第1頁（共1頁）2024年湖南省長沙市望城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項，本大共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列實數(shù)是無理數(shù)的是（）A． B． C．28 D．3.142．（3分）如圖所示是第19屆杭州亞運會的運動圖標，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列計算正確的是（）A．（xy）2＝xy2 B．x2?x3＝x6 C．（x2）3＝x5 D．x5÷x3＝x24．（3分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．3，4，7 B．6，7，12 C．6，7，14 D．3，4，85．（3分）著名的數(shù)學(xué)蘇步青被譽為“數(shù)學(xué)大王”．為紀念其卓越貢獻，國際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇步青星”，數(shù)據(jù)218000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.218×109 B．2.18×108 C．2.18×109 D．218×1066．（3分）如圖，AB∥DE，點B，C，若∠BCE＝55°，∠E＝25°（）A．55° B．30° C．25° D．20°7．（3分）射擊比賽中，某隊員10次射擊成績?nèi)鐖D所示，則該隊員成績（單位：環(huán)）（）A．2 B．8 C．8.5 D．98．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）A． B． C． D．9．（3分）在一次函數(shù)y＝（2m+2）x+4中，y隨x的增大而增大（）A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．﹣210．（3分）不透明的盒子放有三張大小、形狀及質(zhì)地相同的卡片，卡片上分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩，卡片上詩的作者都是李白的概率是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）分解因式：a2﹣＝．12．（3分）若一組數(shù)據(jù)3，4，3，6，7的眾數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．13．（3分）已知：如圖所示，邊長為6的等邊△ABC，以BC邊所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則A點坐標為．14．（3分）如圖，P是反比例函數(shù)的圖象上任意一點，垂足為M，若△POM的面積等于4．15．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，且AB＝10cm，CD＝8cm，連接OCcm．16．（3分）為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，小華采用了如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的直角三角板和一個刻度尺，進而求得鐵環(huán)的半徑，若測得AB＝10cm．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題，每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25小題每小題6分，共72分）17．（6分）計算：．18．（6分）先化簡，再求值：（﹣2ab+3a2）﹣2b2﹣（a2﹣2ab），其中a＝1，b＝﹣2．19．（6分）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為AC＝15km，停靠站A、B之間的距離為AB＝25km，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處（1）請判斷△ABC的形狀？（2）求修建的公路CD的長．20．（8分）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了“書香校園”的讀書活動，活動中（A：藝術(shù)類，B：科技類，C：文學(xué)類，D：體育類）的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽取若干名學(xué)生（每個被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能在這四種類型中選擇一項）將數(shù)據(jù)進行整理并繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．（1）這次調(diào)查中，一共調(diào)查了名學(xué)生；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“D”部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為度；并補全條形統(tǒng)計圖．（3）若全校有4800名學(xué)生，請估計喜歡B（科技類）的學(xué)生有多少名？21．（8分）如圖，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD與CE交于點O．（1）求證：△COD≌△BOE；（2）若CD＝2，AE＝5，求AC的長．22．（9分）為進一步落實“德智體美勞”五育并舉，某中學(xué)開展球類比賽，準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球．已知購買2個足球和1個籃球共需210元（1）足球和籃球的單價各多少元？（2）根據(jù)學(xué)校實際情況，需一次性購買足球和籃球共100個，且足球和籃球的總費用不超過7200元23．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一點，CD＝BC，過點D作DF⊥AC于點F（1）求證：四邊形DBCE是平行四邊形．（2）若BD＝6，，求DE的長．24．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連結(jié)MA交⊙O于點F，連結(jié)DF交AB于點G，BD，CF．（1）求證：△MAD∽△DAF．（2）若AD＝2BE，求tan∠AFD的值．（3）在（2）的條件下，設(shè)tan∠M＝x，①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；②若E為BG的中點，求的值．25．（10分）定義：在平面直角坐標系xOy中，當點N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，則稱點N為圖形M的“夢之點”．（1）如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在點N1（1，1），N2（2，2），N3（3，3）中，是矩形ABCD“夢之點”的是；（2）如圖②，已知點A，B是拋物線，點C是拋物線的頂點．連接AC，AB，判斷△ABC的形狀并說明理由．（3）在（2）的條件下，點P為拋物線上一點，是否存在點P、Q，使得以AB為對角線，求出P點坐標；若不存在

