2020-2021學年上學期宣化一中高二年級月考數學試卷（1月份）一、選擇題（本大題共8小題，共40.0分）過點P(-2,m)和Q(m,4)的直線斜率等于1，那么m的值等于(????)A.1或3 B.4 C.1 D.1或4向量a=(2,1，x)，b=(2,y，-1)，若|a|=5，且aA.-1 B.1 C.-4 D.4在等差數列{an}中，若Sn為前n項和，2a7A.55 B.11 C.50 D.60位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為h，跨徑為a，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為(????)A.a28h B.a24h C.a在公差不為零的等差數列{an}中，a1，a3，a7依次成等比數列，前7項和為35，則數列A.n B.n+1 C.2n-1 D.2n+1已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2A.x24-y212=1 B.點P是直線x+y-3=0上的動點，由點P向圓O：x2+y2A.22 B.322 C.2已知F1、F2是兩個定點，點P是以F1和F2為公共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點，并且PF1⊥PFA.e12+e22=2 B.二、不定項選擇題（本大題共4小題，共20.0分）下列說法正確的是(????)A.過點(x1,y1)，(x2,y2)兩點的直線方程為y-y1y2-y1=x-x1x在遞增的等比數列{an}中，Sn是數列{an}的前nA.q=1 B.數列{Sn+2}是等比數列

C.S8=510 D.如圖，設E，F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DCA.三棱錐D1-B1EF的體積為定值

B.異面直線D1B1與EF所成的角為60°

C.D1B1發現土星衛星的天文學家喬凡尼卡西尼對把卵形線描繪成軌道有興趣．像笛卡爾卵形線一樣，笛卡爾卵形線的作法也是基于對橢圓的針線作法作修改，從而產生更多的卵形曲線．卡西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點到兩定點(焦點)的距離之積為常數．已知：曲線C是平面內與兩個定點F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數A.曲線C過坐標原點

B.曲線C關于坐標原點對稱

C.曲線C關于坐標軸對稱

D.若點在曲線C上，則△F1三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）在等差數列{an}中，a1+a4+a7=39，a已知拋物線y2=4x上一點P到準線的距離為d1，到直線l：4x-3y+16=0為d2，則d1數列{an}的前n項和為sn=n2已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l：x-y+10=0上．若動圓C過點(-5,0)，求圓C的方程______，存在正實數r=______，使得動圓C中滿足與圓O：x2+y四、解答題（本大題共6小題，共72.0分）已知直線l1：ax+2y+1=0，直線l2：x-y+a=0．

(1)若直線l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐標；

(2)若直線l1//l2，求a的值及直線l1與已知拋物線C：y2=2px(p>0)上的點M(1,m)到其焦點F的距離為2．

(1)求C的方程；并求其焦點坐標；

(2)過點(2,0)且斜率為1的直線l交拋物線于A，B兩點，求弦AB的長．

已知{an}是各項均為正數的等比數列，a1=2，a3=2a2+16．

(1)求{an}的通項公式；

(2)從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業．根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少15.本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加14．

(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業總收入為bn萬元．寫出an，bn的表達式；

(2)至少經過幾年旅游業的總收入才能超過總投入？

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，E為BP的中點，AB=2，PA=AD=CD=1．

(1)證明：EC//平面PAD；

(2)求二面角E-AC-P的正弦值．

已知O為坐標原點，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，|F1F2|=2，P為橢圓的上頂點，以P為圓心且過F1，F2的圓與直線x=-2相切．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知直線l交橢圓C于M，N兩點；

(ⅰ)若直線l的斜率等于1，求2020-2021學年上學期宣化一中高二年級月考數學試卷（1月份）答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵過點P(-2,m)和Q(m,4)的直線斜率等于1，

∴k=4-mm+2=1，

解得m=1．

故選：C．

利用直線的斜率公式求解．

本題考查直線的斜率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意直線斜率計算公式的合理運用．

2.【解析】解：向量a=(2,1，x)，若|a|=5，

則22+12+x2=5，解得x=0；

又向量b=(2,y，-1)，且a⊥b，

則a?b=4+y+0=0，解得y=-4；

所以x+y=-4．

故選：C．

根據【解析】【分析】

本題考查了等差數列的性質和求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．

利用等差數列的性質與求和公式即可得出．

【解答】

解：由等差數列{an}的性質可得：a6=2a7-a8=5，

則【解析】【試題解析】解：根據題意，以橋頂為坐標原點，橋形的對稱軸為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，

