中學教資考試《數學學科》高頻考點

目錄

第一模塊數與代數........................................................................1

第一章方程...........................................................................1

第二章函數...........................................................................4

第三章不等式.........................................................................5

第二模塊圖形與幾何......................................................................6

第一章解析幾何.......................................................................6

第三模塊統計與概率......................................................................9

第一章統計...........................................................................9

第二章概率..........................................................................11

第四模塊高等數學.......................................................................16

第一章極限..........................................................................16

第二章導數與微分....................................................................20

第三章積分..........................................................................23

第四章空間解析幾何與向量代數.......................................................27

第五章多元函數微分..................................................................33

第六章級數..........................................................................35

第五模塊線性代數.......................................................................37

第一章行列式........................................................................37

第二章矩陣..........................................................................38

第三章線性空間與線性變換...........................................................41

第四章向量組的線性相關性...........................................................42

第五章線性方程組....................................................................44

第六章正交矩陣......................................................................46

第六模塊概率論與數理統計..............................................................47

第七模塊數學史.........................................................................50

第八模塊課程與教學論..................................................................53

第一章義務教育課標..................................................................53

第二章高中課標......................................................................56

第三章數學教學論....................................................................59

第四章案例分析......................................................................62

第五章教學設計......................................................................64

第一模塊數與代數

第一章方程

【高頻考點11二元一次方程組的解法

解二元一次方程組的基本思想是“消元”，即減少未知數的個數，使多元方程最終轉化為一元方程，

再解出未知數。

（1）代入消元法

將方程組中的一個方程的未知數用含有另一個未知數的代數式表示，并代入到另一個方程中去，這就

消去了一個未知數，得到一個解。

（2）加減消元法

利用等式的性質，使方程組中兩個方程中的某一個未知數的系數的絕對值相等，然后把兩個方程相加

（減），以消去這個未知數，使方程只含有一個未知數而得以求解。

【經典例題】

1.簡述二元一次方程組有哪些解法，并對其步驟進行簡單說明。

【參考答案】

①代入消元法；

用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：

（1）在方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程變形，用含一個未知數的代數式表示另一個

未知數；（2）將這個關系式代入另一個方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；（3）解這個一

元一次方程，求得一個未知數的值：（4）將這個求得的未知數的值再代入關系式，求出另一個未知數的值；

（5）寫出方程組的解。

②加減消元法

用加減法解二元一一次方程組的一般步驟：

（1）確定消元對象，并把它的系數化成相等或互為相反數的數：（2）把兩個方程的兩邊分別相加或

相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；（3）解這個一元一次方程，求得一個未知數的值；（4）

