2013高考數(shù)學備考訓練-不等關系一、選擇題1．(2010·江西卷，文)對于實數(shù)a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由ac2>bc2?a>b，但由a>b推不出ac2>bc2，故選B.2.設a>b>0，下列各數(shù)小于1的是()A．2a－bB．(eq\f(a,b))eq\f(1,2)C．(eq\f(a,b))a－bD．(eq\f(b,a))a－b答案D解析y＝ax(a>0且a≠1)．當a>1，x>0時，y>1，當0<a<1，x>0時，0<y<1.∵a>b>0，∴a－b>0，eq\f(a,b)>1,0<eq\f(b,a)<1由指數(shù)函數(shù)性質知，D成立．3．若a、b∈R，下列命題中①若|a|＞b，則a2＞b2；②若a2＞b2，則|a|＞b；③若a＞|b|，則a2＞b2；④若a2＞b2，則a＞|b|正確的是()A．①和③B．①和④C．②和③D．②和④答案C解析條件|a|＞b，不能保證b是正數(shù)條件a＞|b|可保證a是正數(shù)故①不正確，③正確a2＞b2?|a|＞|b|≥b，故②正確④不正確4．(2011·滄州七校聯(lián)考)若a>1,0<b<1，則下列不等式中正確的是()A．ab<1B．ba>1C．logab<0D．logba>0答案C解析特殊值法：令a＝2，b＝eq\f(1,2)，則只有C成立．5．已知0<a<b，且a＋b＝1，下列不等式成立的是()A．log2a>0B．2a－C．2ab>2D．log2(ab)<－2答案D解析由已知，0<a<1,0<b<1，a－b<0,0<ab<eq\f(1,4)，log2(ab)<－2，故選D.6．若a>b>c，a＋2b＋3cA．ab>acB．ac>bcC．ab>bcD．a|b|>c|b|答案A7．設0<b<a<1，則下列不等式成立的是()A．ab<b2<1B．logeq\f(1,2)b<logeq\f(1,2)a<0C．2b<2a<2D．a2<ab答案C解析解法一特值法．取b＝eq\f(1,4)，a＝eq\f(1,2).解法二0<b<a?b2<ab，A不對；y＝logeq\f(1,2)x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴l(xiāng)ogeq\f(1,2)b>logeq\f(1,2)a，B不對；a>b>0?a2>ab，D不對，故選C.二、填空題8．若1<α<3，－4<β<2，則α－|β|的取值范圍是______．答案(－3,3)解析－4<β<2?－4<－|β|≤0，－3<α－|β|<3.9．已知a＋b>0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關系是________．答案eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)解析eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0，∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).10．若loga(a2＋1)<loga2a<0，則a答案eq\f(1,2)<a<1解析∵a2＋1>2a，loga(a2＋1)<loga2a∴0<a<1∵loga(2a)<loga1∴2a>1∴a>eq\f(1,2)∴eq\f(1,2)<a<111．下列命題為真的是____________．①若a>b，則algeq\f(1,2)>blgeq\f(1,2)②若a>b>0，c>d>0，則a2－eq\r(d)>b2－eq\r(c)③若a>b,且a、b∈R，則(eq\f(1,3))a<(eq\f(1,3))b④若a∈[－π，eq\f(2π,3)]，則1－sinα>0答案②③解析lgeq\f(1,2)<0，①是錯誤的，a>b>0，a2>b2，c>d>0，eq\r(c)>eq\r(d)>0，－eq\r(c)<－eq\r(d)，a2－eq\r(d)>b2－eq\r(c).②正確．y＝(eq\f(1,3))x是減函數(shù)，a>b，則(eq\f(1,3))a<(eq\f(1,3))b.③正確．④中α＝eq\f(π,2)時1－sinα＝0，不正確．12．一個棱長為2的正方體的上底面有一點A，下底面有一點B，則A、B兩點間的距離d滿足的不等式為________．答案2≤d≤2eq\r(3)13．(2010·上海春季高考改編)若a>1，b<1，則下列兩式的大小關系為ab＋1____a＋b.答案<解析(ab＋1)－(a＋b)＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)∵a>1，b<1，∴1－a<0,1－b>0∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋1<a＋b三、解答題14．已知a>0且a≠1，比較loga(a3＋1)和loga(a2＋1)的大?。馕霎攁>1時，a3>a2，a3＋1>a2＋1.又logax為增函數(shù)，所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)；當0<a<1時，a3<a2，a3＋1<a2＋1又logax為減函數(shù)所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)綜上，對a>0且a≠1，總有l(wèi)oga(a3＋1)>loga(a2＋1)15．已知m∈R，a>b>1，f(x)＝eq\f(mx,x－1)，試比較f(a)與f(b)的大小．解析f(x)＝eq\f(mx,x－1)＝m(1＋eq\f(1,x－1))，所以f(a)＝m(1＋eq\f(1,a－1))，f(b)＝m(1＋eq\f(1,b－1))．由a>b>1，知a－1>b－1>0，所以1＋eq\f(1,a－1)<1＋eq\f(1,b－1).①當m>0時，m(1＋eq\f(1,a－1))<m(1＋eq\f(1,b－1))，即f(a)<f(b)；②當m＝0時，m(1＋eq\f(1,a－1))＝m(1＋eq\f(1,b－1))，即f(a)＝f(b)；③當m<0時，m(1＋eq\f(1,a－1))>m(1＋eq\f(1,b－1))，即f(a)>f(b)．1．(2010·江蘇卷，理)設x，y為實數(shù)，滿足3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，則eq\f(x3,y4)的最大值是________．答案27解析由題設知，實數(shù)x，y均為正實數(shù)，則條件可化為lg3≤lgx＋2lgy≤lg8，lg4≤2lgx－lgy≤lg9，令lgx＝a，lgy＝b，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg3≤a＋2b≤3lg2,2lg2≤2a－b≤2lg3))，又設t＝eq\f(x3,y4)，則lgt＝3lgx－4lgy＝3a－4b，令3a－4b＝m(a＋2b)＋n(2a－b)，解得m＝－1，n＝2，即lgt＝－(a＋2b)＋2(2a－b)≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴eq\f(x3,y4)的最大值是27.另解：將4≤eq\f(x2,y)≤9兩邊分別平方得，16≤eq\f(x4,y2)≤81，①又由3≤xy2≤8可得，eq\f(1,8)≤eq\f(1,xy2)≤eq\f(1,3)，②由①×②得，2≤eq\f(x3,y4)≤27，即eq\f(x3,y4)的最大值是27.2．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為________．答案4解析解法一設等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有4a1＋eq\f(4×3,2)d≥10，即2a1＋3d≥5；5a1＋eq\f(5×4,2)d≤15，即a1＋2d≤3，注意到a4＝a1＋3d＝－(2a1＋3d)＋3(a1＋2d)≤－5＋3×3＝4，因此a4的最大值為4.解法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4≥10，,S5≤15))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d≥10,5a1＋10d≤15))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs