后，為了解學習情況，負責人從平臺數據庫中隨機抽取了300名教職工的學習時間（滿時長15小時），將其分成六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）．

(1)求a的值；(2)以樣本估計總體，該地區教職工學習時間近似服從正態分布，其中近似為樣本的平均數，經計算知．若該地區有5000名教職工，試估計該地區教職工中學習時間在內的人數；(3)現采用分層抽樣的方法從樣本中學習時間在內的教職工中隨機抽取5人，并從中隨機抽取3人作進一步分析，分別求這3人中學習時間在內的教職工平均人數．（四舍五入取整數）參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．【答案】(1)(2)估計該地區教職工中學習時間在內的人數約為4093(3)這3人中學習時間在內的教職工平均人數約為1【解析】（1）由題意得，解得．（2）由題意知樣本的平均數為，所以．又，所以．則，所以估計該地區教職工中學習時間在內的人數約為4093．（3）對應的頻率比為，即為，所以抽取的5人中學習時間在內的人數分別為2，3，設從這5人中抽取的3人學習時間在內的人數為，則的所有可能取值為0，1，2，，，，所以．則這3人中學習時間在內的教職工平均人數約為1考法五條件概率與全概率【例5】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%.(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計算它是第1臺車床所加工的概率（結果用分數表示）；(3)參照第（2）問給出判斷，求第1，2，3臺車床操作員對加工次品分別應承擔的份額.【答案】(1)0.0525(2)(3)第1，2臺車床操作員應承擔，第3臺車床操作員應承擔.【解析】（1）設“任取一零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”，則，且，，兩兩互斥，根據題意得，，，，，，，由全概率公式，得；（2）“求次品為第1臺車床所加工的概率”，就是計算在B發生的條件下，事件發生的概率，；（3）根據（2），，故第1，2臺車床操作員應承擔，第3臺車床操作員應承擔.【變式】1．（2023·福建泉州·統考模擬預測）泉州是歷史文化名城、東亞文化之都，是聯合國認定的“海上絲綢之路”起點.著名的“泉州十八景”是游客的爭相打卡點，泉州文旅局調查打卡十八景游客，發現90%的人至少打卡兩個景點.為提升城市形象，泉州文旅局為大家準備了4種禮物，分別是世遺泉州金屬書簽、閩南古厝徽章、開元寺祈福香包、小關公陶瓷擺件.若打卡十八景游客至少打卡兩個景點，則有兩次抽獎機會；若只打卡一個景點，則有一次抽獎機會.每次抽獎可隨機獲得4種禮物中的1種禮物.假設打卡十八景游客打卡景點情況相互獨立.(1)從全體打卡十八景游客中隨機抽取3人，求3人抽獎總次數不低于4次的概率；(2)任選一位打卡十八景游客，求此游客抽中開元寺祈福香包的概率.【答案】(1)0.999(2)【解析】（1）設3人抽獎總次數為，則的可能取值為3，4，5，6.由題意知，每位打卡十八景游客至少打卡兩個景點的概率為，只打卡一個景點的概率為，隨機抽取3人，3人打卡景點情況相互獨立.表示抽獎總次數為3次，即3人都只打卡一個景點.依題意可得，，所以.（2）記事件“每位打卡十八景游客至少打卡兩個景點”，則“每位打卡十八景游客只打卡一個景點”，事件“一位打卡十八景游客抽中開元寺祈福香包”，則，，，，由全概率公式得，.2．（2023·福建三明·統考三模）在二十大報告中，體育?健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊有名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據前期比賽的數據統計，甲隊種子選手對乙隊每名隊員的勝率均為，甲隊其余名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結果沒有平局）(1)求甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率；(2)已知甲隊獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：設事件“種子選手第局上場”，事件“甲隊最終獲勝且種子選手上場”.由全概率公式知，因為每名隊員上場順序隨機，故，，，.所以，所以甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率為.（2）解：設事件“種子選手未上場”，事件“甲隊獲得勝利”，，，，，因為.