將這個求得的未知數的值代入原方程組中的任意一個方程，求出另一個未知數的值；（5）寫出方程組的解。

【高頻考點2】高次方程的解法

1.±1判根法

在一個一元高次方程中，如果各項系數之和等于0,則1是方程的根；如果偶次項系數之和等于奇次

項系數之和，則-1是方程的根。求出方程的±1的根后，將原高次方程用因式分解法分別除以（X-I）或（x+l）,

1

降低方程次數后依次求根。

注：常數項算在偶次項系數當中。

2.常數項約數求根法

根據定理：“如果整系數多項式α∕"+%τx"'+…+qx+α。可分解出因式「X-。，即方程

。,了'+。1￡1+―+。/+即=0有有理數根多(尸、。是互質整數)，那么，P一定是首項系數對的約數，

。一定是常數項4的約數”。常數項約數求根法有兩種類型：第一種類型：首項系數為1。對首項(最高

次數項)系數為1的高次方程，直接列出常數項所有約數，代入原方程逐一驗算，使方程值為零的約數，

就是方程的根。依次用原方程除以帶根的因式，逐次降次，直至將高次方程降為二次或一次方程求解；第

二種類型：首項系數不為K對首項系數不為1的高次方程，首先以首項系數為“公因數”提取到小括號

外，然后對小括號內的方程的常數項列出公約數。特別注意此時代入方程驗算的值一定是?而不是。，因

為此時原方程的因式是網-Q,其余的解法步驟同首項系數為1的解法步驟相同。

3.倒數方程求根法

定義:系數成首尾等距離的對稱形式的方程，叫做倒數方程。如：αx4+川+ex?+公+e=0,其中，a=e,

b=d或者a=-e,b=-d。

性質1：倒數方程沒有零根；

性質2：如果。是方程的根，則上也是方程的根；

a

性質3：奇數次倒數方程必有一個根是-1或者1,分解出因式(X-I)或(X+1),降低一個次數后的方程

仍是倒數方程。

【經典例題】

1.求解方程12X4-56X3÷89χ2-56x+12=0的實數根。

321

【答案】XA=-fX2=—yX3=2,X4=—

【解析】原方程化為1214+1)-56儼+，+89》2=0,顯然，上述方程中x≠0,兩邊除以∕≠o得

12^X2+4)—56(%+，)+89=0ox+-=y,則/+-!^=(χ+?l)-2=j?一2,代入上面方程得

2

12(√-2)-56y+89=0,BP12y-56y+65=0,即(6y-13)(2y—5)=0,/.??=y,y2=10由M=V得

2

I1a32515

,=x1

x+-=,即(2x—3)(3x-2)=0,..x1=?,x2y°由歹2=5得*^———>即2』—5x+2=O,即

1321

(x—2)(2X-I)=O巧=2,x4=-o故原方程的根為W=],/當=2,X4=5。

2.解方程4X4-18X3+28X2-18X+4=0的實數根。

【答案】1；22

2

【解析】由題意可知xW0,原方程化為T+28X--18*+4=0,可得_18x+28-更+3=O,

XXX

則4i+I1-18(x+」]+28=0,令x+L=/,x2+-^-=t2-2,則4(*-2)-18/+28=0,化簡得

4/—18/+20=0,解得α=2,t2=—o當/=2時，X+—=2,則/—2x+l=0,解得西=/=1;當Z=*

2X2

2

時，X+'=*,2x-5x+2=O,解得巧=2,x4=-o故原方程的解為1；2」。

%23422

【高頻考點3】絕對值方程

L定義：絕對值符號中含有未知數的方程叫做絕對值方程。

2.解題步驟：去掉絕對值符號，把絕對值方程轉化為一般的方程來解。

3.不同類型絕對值方程的解法：

(1)形如何+b∣=c(α≠O)的絕對值方程的解法：

①當c<0時，根據絕對值的非負性，可知此時方程無解；

②當C=O時，原方程變為IaX+b∣=0,即〃x+b=O,W?Wx=--;