該拋物線方程可寫為x2=-2py(p>0)．

∵該拋物線經過點(a2,-h)，代入拋物線方程可得

a24=2hp，

解得p=a28h．

∴橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離即為p=a28h．

5.【答案】B

【解析】解：由題意得，等差數列{an}中，a1，a3，a7依次成等比數列，

故a32=a1a7，

則(a1+2d)2=a1(a1+6d)，

故a1=2d，①

又數列7項和為35，

則7a【解析】【分析】

本題考查雙曲線的簡單性質，雙曲線的標準方程，考查計算能力，屬于基礎題．

根據題意，推出a，b關系，通過c=2，求解a，b，然后得到雙曲線的方程．

【解答】

解：∵雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，

△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，

∴c=2，

∵雙曲線的漸近線為y=±bax，

，

即b2a2=3，c2-a2a2=3，

解得a=1【解析】解：∵圓C：x2+y2=4，

∴圓心C(0,0)，半徑r=2．

由題意可知，

點P到圓C：x2+y2=4的切線長最小時，

CP⊥直線x+y-3=0．

∵圓心到直線的距離d=32，

∴切線長的最小值為：92-4=22．【解析】解：由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上

由雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=2m

①

由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a

②

又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2

③

①2+②2得|PF1|2+|PF2|【解析】解：對于A，當x1≠x2時，過點(x1,y1)，(x2,y2)的直線斜率為k=y2-y1x2-x1，

方程為y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)，整理得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，

當x1=x2時，過點(x1,y1)，(x2,y2)的直線方程是x=x1，即x-x1=0，

滿足(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，

∴過(x1,y1)，(x2,y【解析】解：由題意，根據等比中項的性質，可得

a2a3=a1a4=32>0，a2+a3=12>0，

故a2>0，a3>0．

根據根與系數的關系，可知

a2，a3是一元二次方程x2-12x+32=0的兩個根．

解得a2=4，a3=8，或a2=8，a3=4．

∵等比數列{an}是遞增數列，∴q>1．

∴a2=4，a3=8滿足題意．

∴q=2，a1=a2q=2.故選項A不正確．

an=a1?qn-1=2n．

【解析】解：如圖所示，

三棱錐D1-B1EF的體積為V=13S△D1EF?B1C1=13×12×2×2×1=23為定值，A正確；

EF//D1C1，∠B1D1C1是異面直線D1B1與EF所成的角，為45°，B錯誤；

D1B1與EF不垂直，由此知D1B1與平面B1EF不垂直，C錯誤；

在三棱錐D1B1DC中，設D1到平面DCB1的距離為h，

VB1-D1DC=VD1-DCB1，即有13×2×【解析】解：由題意設動點坐標為(x,y)，

則(x+1)2+y2?(x-1)2+y2=a2，

即[(x+1)2+y2]?[(x-1)2+y2]=a4，

若曲線C過坐標原點(0,0)，將點(0,0)代入曲線C的方程中可得a2=1與已知a>1矛盾，

故曲線C不過坐標原點，故A錯誤；

把方程中的x被-x代換，y被-y代換，方程不變，

故曲線C關于坐標原點對稱，故B正確；

因為把方程中的x被-x代換，方程不變，故此曲線關于y軸對稱，

把方程中的y被-y代換，方程不變，故此曲線關于x軸對稱，

故曲線C關于坐標軸對稱，故C正確；

若點P在曲線C上，則|P【解析】解：∵在等差數列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，

∴a4=13，a6=9，

∴a4+a6=22，又a4+a6=【解析】解：拋物線上的點P到準線的距離等于到焦點F的距離，

所以過焦點F作直線4x-3y+16=0的垂線，

則該點到直線的距離為d1+d2最小值，如圖所示；

由F(1,0)，直線4x-3y+16=0，

所以d1+d2=|4-0+16|42+(-3)2=4．

故答案為：【解析】解：a1=S1=1+1=2，

an=Sn-Sn-1

=(n2+1)-[(n-1)2+1]