由（1）知，所以.所以，已知甲隊獲得最終勝利，種子選手上場的概率為.3．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）在2005年世青賽中，被稱作“超白金一代”的中國男足U23代表隊打出了中國男足在世界舞臺上的最好表現．球隊的戰術核心，來自沈陽的陳濤入選了奏事最佳陣容．世青賽的賽制分為小組賽、淘汰賽兩個階段．小組賽中，參賽的32支代表隊被分為8各小組，每個小組4支球隊，按照單循環賽制選出兩支球隊進入淘汰賽．淘汰賽中16支球隊捉對廝殺，敗者淘汰勝者晉級，通過4輪比賽決出最后的冠軍．(1)已知在小組賽中，每贏一場記3分，打平一場記1分，輸一場記0分．小組賽階段中國隊與巴拿馬、土耳其、烏克蘭三支球隊分在同一組．首戰中中國隊驚險戰勝了歐洲亞軍土耳其隊，在小組賽占據了優勢．面對后兩場比賽的對手烏克蘭隊和巴拿馬對，根據賽前球探報告分析，中國隊都有實力優勢，可以近似認為后兩場比賽中國的獲勝的概率都為0.5，打平的概率都為0.2，輸球的概率都為0.3．設中國隊三場小組賽之后的總積分為隨機變量X，求出其分布列和期望．(2)10號隊員陳濤作為中國隊的進攻核心，他的表現對中國隊而言舉足輕重．過往數據表示，在所有陳濤出場并且有進球或者助攻的比賽中，中國隊贏得了其中80%的場次，在所有陳濤沒有進球或者助攻的比賽中，中國隊贏得了其中20%的場次，陳濤在其代表中國隊出場的40場比賽中，有30場比賽完成了進球或者助攻．在本屆比賽中，中國隊在小組賽中順利出線，淘汰賽首輪中對陣世界足壇的傳統強隊德國隊．已知在淘汰賽對陣德國隊的比賽中，陳濤代表中國隊出場比賽，雖然經過全隊不懈努力，仍然不敵強大的德國隊，遺憾告別世界杯．那么，若以過往的數據估計概率，請估計陳濤在本場比賽貢獻進球或者助攻的概率．【答案】(1)分布列見解析，期望為分；(2).【解析】（1）依題意，隨機變量可取值為：3，4，5，6，7，9，,，所以的分布列為：3456790.090.120.040.30.20.25的期望為分（2）記事件為陳濤取得進球或者助攻，則為末進球且未助攻，則，，事件為中國隊獲勝，則，，，，所以，即在中國隊輸給德國隊的前提下，陳濤進球或助攻的概率為.考法六統計案例【例6-1】（2023·貴州畢節·校考模擬預測）為了解某一地區新能源電動汽車銷售情況，一機構根據統計數據，用最小二乘法得到電動汽車銷量（單位：萬臺）關于（年份）的線性回歸方程，且銷量的方差為，年份的方差為．(1)求與的相關系數，并據此判斷電動汽車銷量與年份的線性相關性的強弱．(2)該機構還調查了該地區90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數據如下表：性別購買非電動汽車購買電動汽車總計男性39645女性301545總計692190依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為購買電動汽車與車主性別有關？(3)在購買電動汽車的車主中按照性別進行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，記這3人中男性的人數為，求的分布列和數學期望．①參考數據：．②參考公式：線性回歸方程為，其中；相關系數，若，則可判斷與線性相關較強；，其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)電動汽車銷量與年份的線性相關性的較強；(2)依據小概率值的獨立性檢驗，認為購買電動汽車與車主性別有關；(3)分布列見解析，數學期望為.【解析】（1）由，得，由，得，因為線性回歸方程，則，即，因此相關系數，所以電動汽車銷量與年份的線性相關性的較強.（2）零假設：購買電動汽車與車主性別無關，由表中數據得：，依據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為購買電動汽車與車主性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（3）按購買電動汽車的車主進行分層抽樣，抽取的7人中男性有人，女性有5人，則的可能值為，，所以的分布列為：012的數學期望【例6-2】（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）隨著全球新能源汽車市場蓬勃增長，在政策推動下，中國新能源汽車企業在10余年間實現了“彎道超車”，一躍成為新能源汽車產量連續7年居世界第一的全球新能源汽車強國．某新能源汽車企業基于領先技術的支持，改進并生產純電動車、插電混合式電動車、氫燃料電池車三種車型，生產效益在短期內逐月攀升，該企業在1月份至6月份的生產利潤y（單位，百萬元）關于月份的數據如下表所示，并根據數據繪制了如圖所示的散點圖．月份123456收入（百萬元）6.88.616.119.628.140.0(1)根據散點圖判斷，與（，，，d均為常數）哪一個更適宜作為利潤關于月份的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據（1）的結果及表中的數據，求出y關于的回歸方程；(3)該車企為提高新能源汽車的安全性，近期配合中國汽車技術研究中心進行了包括跌落、追尾、多車碰撞等一系列安全試驗項目，其中在實驗場進行了一項甲、乙、丙三車同時去碰撞實驗車的多車碰撞實驗，測得實驗車報廢的概率為0.188，并且當只有一車碰撞實驗車發生，實驗車報廢的概率為0.1，當有兩車碰撞實驗車發生，實驗車報廢的概率為0.2，由于各種因素，實驗中甲乙丙三車碰撞實驗車發生概率分別為0.7，0.5，0.4，且互不影響，求當三車同時碰撞實驗車發生時實驗車報廢的概率．參考數據：19.872.8017.50113.756.30其中，設，．參考公式：對于一組具有線性相關關系的數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】(1)選用作為利潤關于月份的回歸方程更合適(2)(3)【解析】（1）散點圖中的點的分布不是一條直線，相鄰兩點在軸上的差距是增大的趨勢．故選用作為利潤關于月份的回歸方程更合適．（2）由，取對數可得，設，所以，，，，，所以，，所以，，即．（3）設事件為“實驗車報廢”，事件為“只有一車碰撞實驗車”，事件為“恰有兩車碰撞實驗車”，事件為“三車碰撞實驗車”，則由已知得，利用全概率公式得解得所以當三車同時碰撞實驗車發生時實驗車報廢的概率為0.5．【變式】1．（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考三模）跑腿服務是隨即時物流發展出現的非標準化服務，省時省力是消費者使用跑腿服務的主要目的，隨著消費者即時需求和節約時間需求的提升，跑腿經濟的發展空間有望逐步擴大，某跑腿服務公司隨機統計了800名不同年齡消費者每月的跑腿服務使用頻率得到如下頻數分布表：每月1次50404090每月2～4次808010060每月5～10次60755647每月10次以上10543(1)若把年齡在內的人稱為青年，年齡在內的人稱為中年，每月使用跑腿服務低于5次的為使用頻率低，不低于5次的為使用頻率高，補全下面的2×2列聯表，并判斷是否有99%的把握認為跑腿服務的使用頻率高低與年齡有關?青年中年合計使用頻率高使用頻率低合計(2)從樣本中每月使用跑腿服務2～4次且年齡在內的消費者中按照年齡段利用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與內的人數分別為X、Y，若，求的分布列與數學期望.參考公式：，其中附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)列聯表見解析，有；(2)分布列見解析，.【解析】（1）補全的列聯表如下：青年中年合計使用頻率高150110260使用頻率低250290540合計400400800所以，所以有99%的把握認為跑腿服務的使用頻率高低與年齡有關.（2）由數表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在，內的人數分別為5，3，依題意，的所有可能取值分別為為1，3，所以，，所以的分布列為：13P所以的數學期望為.2．（2023·全國·模擬預測）某鄉鎮全面實施鄉村振興，大力發展特色產業——富硒水果．工作人員統計了近8年富硒水果種植面積（單位：百畝）與年銷售額（單位：千萬元）的數據．經計算得到如下處理后的統計量：，，，，，，，，，其中，．(1)根據以上數據，從相關系數的角度，判斷與哪個適宜作為年銷售額關于種植面積的回歸方程類型（相關系數精確到0.01）．(2)根據（1）的判斷結果及相關數據，建立關于的回歸方程（系數精確到0.01）．(3)該鄉鎮計劃年銷售額不低于10億元，請預測種植面積至少為多少畝．附：相關系數，回歸直線的斜率與截距的最小二乘估計分別為，．參考數據：，．【答案】(1)適宜作為年銷售額關于種植面積的回歸方程類型(2)(3)706畝【解析】（1）若用作為年銷售額關于種植面積的回歸方程類型，則設，則．設與的相關系數為，則．由，，得，則，所以．若用作為年銷售額關于種植面積的回歸方程類型，則．設，則．設與的相關系數為，則．因為，所以適宜作為年銷售額關于種植面積的回歸方程類型．（2）．由，得．，所以關于的線性方程為，則關于的回歸方程為．（3）由題意可知．整理，得，因為，解得或（舍去），故種植面積至少為706畝．3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學校考模擬預測）放行準點率是衡量機場運行效率和服務質量的重要指標之一.某機場自2012年起采取相關策略優化各個服務環節，運行效率不斷提升.