③當c>0時，原方程變為QX+b=C或QX+b=-c,解得X=-~~■或X='--o

aa

(2)形如?ax+b?=cx+d(ac≠0)的絕對值方程的解法：

①根據絕對值的非負性可知cx+c∕≥O,求出X的取值范圍；

②根據絕對值的定義將原方程化為兩個方程ox+6=ex+d和雙+6=-(CX+d)；

③分另Il解方程QX+力=cx+d和OX+b=—(CX+d)；

④將求得的解代入cx+d≥O檢驗，舍去不符合條件的解。

(3)形如IQX+"=?cx+d?^ac≠0)的絕對值方程的解法：

①根據絕對值的定義將原方程化為兩個方程ox+6=CX+d或ar+b=-(CX+d)；

②分別解方程QX+6=CX+c∕和or+ft=-(ex+J)o

3

(4)形如?x-a?+?x-h?=c(a<h)的絕對值方程的解法：

①根據絕對值的幾何意義可知：?x-a?+?x-h?≥?a-h?；

②當c<∣4-4時，，方程無解；當c=∣"b網，，方程的解為α≤x<Z?;當c>∣4一”時，分兩種情況：當

時，原方程的解為X="+'-C；當χ>z,時，原方程的解為χ="+''+c,

22

【經典例題】

1.方程∣x+5∣-∣3x-7∣=l的解有()個。

A.lB.2

C.3D.無數

【答案】B

7117

【解析】當x≥,時，原方程可化簡為x+5-3x+7=l,解得X=U符合題意；當-5<X<,時.，原方

323

T,

程可化簡為x+5+3x-7=l,解得x=±符合題意；當x≤-5時，原方程可化簡為r-5+3x-7=l,解得

4

ITI]H

X=-1,不符合題意；所以X的值為U或即方程的解有2個。故本題選B。

222

2.解絕對值方程卜-2|+卜+7∣=11。

【答案】x=-8或x=3

【解析】當X≤-7時，X—2<O,X+7≤O,原方程化為：(2-x)+(-x-7)=11,解得：x=-8；當-7<x≤2

時，x-2<0,x+7>0,原方程化為(2-x)+(x+7)=ll,該方程無解；當x>2時，x-2>0,x+7>0,

原方程化為(x-2)+(x+7)=ll,解得：χ=3o即原方程的解為X=-8或X=3。

第二章函數

【高頻考點】函數的單調性

在公共定義域內：

增函數/(x)+增函數g(x)是增函數；

減函數/(x)+減函數g(x)是減函數；

增函數/(X)-減函數g(x)是增函數；

減函數/(X)-增函數g(x)是減函數。

4

【經典例題】

1.設函數/(x),g(x)的定義域都為R,且/(x)是增函數，g(x)是減函數，則下列結論正確的是()0

A?∕(x)?g(x)是增函數BJ(X)?g(x)是減函數

Cj(X)-g(x)是增函數D.∕(x)+g(x)是減函數

【答案】C

【解析】根據單調性法則：①增函數+增函數=增函數；②減函數+減函數=減函數；③增函數-減函數

=增函數；④減函數-增函數=減函數。故本題選C。

2.設函數/(x)是定義在R上的增函數，則下列結論一定正確的是()。

A√(x)+/(τ)是偶函數且是增函數B.∕(x)+∕(τ)是偶函數且是減函數

CJ(X)-/(-x)是奇函數且是增函數D.∕(x)-∕(-x)是奇函數且是減函數

【答案】C

【解析】設F(X)=/(x)-∕(-x),?.?∕(x)是定義在R上的增函數，.??∕(-x)是定義在R上的減函數,

從而-y(τ)是定義在R上的增函數，,F(x)=/(x)_/(r)是在(_8,+8)上的增函數，?.?F(x)=∕(x)-

?(-?),.?.F(-x)=∕(-x)-∕(x),貝UF(x)=-F(-x),二函數F(X)為奇函數，且在(-8,+8)上的增函數。

故本題選Co

第三章不等式

【高頻考點】重要不等式

(1)設4、b是兩個正數，則空2稱為正數。、b的算術平均數，而稱為正數。、b的幾何平均數。

2

(2)均值不等式：若α>0,?>0,則α+b≥2疝，即厘≥√^,當且僅當α=b時，"=”成立。

2

(3)常用的基本不等式：a2+b2≥2ab,ab≤^γ-;H≤(等J,且盧≥(等J。

【經典例題】

1.(1)已知x>0,y>0,z>0,證明：與+W+4?≥,+L+L.