2024年湖南省長沙市望城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項，本大共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列實數(shù)是無理數(shù)的是（）A． B． C．28 D．3.14【解答】解：A．是分數(shù)，不符合題意；B．是無理數(shù)；C．28是整數(shù)，不符合題意；D．4.14是有限小數(shù)，不符合題意．故選：B．2．（3分）如圖所示是第19屆杭州亞運會的運動圖標，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：B，C，D選項中的圖形都不能找到一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合；A選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形．故選：A．3．（3分）下列計算正確的是（）A．（xy）2＝xy2 B．x2?x3＝x6 C．（x2）3＝x5 D．x5÷x3＝x2【解答】解：（xy）2＝x2y8，故選項A不合題意；x2?x3＝x2，故選項B不合題意；（x2）3＝x5，故選項C不合題意；x5÷x3＝x8，正確，故選項D符合題意．故選：D．4．（3分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．3，4，7 B．6，7，12 C．6，7，14 D．3，4，8【解答】解：A、∵3+4＝5，本選項不符合題意；B、∵6+7＞12，本選項符合題意；C、∵2+7＜14，本選項不符合題意；D、∵3+4＜8，本選項不符合題意；故選：B．5．（3分）著名的數(shù)學(xué)蘇步青被譽為“數(shù)學(xué)大王”．為紀念其卓越貢獻，國際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇步青星”，數(shù)據(jù)218000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.218×109 B．2.18×108 C．2.18×109 D．218×106【解答】解：218000000＝2.18×108．故選：B．6．（3分）如圖，AB∥DE，點B，C，若∠BCE＝55°，∠E＝25°（）A．55° B．30° C．25° D．20°【解答】解：∵∠BCE＝55°，∠E＝25°，∴∠D＝∠BCE﹣∠E＝55°﹣25°＝30°，∵AB∥DE，∴∠B＝∠D，∴∠B＝30°，故選：B．7．（3分）射擊比賽中，某隊員10次射擊成績?nèi)鐖D所示，則該隊員成績（單位：環(huán)）（）A．2 B．8 C．8.5 D．9【解答】解：由條形統(tǒng)計圖可得該隊員10次射擊成績（單位：環(huán)）為：6，7，5，8，9，6，9，9，10，∴該隊員成績（單位：環(huán)）的中位數(shù)為（5+9）÷2＝2．故選：D．8．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）A． B． C． D．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x≤2，∴不等式組的解集為﹣4＜x≤2，表示在數(shù)軸上如圖：故選：B．9．（3分）在一次函數(shù)y＝（2m+2）x+4中，y隨x的增大而增大（）A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．﹣2【解答】解：∵y隨x的增大而增大，∴2m+2＞7，∴m＞﹣1．故選：A．10．（3分）不透明的盒子放有三張大小、形狀及質(zhì)地相同的卡片，卡片上分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩，卡片上詩的作者都是李白的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：把分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩的卡片分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中卡片上詩的作者都是李白的結(jié)果有2種、BA，∴卡片上詩的作者都是李白的概率是＝，故選：A．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）分解因式：a2﹣＝（a+）（a﹣）．【解答】解：a2﹣＝（a+）．故答案為：（a+）（a﹣）．12．（3分）若一組數(shù)據(jù)3，4，3，6，7的眾數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4．【解答】解：將數(shù)據(jù)3，4，6，6，7排序后處在第2位的數(shù)是4．故答案為：4．13．（3分）已知：如圖所示，邊長為6的等邊△ABC，以BC邊所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則A點坐標為（3，3）．【解答】解：過A作AD⊥BC，∵BC＝6，等邊三角形ABC，∴AD＝3，∴點A的坐標為（3，3），故答案為：（3，3）14．（3分）如圖，P是反比例函數(shù)的圖象上任意一點，垂足為M，若△POM的面積等于4﹣8．【解答】解：根據(jù)題意可知：S△PMO＝|k|＝6．又∵反比例函數(shù)的圖象位于第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣8．故答案為：﹣8．15．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，且AB＝10cm，CD＝8cm，連接OC2cm．【解答】解：∵弦CD⊥AB，CD＝8cm，∴CE＝CD＝4cm，在Rt△OEC中，OC＝，∴OE＝＝4cm，∴BE＝OB﹣OE＝2（cm），故答案為：2．16．（3分）為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，小華采用了如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的直角三角板和一個刻度尺，進而求得鐵環(huán)的半徑，若測得AB＝10cm10cm．【解答】解：如圖所示：連接OB，OC，∵AB為圓O的切線，∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，又AC為圓O的切線，∴OC⊥AC，即∠OCA＝90°，在Rt△ADE中，∠E＝30°，∴∠EAD＝60°，∠BAC＝120°，∵AC及AB為圓O的切線，∴OA為∠BOC的平分線，則∠BAO＝∠OAC，可得∠BOA＝∠COA，又∠OBA＝∠OCA＝90°，∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，在Rt△OBA中，∠OBA＝90°，AB＝10cm，∴tan60°＝，即＝，則圓的半徑OB＝10cm．