以下是根據近10年年份數與該機場飛往A地航班放行準點率（）（單位：百分比）的統計數據所作的散點圖及經過初步處理后得到的一些統計量的值.2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中，(1)根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為該機場飛往A地航班放行準點率y關于年份數x的經驗回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并根據表中數據建立經驗回歸方程，由此預測2023年該機場飛往A地的航班放行準點率.(2)已知2023年該機場飛往A地?B地和其他地區的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預測值作為2023年該機場飛往A地航班放行準點率的估計值，且2023年該機場飛往B地及其他地區（不包含A、B兩地）航班放行準點率的估計值分別為和，試解決以下問題：（i）現從2023年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個，求該航班準點放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機場準點放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由.附：（1）對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，參考數據：，，.【答案】(1)適宜，預測2023年該機場飛往A地的航班放行準點率(2)（i）0.778；（ii）可判斷該航班飛往其他地區的可能性最大，理由見解析【解析】（1）由散點圖判斷適宜作為該機場飛往A地航班放行準點率y關于年份數x的經驗回歸方程類型.令，先建立y關于t的線性回歸方程.由于，，該機場飛往A地航班放行準點率y關于t的線性回歸方程為，因此y關于年份數x的回歸方程為所以當時，該機場飛往A地航班放行準點率y的預報值為.所以2023年該機場飛往A地航班放行準點率y的預報值為.（2）設“該航班飛往A地”，“該航班飛往B地”，“該航班飛往其他地區”，“該航班準點放行”，則，，，，，.（i）由全概率公式得，，所以該航班準點放行的概率為0.778.（ii），，，因為，所以可判斷該航班飛往其他地區的可能性最大.考法七決策問題【例7】（2023·四川綿陽·統考模擬預測）新高考數學試卷中的多項選擇題，給出的4個選項中有2個以上選項是正確的，每一道題考生全部選對得5分.對而不全得2分，選項中有錯誤得0分.設一套數學試卷的多選題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為，沒有4個選項都正確的（在本問題中認為其概率為0）.在一次模擬考試中：(1)小明可以確認一道多選題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得5分的概率為，求；(2)小明可以確認另一道多選題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個，共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數學期望為決策依據，小明應該選擇哪個方案？【答案】(1)(2)①【解析】（1）記一道多選題“有2個選項正確”為事件，“有3個選項正確”為事件，“小明該題得5分”為事件B，則，求得.（2）若小明選擇方案①，則小強的得分為2分.若小明選擇方案②，記小強該題得分為X，則，且，，，所以，，若小明選擇方案③，記小強該題得分為Y，則，且，，所以，,因為，所以小明應選擇方案①.【變式】1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校校考模擬預測）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為的三個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一個金蛋，再將三個箱子關閉.主持人知道金蛋在哪個箱子里.游戲規則是主持人請抽獎人在三個箱子中選擇一個，若金蛋在此箱子里，抽獎人得到元獎金；若金蛋不在此箱子里，抽獎人得到元參與獎.無論抽獎人是否抽中金蛋，主持人都重新隨機放置金蛋，關閉三個箱子，等待下一個抽獎人。(1)求前位抽獎人抽中金蛋人數的分布列和方差；(2)為了增加節目效果，改變游戲規則.當抽獎人選定編號后，主持人在剩下的兩個箱子中打開一個空箱子.與此同時，主持人也給抽獎人一個改變選擇的機會.如果抽獎人改變選擇后，抽到金蛋，獎金翻倍；否則，取消參與獎.若僅從最終所獲得的獎金考慮，抽獎人該如何抉擇呢？【答案】(1)分布列見解析；(2)抽獎人應改變選擇【解析】（1）由題意知：抽中金蛋人數服從于二項分布，即，即所有可能的取值為，；；；；的分布列為：中獎人數的方差.（2）若改變選擇，記獲得獎金數為，則可能的取值為，則，，改變選擇時，獲得獎金數的數學期望；若不改變選擇，記獲得獎金數為，則可能的取值為，則，，不改變選擇時，獲得獎金數的數學期望；，抽獎人應改變選擇.2．