XyzXyz

(2)已知α>l,ft>l,c>1,且QbC=8,Iog6a?Iog2a+Iogcb?Iog2b+Iogflc?Iog2c≥k

求實數%的最大值。

5

【答案】（1）證明見解析；（2）3

【解析】(1)證明：由χ>o,v>o,得斗+1≥2,庫工=2,即斗+L≥2,同理二+1≥2,W+L*2,

XyNXyXXyXyzyzxz

以上三式相力口，得斗+W+^+L+L+1≥2+2+乙（當且僅當x=y=z時取等號），故??+二+2

XyzyzXyzXxyz

≥L+L+1°成立。

Xyz

-lo-g-；--a十Jog；,b十,噫,C_log82十∣IogC2十、log。2

(2)IOgZ)a?log2a+logt.b?log2b+IOgaCIog2C根據

Iog2blog,clog,alog：2log；2log；2

11

ubw++++=log*,÷log/+logc=log2欣=log?'=3,所以，k<3,

?l?l?t?I?J?I22

故實數左的最大值為3。

2.證明不等式：a,b,c∈R,a4÷?4+c4≥abc(α+?÷c)?

【答案】見解析

44224422444222222

【解析】???/+/≥2",b+c≥2bc,c+a≥2ca9：.2(a+6+c)≥2(α?+bc+ca),

4442222222222122222

BPa+?+c≥ab+bc+cao又/b?+b/≥2ab%,bc+ca≥2abc,ab+ca≥2abe≡Λ

2^a2b2+b2c2+c2tz2)≥2{ab2c+abc2+a1be),KPa2b2+b1c2+c2tz2≥abc+A+c),/.d4+A4+c4≥

Qbe,(α+6+c)o

第二模塊圖形與幾何

第一章解析幾何

【高頻考點1】圓的方程

1.標準方程：（x-a）2+（?-6）2=r2,其中，（〃，h）——圓心，r——半徑。

2.一般方程：X2+y2+Dx+Ey+F=0,(θ2+E2-4尸>0)

DEDZ

-----9-----圓心，γ=^:1-?一半徑。

222

x=a+rcosθ,、L、W

3.參數方程:.,(ab)---圓l心，r----半徑r。

y=b-^-rsinθt

6

【經典例題】

若/,8兩點分另IJ在圓/+/-6x+16V-48=0和χ2+∕+4χ-8N-44=0上運動，則/,8兩點距

離的最大值是()。

A.13B.32

C.36D.38

【答案】B

【解析】本題考查圓上的動點問題。將圓V+∕-6x+16y-48=0化為標準方程，得

(X-3)2+(J^+8)2=121,所以該圓是以M(3,-8)為圓心,半徑q=11的圓。同理可得J+/+4x-8y-44=0

的圓心為N(-2,4),半徑4=8,所以兩圓的圓心距為Nl=J(3+2)2+(-8-4>=^,因為工、g兩點分

別在圓M、圓N上運動，所以當/、B在直線AW上，且M、N兩點在4、8之間時取最大值。此

時，1481.=^+^+1^5=11+8+13=32°故本題選B。

【高頻考點2】圓錐曲線

1.橢圓

χ2V2

(1)標準方程：^τ+?=l(a>6>0)

ab

(2)定義域：{x∣-α≤x≤α};值域：{y∣-b≤y≤6};

(3)長軸長2α,短軸長26,焦距2c,a2=b2+C2；

2

(4)準線方程：x=±<°

C

2.雙曲線

(1)標準方程：—7-~y=?(^>0,?>0);

(2)范圍：≤-α}；{y∣y∈R};

(3)實軸長2α,虛軸長26,焦距2c,c2=a2+b2；

(4)準線方程：x=±-yO

3.拋物線

(1)標準方程：y2=2px(p>0),P為焦參數；

⑵焦點：通徑MM=2p;