故答案為：10cm三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題，每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25小題每小題6分，共72分）17．（6分）計算：．【解答】解：原式＝+2+6﹣＝3．18．（6分）先化簡，再求值：（﹣2ab+3a2）﹣2b2﹣（a2﹣2ab），其中a＝1，b＝﹣2．【解答】解：（﹣2ab+3a6）﹣2b2﹣（a3﹣2ab）＝﹣2ab+5a2﹣2b4﹣a2+2ab＝2a2﹣2b4；當a＝1，b＝﹣2時，原式＝5×12﹣4×（﹣2）2＝2﹣8＝﹣6．19．（6分）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為AC＝15km，停靠站A、B之間的距離為AB＝25km，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處（1）請判斷△ABC的形狀？（2）求修建的公路CD的長．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．∵AC＝15km，BC＝20km，152+202＝253，∴AC2+BC2＝AB8，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB?CD＝，∴CD＝＝＝12（km）．答：修建的公路CD的長是12km．20．（8分）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了“書香校園”的讀書活動，活動中（A：藝術(shù)類，B：科技類，C：文學(xué)類，D：體育類）的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽取若干名學(xué)生（每個被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能在這四種類型中選擇一項）將數(shù)據(jù)進行整理并繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．（1）這次調(diào)查中，一共調(diào)查了200名學(xué)生；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“D”部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為54度；并補全條形統(tǒng)計圖．（3）若全校有4800名學(xué)生，請估計喜歡B（科技類）的學(xué)生有多少名？【解答】解：（1）40÷20%＝200（名），故答案為：200；（2）D所占百分比為×100%＝15%，扇形統(tǒng)計圖中“D”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×15%＝54°，C的人數(shù)是：200×30%＝60（名），補圖如下：故答案為：54；（3）4800×＝1680（名），答：估計喜歡B（科技類）的學(xué)生有1680名．21．（8分）如圖，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD與CE交于點O．（1）求證：△COD≌△BOE；（2）若CD＝2，AE＝5，求AC的長．【解答】（1）證明：在△COD和△BOE中，，∴△COD≌△BOE（AAS）；（2）解：∵△COD≌△BOE，∴OC＝OB，OD＝OE，∴OC+OE＝OB+OD，即CE＝BD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（AAS），∴AE＝AD＝5，∵CD＝2，∴AC＝AD+CD＝6．22．（9分）為進一步落實“德智體美勞”五育并舉，某中學(xué)開展球類比賽，準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球．已知購買2個足球和1個籃球共需210元（1）足球和籃球的單價各多少元？（2）根據(jù)學(xué)校實際情況，需一次性購買足球和籃球共100個，且足球和籃球的總費用不超過7200元【解答】解：設(shè)足球的單價為x元、籃球的單價為y元，根據(jù)題意可得：，解得：，答：足球的單價60x元、籃球的單價為90元，（2）設(shè)學(xué)校最多可以購買m個籃球，則買（100﹣m）個足球，90m+60（100﹣m）≤7200，解得：m≤40，∴學(xué)校最多可以購買40個籃球，．23．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一點，CD＝BC，過點D作DF⊥AC于點F（1）求證：四邊形DBCE是平行四邊形．（2）若BD＝6，，求DE的長．【解答】（1）證明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠C＝90o，∴∠DFA＝∠C，∴BC∥DF，∵CE∥AB，∴四邊形BDCE是平行四邊形；（2）解：∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE，∵四邊形BDCE是平行四邊形，∴CE＝BD＝6，∵，∴，∴EF＝8，設(shè)CD＝DE＝BC＝x，則DF＝x﹣2，∵CD2﹣DF4＝CE2﹣EF2，∴x6﹣（x﹣2）2＝32，解得x＝6，∴DE＝9．24．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連結(jié)MA交⊙O于點F，連結(jié)DF交AB于點G，BD，CF．（1）求證：△MAD∽△DAF．（2）若AD＝2BE，求tan∠AFD的值．（3）在（2）的條件下，設(shè)tan∠M＝x，①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；②若E為BG的中點，求的值．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∴，∴∠AFD＝∠ADC，∵∠FAD＝∠DAM，∴△MAD∽△DAF；（2）解：∵AD＝2BE，∴設(shè)BE＝a，則AD＝8a．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵CD⊥AB，∴△AED∽△ADB，∴．∴，∴AB＝8a．∴AE＝AB﹣BE＝4a，∴DE＝＝2a．∴tan∠ADC＝＝2．由（1）知：∠AFD＝∠ADC，∴tan∠AFD＝tan∠ADC＝2；（3）解：①過點G作GH⊥AD于點H，如圖，則tan∠ADF＝．由（1）知：△MAD∽△DAF，∴∠M＝∠ADF，∵tan∠M＝x，∴tan∠ADF＝＝x，∴GH＝xHD．∵tan∠EAD＝，∴tan∠AFD＝＝．設(shè)GH＝m，則AH＝2m，∴AG＝＝m．∴xHD＝m，∴HD＝．∵GH⊥AD，AD⊥BD，∴GH∥BD，∴，∴y＝4x．②過點A作AK⊥DF于點K，過點C作CN⊥DF于點N，∵E為BG的中點，DE⊥BG，∴DE垂直平分BG，BE＝EG＝a，∴AG＝AB﹣BE＝EG＝3a，DG＝＝a．∵AB是⊙