（2023·陜西漢中·校聯考模擬預測）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽的勝負互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制（先勝2局者獲勝，比賽結束）；方案二：五局三勝制（先勝3局者獲勝，比賽結束）.(1)若選擇方案一，求甲獲勝的概率；(2)用拋擲骰子的方式決定比賽方案，拋擲兩枚質地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的點數，若“兩枚骰子向上的點數之和不大于6”則選擇方案一；否則選擇方案二.判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說明理由.【答案】(1)(2)方案二被選擇的可能性更大，理由見解析【解析】（1）由題意可得，選擇方案一，三局兩勝制，記甲獲勝的事件為A甲獲勝事件A包含甲連勝兩局記為；甲第一局負，第二、三局勝記為；甲第一局勝，第二局負、第三局勝記為且互斥，且每局比賽相互獨立.則，，∴所以甲獲勝的概率為.（2）拋擲兩枚質地均勻的骰子，設向上的點數為，有36個樣本點，為，它們是等可能的，故這是個古典概型.兩點數之和不大于6的樣本點有15個：,記事件C為“兩點數之和不大于6”，所以.記事件D為“點數之和大于6”，所以.因為，所以方案二被選擇的可能性更大。3．（2023·江西九江·統考三模）人勤春來早，實干正當時．某工廠春節后復工復產，為滿足市場需求加緊生產，但由于生產設備超負荷運轉導致某批產品次品率偏高．已知這批產品的質量指標，當時產品為正品，其余為次品．生產該產品的成本為20元/件，售價為40元/件．若售出次品，則不更換，需按原售價退款并補償客戶10元/件．(1)若某客戶買到的10件產品中恰有兩件次品，現從中任取三件，求被選中的正品數量的分布列和數學期望：(2)已知P，工廠欲聘請一名臨時質檢員檢測這批產品，質檢員工資是按件計費，每件x元．產品檢測后，檢測為次品便立即銷毀，檢測為正品方能銷售．假設該工廠生產的這批產品都能銷售完，工廠對這批產品有兩種檢測方案，方案一：全部檢測；方案二：抽樣檢測．若要使工廠兩種檢測方案的盈利均高于不檢測時的盈利，求x的取值范圍，并從工廠盈利的角度選擇恰當的方案．【答案】(1)分布列見解析；期望為(2)，從工廠盈利的角度應選擇方案一【解析】（1）由題意可知的可能取值為1,2,3，∴ξ的分布列如下：123P．∴．（2）∵且，∴．∴這批產品的次品率為設該工廠生產的這批產品有n件，記Y為這批產品的次品數量，則若這批產品不檢測，則該工廠的利潤的期望為．若選擇方案一，則該工廠的利潤的期望為令，解得．若選擇方案二，假設抽樣檢測件，則檢測出的次品的期望為0.04m件，不檢測的產品有件，則該工廠的利潤的期望為令，解得．則，∵，且，∴．∴，并從工廠盈利的角度應選擇方案一、考法八數列與統計概率綜合【例8】（2023·山西晉中·統考三模）晉中市是晉商文化的發源地，且擁有豐富的旅游資源，其中有保存完好的大院人文景觀（如王家大院，常家莊園等），也有風景秀麗的自然景觀（如介休綿山，石膏山等）．某旅行團帶游客來晉中旅游，游客可自由選擇人文景觀和自然景觀中的一處游覽．若每位游客選擇人文景觀的概率是，選擇自然景觀的概率為，游客之間選擇意愿相互獨立．(1)從游客中隨機選取5人，記5人中選擇人文景觀的人數為X，求X的均值與方差；(2)現對游客進行問卷調查，若選擇人文景觀記2分，選擇自然景觀記1分，記已調查過的累計得分為n分的概率為，求．【答案】(1)，(2)【解析】（1）由題可知，（或者列出分布列）于是，．（2）法一：由題可知，．時，，也即，∴為常數數列，且，∴，∴是以為首項、為公比的等比數列，∴，∴．法二：由題可知，．時，，也即，∴是以為首項、為公比的等比數列，∴，，……，相加得：，∴,又也滿足，所以.【變式】1（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）長江十年禁漁計劃全面施行，漁民老張積極配合政府工作，如期收到政府的補償款.他決定拿出其中10萬元進行投資，并看中了兩種為期60天（視作2個月）的穩健型（不會虧損）理財方案.方案一：年化率，且有的可能只收回本金；方案二：年化率，且有的可能只收回本金；已知老張對每期的投資本金固定（都為10萬元），且第一次投資時選擇了方案一，在每期結束后，老張不間斷地進行下一期投資，并且他有的可能選擇另一種理財方案進行投資.(1)設第i次投資（）選擇方案一的概率為，求；(2)求一年后老張可獲得總利潤的期望（精確到1元）.注：若拿1千元進行5個月年化率為的投資，則該次投資獲利元.【答案】(1)(2)2255元【解析】（1）由題意知，，整理得，，其中，故數列是以為首項，為公比的等比數列，則，即，那么；（2）當某期選擇方案一時，獲利期望值為元；當某期選擇方案二時，獲利期望值為元；那么，在一年間，老張共投資了6次，獲得的總利潤的期望為元，即一年后老張可獲得的利潤的期望約為2255元.2．