(3)準線：x=-E；

2

7

（4）焦半徑：∣^F∣=x1+?,過焦點弦長∣4δ∣=玉+々+p。

【經典例題】

已知拋物線y=1χ2,如圖，拋物線在點尸（X。，K））（Xo≠0）處的切線尸7與y軸交于點”,點光源放在

拋物線焦點尸（0,1）處，入射光線FP經拋物線反射后的光線為尸。，即NFPM=NQPT,求證：光線P。與

y軸平行。

【答案】（見解析

【解析】證明：如圖，因為/=gx,代入與可得k=g/，根據點斜式方程可得切線方程為y=半?X-手,

即當X=O時，y=Λχl=-y0,所以FN=為+1。過尸點做準線的垂線交于點E,設尸點切線方程交y軸

于M,即尸E〃歹軸，連接ME,因為PF=PE=M）+1,即可得PF=PE'=EW=%+1，所以在AFN尸中，

NFMP=NFPM,又因為尸E〃夕，所以NFMP=NMPE,由已知可知NFPM=NQP7,綜上可得

NMPE=NQPT,因此AP、。三點共線，故尸0平行于y軸。

8

第三模塊統計與概率

第一章統計

【高頻考點】統計學中的幾個基本概念

(一)平均數

一般地，如果有〃個數X],孫…X"，那么，了=L(Xl+X?+…+工")叫做這〃個數的平均數，亍讀作‘‘x拔"。

n

(二)中位數

L定義：將一組數據按大小順序依次排列，處在最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)

叫做這組數據的中位數。

2.中位數的算法：設樣本有〃個數據，按大小順序依次排列后，

(1)〃為奇數，第"?個數據為中位數；

2

(2)〃為偶數，第四與巴+1個數據的平均數為中位數。

22

3.特點：

(1)中位數僅與數據的排列位置有關，不受某些數據變動的影響；

(2)當一組數據中的個別數據變動較大時，中位數能較好的反映數據的集中趨勢。

(三)樣本方差

樣本中所有個體現，々，…，斗與樣本平均數斤的差的平方的平均數叫做樣本方差，用S?表示。方差反

映了一組數據的波動情況。方差越大，數據的波動越大，越不穩定；方差越小，數據的波動越小，越穩定。

2ΛX2

s=1[(x∣-X)^+(x2-X)^+...+(O-^)J

常用結論：

若”的平均數為于，貝的平均數為衣+。

x∣,x2,,XIJ(OXl+6),(αx2+?),,(OX“+6)6

【經典例題】

1.在一次高三年級統一考試中，數學試卷有一道滿分為10分的選做題，學生可以從48兩道題目中任

選一題作答。某校有900名高三學生參加了本次考試，為了了解該校學生解答該選做題的得分情況，計劃

從900名學生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本，為此將900名學生的選做題的成績隨機編號

為OO1,002,900?