=2n-1．

當n=1時，2n-1=1≠a1，

∴an=2,n=12n-1,n≥2．

【解析】解：依題意，可設動圓C的方程為：(x-a)2+(y-b)2=25，

其中圓心(a,b)滿足a-b+10=0．

又∵動圓過點(-5,0)，∴(-5-a)2+(0-b)2=25，

解方程組a-b+10=0(-5-a)2+(0-b)2=25，可得a=-10b=0或a=-5b=5，

故所求圓C的方程為：(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25，

又由圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d=|10|1+1=52，

則當滿足r+5=d時，即r=52-5時，

動圓C中有且僅有1個圓與圓O：x2+y2=r2相外切．

由已知先設原的標準方程，再由已知條件建立方程組即可求出圓的圓心，進而可以求解；然后再求出圓O的圓心到直線l的距離，利用直線與圓外切的圓只有一個可求出此時圓O的半徑，進而可以求解．

本題考查了求圓的方程以及直線和圓相切的問題，考查了學生的運算轉化能力，屬于基礎題．

17.【答案】解：(1)∵直線l1：ax+2y+1=0，直線l2：x-y+a=0，

當直線l1⊥l2時，a×1+2×(-1)=0，

解得a=2，

∴l1：【解析】(1)由垂直可得a×1+2×(-1)=0，解得a值可得直線的方程，聯立方程可解交點坐標；

(2)當直線l1//l2時，a1=2-1≠1a，解得a值可得直線的方程，由平行線間的距離公式可得答案．

本題考查直線的一般式方程及平行垂直關系，涉及平行線間的距離公式，屬基礎題．

18.【答案】解：(1)由拋物線的方程可得其準線方程為x=-p2，

由拋物線的性質可得拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，

所以1-(-p2)=2，解得p=2，

所以拋物線的方程為：y2=4x，焦點F(1,0)．

(2)由題意可得直線l的方程為：y=x-2，設A(x1,y1)【解析】【試題解析】

(1)由拋物線的方程可得其準線方程，再由拋物線的性質可得拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，起床p的值，進而求出拋物線的方程及焦點坐標；

(2)由題意可得直線l的方程，與拋物線聯立求出兩根之和及兩根之積，再由弦長公式可得弦AB的值．

本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的綜合及弦長公式的應用，屬于中檔題．

19.【答案】解：(1)設等比數列的公比為q，

由a1=2，a3=2a2+16，得2q2=4q+16，

即q2-2q-8=0，

解得q=-2(舍)或q=4．

∴an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1．

(2)【解析】本題考查等差數列與等比數列的通項公式及前n項和，考查對數的運算性質，屬于基礎題．

(1)設等比數列的公比，由已知列式求得公比，則通項公式可求；

(2)把(1)中求得的{an}的通項公式代入bn=log2an，得到bn，說明數列{bn}是等差數列，再由等差數列的前n項和公式求解．

20.【答案】解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1-15)萬元，第n年投入為800×(1-15)n-1萬元．

所以，n年內的總投入為

an=800+800×(1-15)+…+800×(1-15)n-1=k=1n800×(1-15)k-1

=4000×[1-(45)n]；

第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×(1+14)萬元，

第n年旅游業收入為400×(1+14)n-1萬元．

【解析】(1)依次寫出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，從而求出n年內的總投入量an，再由第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×(1+14)萬元，歸納出第n年旅游業收入為400×(1+14)n-1萬元．從而得出n年內的旅游業總收入bn．

(2)先設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由bn-an>0，解得n的取值范圍即可．

本小題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力．

21.【答案】解：(1)證明：如圖，取AP的中點F，連結EF，DF，

∵BE=PE，PF=AF，∴EF-//12AB，

∵直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，PA=AD=CD=1，

∴CD-//12AB，∴CD-//EF，∴四邊形EFDC是平行四邊形，

∴EC//FD，

∵DF?平面PAD，EC?平面PAD，∴EC//平面PAD．

(2)解：如圖，∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AP、AB、AD兩兩垂直，

以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

A(0,0，0)，P(