（2023·湖南郴州·校聯考二模）馬爾可夫鏈是因俄國數學家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關，與第次狀態是“沒有任何關系的”.現有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行次操作后，記甲盒子中黑球個數為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.(1)求的分布列；(2)求數列的通項公式；(3)求的期望.【答案】(1)答案見解析(2)(3)1【解析】（1）（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012（2）由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，數列為以為首項，以為公比的等比數列，所以，即：.（3）由全概率公式可得：,即：,又,所以,所以,又,所以,所以,所以,所以.3．（2023·河北邯鄲·統考三模）邯鄲是歷史文化名城，被譽為“中國成語典故之都”．為了讓廣大市民更好的了解并傳承成語文化，當地文旅局擬舉辦猜成語大賽.比賽共設置道題，參加比賽的選手從第一題開始答題，一旦答錯則停止答題，否則繼續，直到答完所有題目.設某選手答對每道題的概率均為，各題回答正確與否相互之間沒有影響．(1)記答題結束時答題個數為，當時，若，求的取值范圍；(2)（i）記答題結束時答對個數為，求；（ii）當時，求使的的最小值．參考數據：，.【答案】(1)(2)（i）；（ii）9【解析】（1）根據題意，可取1，2，3，，，，所以，由得，又，所以的取值范圍是.（2）（ⅰ），其中，，所以的數學期望為，設，利用錯位相減可得，所以.另解：.（ⅱ）依題意，，即，即，所以，又，故的最小值為9.考法九統計概率與函數導數綜合【例9】（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）適量的運動有助于增強自身體質，加快體內新陳代謝，有利于抵御疾病．某社區組織社區居民參加有獎投籃比賽，已知小李每次在罰球點投進的概率都為．(1)若每次投籃相互獨立，小李在罰球點連續投籃6次，恰好投進4次的概率為，求的最大值點；(2)現有兩種投籃比賽規則，規則一：在罰球點連續投籃6次，每投進一次，獎勵兩盒雞蛋，每次投籃相互獨立，每次在罰球點投進的概率都以（1）中確定的作為p的值；規則二：連續投籃3次，每投進一次，獎勵四盒雞蛋．第一次在罰球點投籃，投進的概率以（1）中確定的作為p的值，若前次投進，則下一次投籃位置不變，投進概率也不變，若前次未投進，則下次投籃要后退1米，投進概率變為上次投進概率的一半．請分析小李應選哪種比賽規則對自己更有利．【答案】(1)最大值點(2)小李應選規則一參加比賽．【解析】（1）由題意得則，則，令，得，當時，，在區間內單調遞增，當時，，在區間內單調遞減，所以的最大值點．（2）若選規則一，記X為小李投進的次數，則X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6．則，則，記Y為小李所得雞蛋的盒數，則，．若選規則二，記Z為小李投進的次數，則Z的所有可能取值為0，1，2，3．記小李第k次投進為事件，未投進為事件，所以投進0次對應事件為，其概率為；投進1次對應事件為，其概率；投進2次對應事件為，其概率．投進3次對應事件為，其概率，所以Z的分布列為Z0123P所以；記L為小李所得雞蛋的盒數，則，，因為，所以小李應選規則一參加比賽．【變式】1．（2023·廣東茂名·統考二模）春節過后，文化和旅游業逐漸復蘇，有意跨省游、出境游的旅客逐漸增多.某旅游景區為吸引更多游客，計劃在社交媒體平臺和短視頻平臺同時投放宣傳廣告并進行線上售票，通過近些年的廣告數據分析知，一輪廣告后，在短視頻平臺宣傳推廣后，目標用戶購買門票的概率為，在社交媒體平臺宣傳推廣后，目標用戶購買門票的概率為；二輪廣告精準投放后，目標用戶在短視頻平臺進行復購的概率為，在社交媒體平臺復購的概率為.(1)記在短視頻平臺購票的4人中，復購的人數為，若，試求的分布列和期望；(2)記在社交媒體平臺的3名目標用戶中，恰有1名用戶購票并復購的概率為，當取得最大值時，為何值？(3)為優化成本，該景區決定綜合渠道投放效果的優劣，進行廣告投放戰略的調整.已知景區門票100元/人，在短視頻平臺和社交媒體平臺的目標用戶分別在90萬人和17萬人左右，短視頻平臺和社交媒體平臺上的廣告投放費用分別為4元/100人和5元/100人，不計宣傳成本的景區門票利潤率分別是2%和5%，在第（2）問所得值的基礎上，試分析第一次廣告投放后，景區在兩個平臺上的目標用戶身上可獲得的凈利潤總額.