(1)若采用隨機數法抽樣，并按照以下隨機數表，以方框內的數字5為起點，從左向右依次讀數，每

次讀取三位隨機數，一行數讀完之后接下一行左端寫出樣本編號的中位數。

9

052693706022358515139203515977

595678068352910570740797IO8823

099842996461716299150651291693

580577095151268785855487664754

733208111244959263162956242948

2699616553583778807042IO506742

321755857494446716941465526875

87593622412678630655130827Ol50

1529393943

（2）若采用分層隨機抽樣，按照學生選擇Z題目或8題目，將成績分為兩層，且樣本中選擇/題目的

成績有8個，平均數為7,方差為4；樣本中選擇8題目的成績有2個，平均數為8,方差為1。試用樣本

估計該校900名學生的選做題得分的平均數與方差。

【答案】（1）667；（2）平均數為7.2；方差為3.56

【解析】（1）由題意知：讀取的編號依次是512,916（超界）,935（超界）,805,770,951（超

界），512（重復），687,858,554,876,647,547,332。將有效的編號由小到大排序，得332,

512,547,554,647,687,770,805,858,876,樣本編號的中位數為竺上竺?=667。（2）

2

設樣本中選擇N題目的成績的平均數為亍，方差為S?;樣本中選擇8題目的成績的平均數為歹，方差為「，

則方=7,S2=4,歹=8,t2=?,.?.樣本的平均數為一?-于+〃-p=&x7+』x8=7.2,方差為

8+28+2"55

『yx[s2+（x-7,2）2][r+（＞_7.2『卜》[4+（7-7.2）2卜U[l+（8-7.2H=3.56。.?.該校900

名學生的選做題得分的平均數約為7.2,方差約為3.56。

2.甲、乙兩班參加了同一學科的考試，其中甲班50人，乙班40人，甲班的平均成績為80.5分，方差

為500；乙班的平均成績為85分，方差為360。那么甲、乙兩班全部90名學生的平均成績和方差分別是多

少？

【答案】平均分是82.5分，方差為442.78

【解析】設甲班50名學生的成績分別是q,出，…，牝。，那么甲班的平均成績、權重和方差分別為

麗=婦生t?=8O.5（分），WL"，J=8口OW依二XJ+…+儂。-J=500。設乙班

50490R50

10

40名學生的成績分別是件為…，b40,那么乙班的平均成績、權重和方差分別為,=）+:+…+%=85

‘分）‘明糕’SLT）FUr→（D=3600如果不知道…..…和

砧％只知道甲、乙兩班的平均成績、權重及方差，全部90名學生的平均成績應為

X=M??p+WILXL=×80.5+×85=82.5（分）。而全部90名學生的方差為s?=再[s備+品-可〔+

22

Wz,[?+（xz,-x）j?因此，52=%%,+（弓,_可2]+卬乙1方+任乙_亍）2]=I^X[500+（80.5-82.5）]+

40「………?2l50×500+50×4+40x360+40x6.25,“一

—×[360+（85-82.5）J=----------------------------------------------≈442.78。

第二章概率

【高頻考點1】古典概型

1.特點

（1）所有可能出現的基本事件為有限個:

（2）每個基本事件發生的可能性相等。

2.概率公式

（）=事件[包含的基本事件的個數=機

（所有基本事件的個數^7

【經典例題】

1.甲、乙、丙、丁4個足球隊參加比賽，假設每場比賽各隊取勝的概率相等，現任意將這4個隊分成

兩個組（每組兩個隊）進行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇的概率為（）。

【答案】D

【解析】根據題意，分兩種情況討論：①甲、乙在同一組：[=1；②甲乙不在同一組，但相遇的概

3

率：/?=-×l×l=lo則甲、乙相遇的概率為尸=1+1=1。故本題選D。

23226362

2.盒子中裝有編號為1-7的七個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的標號之積為偶數的概率為（）。

【答案】C

11

【解析】7個球選出編號之積為偶數，則有兩種情況，一種是從3個偶數中選擇兩個，概率為與=1,

C；7

另一種是從3個偶數中選擇一個‘4個奇數中選擇一個‘概率為C1吾C1=4,'則所求概率為1;+54=與5。故本

題選C。

【高頻考點2】條件概率

1.概念：對事件Z和8,在已知事件8發生的條件下，事件/發生的概率，稱為8發生時才發生的條

件概率，記為P(H8)。

2.概率公式：P",)=';;1,其中尸(8)>0。

【經典例題】

1.根據歷年氣象統計資料，某地四月份吹東風的概率為當下雨的概率為耳，既吹東風又下雨的概率

為三。則在吹東風的條件下下雨的概率為()。

98

-B-

1H

A.C

28

--

5D.9

【答案】D

【解析】設事件4表示“該地區四月份下雨”，8表示“四月份吹東風”，則尸(∕)=L11,P(B)=-O,

8

8

故

本選

P(ZB)=卷，從而吹東風的條件下下雨的概率為P(A?B)=:胃-30=-題D

99O

30

2.設M,N為隨機事件，P(N)>0,且條件概率P(MN)=1,則必有()?

A.P(Λ∕UN)>P(M)B.P(Λ∕UN)>P(N)

C.P(Λ∕UN)=PMD-P(MUN)=P(N)

【答案】C

【解析】由已知可得PwM=黑?

=1,所以P(MN)=P(N),所以P(MUN)=

P(M)+P(N)-P(MN)=P(M).故本題選C。

【高頻考點3】離散型隨機變量

12

L概念：對于隨機變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機

變量。

2.離散型隨機變量的分布列

設離散型隨機變量J可能的取值為不吃,…X,,…，J取每一個值x,(i=l,2,…)的概率為P(J=X,)=p,,

則隨機變量0≤p,≤1,i=1,2,…的概率分布(簡稱。的分布列)為：

???...

演X2Xi

…???

P4P2Pi

分布列具有如下性質：

(1)0<p.<1>z=L2,???；(2)pi+P2^—=1。

3.離散型隨機變量的期望(均值)：E(g)=p吊+p/?+…+P占+…

4.離散型隨機變量的方差：

。⑶=PGi-E(/Y+Pi&-￡C))2+…+P,(x,-E(?))^

【經典例題】

1.已知隨機變量J~N(2,4),則叫€+1]=()。

A.1B.2

C.0.5D.4

【答案】A

【解析】?.?J~N(2,4),.?.D⑷=4,.?.。(*+1]=[。團=1。故本題選人0

2.設X為隨機變量，且X?8(〃，p),若隨機變量X的數學期望E(X)=1,D(y)=∣,則P(X=2)

()O

旦D128

A.B.-----

3125625

C.—D.21

25625

【答案】B

【解析】由E(Ar)=1,f>(X)=g,貝,初(I-P)=*，解得〃=5,p=g,P(X=2)=CH-

[1一，丫=四。故本題選B。

(5)625

13

【高頻考點4】獨立事件

(-)相互獨立事件

1.概念：事件力的發生對事件8的發生沒有影響，同樣事件8的發生對事件/的發生也沒有影響，則

這兩個事件稱為相互獨立事件。

2.特征:如果事件止和8獨立,則尸(45)=P(Z)P(8)。

(二)獨立重復試驗

1.概念：一次試驗中，事件/發生的概率為p。相同條件下，獨立、重復進行了"次試驗，稱作〃次獨

立重復試驗。

2.概率公式：〃次獨立重復試驗中，事件力發生的次數記為g(<=O,l,…，〃)，則事件/恰好發生4次的

k

概率為:P(ξ=k)=CPYI-p)"'(0≤λ≤n)o

此時稱隨機變量J服從二項分布，記作J?8(〃，0)。

【經典例題】

1.甲、乙兩人向同一個目標射擊，擊中目標的概率分別為0.6、0.7。假定兩人同時射擊時擊中與否是相

互獨立的。若每人射擊一次，求：

(1)兩人都中靶的概率；

(2)甲中乙不中的概率；

(3)目標被擊中的概率。

【答案】(1)0.42(2)0.18(3)0.88

【解析】記事件/為“甲擊中目標”，事件3為“乙擊中目標”，則兩人都中靶記為ZB,甲中乙不

中記為Z7，目標被擊中記為C,由兩人同時射擊時擊中與否是相互獨立的可得：(1)尸(48)=尸(N)?尸(8)

=0.6x0.7=0.42；(2)P(^β)=P(^)?P(β)=0.6x0.3=0.18：(3)P(C)=1-P(^)?∕5(β)=l-0.4×0.3=0.88。

2.從1,2,3,4,5,6這六個數字中，每次任意取出一個數字，有放回地取兩次。設事件”為“第一

次取出的數字為4”，8為“兩次取出的數字之和等于7”。

(1)用合適的符號寫出樣本間；

(2)判斷力與8是否相互獨立。

【答案】(1)Ω={(z,y)∣∕,y=1,23,4,5,6)；(2)是

【解析】(1)用(i,力(i,)=1,2,3,4,5,6)表示有放回地取兩次數字所得的一個結果，則樣本空間為

Ω={(/,y)∣∕,y=1,2,3,4,5,6)；(2)由(1)知基本事件總數〃=36。又Z={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(45),(46)},

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8={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}?.?.P(J)=A=I,P(B)6、。而48=((4,3)}o.?.