【答案】(1)分布列見解析；當時，期望為1；當時，期望為3；(2)(3)805500元【解析】（1）由題意得,在短視頻平臺購票的人中,復購概率為，復購的人數滿足二項分布，即，故,故或.又知的所有可能取值為0，1，2，3，4，①當時,的分布列為01234此時期望為，②時,，所以的分布列為01234此時期望為（2）設在社交媒體平臺的目標用戶購票并復購的概率為，由題得,.,,令,得或1，所以時,，函數單調遞增,當時,，函數單調遞減.故當取得最大值.由可得，此時.（3）短視頻平臺:(元),社交媒體平臺:(元),凈利潤總額:(元).故景區在兩個平臺上的目標用戶身上可獲得的凈利潤總額為805500元.2．（2023·廣東揭陽·惠來縣第一中學校考模擬預測）根據社會人口學研究發現，一個家庭有個孩子的概率模型為：1230概率其中，.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子，事件表示一個家庭的男孩比女孩多（例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多.）(1)為了調控未來人口結構，其中參數受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育、醫療福利的增加等），是否存在的值使得，請說明理由.(2)若，求，并根據全概率公式，求.【答案】(1)不存在的值使得，理由見解析(2)，【解析】（1）不存在的值使得，理由如下：由題意得，①，且②，由②得到，將其代入①，整理得到，令，，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故在處取得極小值，也是最小值，又，故無解，所以不存在的值使得（2）若，則，解得，，，，由全概率公式可得，因為，，所以.3．（2023·安徽·校聯考模擬預測）某公司對新生產出來的300輛新能源汽車進行質量檢測，每輛汽車要由甲、乙、丙三名質檢員各進行一次質量檢測，三名質檢員中有兩名或兩名以上檢測不合格的將被列為不合格汽車，有且只有一名質檢員檢測不合格的汽車需要重新由甲、乙兩人各進行一次質量檢測，重新檢測后，如果甲、乙兩名質檢員中還有一人或兩人檢測不合格，也會被列為不合格汽車.假設甲、乙、丙三名質檢員的檢測相互獨立，每一次檢測不合格的概率為.(1)求每輛汽車被列為不合格汽車的概率；(2)公司對本次質量檢測的預算支出是4萬元，每輛汽車不需要重新檢測的費用為60元，需要重新檢測的前后兩輪檢測的總費用為100元，所有汽車除檢測費用外，其他費用估算為1萬元，若300輛汽車全部參與質量檢測，實際費用是否會超出預算?【答案】(1)(2)不會【解析】（1）由題意知，每輛汽車第一輪質量檢測被列為不合格汽車的概率為，每輛汽車重新檢測被列為不合格汽車的概率為，綜上可知，每輛汽車被列為不合格汽車的概率為.（2）設每輛汽車質量檢測的費用為元，則的可能取值為60，100，由題意知，，所以隨機變量的數學期望為（元），，令，，則，所以當時，；當時，；所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即（元）.所以此方案的最高費用為（萬元），綜上可知，實際費用估計不會超過預算.考法十最值問題【例10-1】（2023·全國·鎮海中學校聯考模擬預測）某學校從全體師生中隨機抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會實踐活動.(1)假設30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數為，從學校全體男生中隨機選取3人，記為3人中身高不超過的人數，以頻率估計概率求的分布列及數學期望；(2)從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30位，記被選出的人中恰好有個男生的概率為，求使得取得最大值的的值.【答案】(1)分布列見解析，數學期望為；(2).【解析】（1）所有可能的取值為，且.；；；.故的分布列為01230.0080.0960.3840.512所以.（2）設事件為“被選出的人中恰好有位男生”，則30個人中剩下個人為女生或者老師，事件包含樣本點的個數為，所以.所以，解得.所以，故當時，最大.【例10-2】（2023·福建福州·福州三中校考模擬預測）某市為了傳承發展中華優秀傳統文化，組織該市中學生進行了一次數學知識競賽.為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取100名學生的競賽成績（單位：分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求該100名學生競賽成績的中位數；（結果保留整數）(2)從競賽成績在的兩組的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記競賽成績在的學生人數為，求的分布列和數學期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從隨機抽取20名學生，用表示這20名學生中恰有名學生競賽成績在內的概率，其中．當最大時，求.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)或【解析】（1）由直方圖可知成績在，，，的頻率和為，而成績在的頻率為，則抽取的100名學生成績的中位數在內，設中位數為x，則，解得，所以該100名學生競賽成績的中位數約為；（2）由頻率分布直方圖可得：競賽成績在，兩組的頻率之比為，則10人中競賽成績在的人數為人；在的人數為人；則X所有可能的取值為0，1，2，3，于是，，，，所以X的分布列為：X0123P數學期望為；（3）用頻率估計概率，競賽成績在內的概率，則，．令，解得，當且僅當時取等號，即，當時，，當時，，所以當或，最大.【變式】1．（2023·福建廈門·廈門外國語學校校考模擬預測）某學校有兩家餐廳，王同學第一天午餐時隨機的選擇一家餐廳用餐.如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.6；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.8.(1)計算王同學第二天去餐廳用餐的概率；(2)王同學某次在餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點心，種中式點心，王同學從這些點心中選擇3種點心，記選擇西式點心的種數為，求的最大值，并求此時的值.【答案】(1)0.7(2)或10時，有最大值為【解析】（1）設“第一天去餐廳用餐”，“第一天去餐廳用餐”，“第二天去A餐廳用餐”，根據題意得，由全概率公式，得：，所以，王同學第二天去A餐廳用餐的概率為0.7.（2）由題意，的可能取值有：0，1，2，3，由超幾何分布可知，令，若最大，則，即，解得，又∵，所以，易知當和時，的值相等，所以當或10時，有最大值為，即當的值為9或10時，使得最大.2．（2023·貴州貴陽·校聯考三模）為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP”，參加各種學習活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網絡隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據得分情況獲得相應名次，從而得到相應的學習積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學習積分.經統計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數學期望；(2)若小明每天賽完20局，設小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？【答案】(1)分布列答案見解析，數學期望：(2)在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大【解析】（1）記事件表示第一局獲得分，事件表示第二局獲得分，這些事件相互獨立，由條件知的可能值為5，4，3，2.；；；.則其分布列為5432所以.（2）設小明每天贏得的局數為，則易知，于是.假設贏得局的概率最大，則據條件得，即，整理得，解之得，又因為，所以，因此在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大.3．（2023·河南·校聯考模擬預測）網絡直播帶貨作為一種新型的銷售土特產的方式，受到社會各界的追捧.湖北某地盛產夏橙，為幫助當地農民銷售夏橙，當地政府邀請了甲、乙兩名網紅在某天通過直播帶貨銷售夏橙.現對某時間段100名觀看直播后選擇在甲、乙兩名網紅的直播間（以下簡稱甲直播間、乙直播間）購買夏橙的情況進行調查（假定每人只在一個直播間購買夏橙），得到如下數據：網民類型在直播間購買夏橙的情況合計在甲直播間購買在乙直播間購買男網民50555女網民301545合計8020100(1)依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為網民選擇在甲、乙直播間購買夏橙與性別有關聯？(2)網民黃蓉上午、下午均從甲、乙兩個直播間中選擇其中一個購買夏橙，且上午在甲直播間購買夏橙的概率為.若上午選擇在甲直播間購買夏橙，則下午選擇在甲直播間購買夏橙的概率為；若上午選擇在乙直播間購買夏橙，則下午選擇在甲直播間購買夏橙的概率為，求黃蓉下午選擇在乙直播間購買夏橙的概率；(3)用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若共有50008名網民在甲、乙