2023-2024學年浙江省高二下學期5月聯考數學模擬試題

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

∕={x∣-2<x<3},8={Xl§>11

1.設集合〔x+1J,則NPlB=()

A.(-2,3)B.(-2,4]C.(-1,3)D.[-1,4]

【正確答案】C

【分析】先求出8集合的具體區間，再根據交集的求法求解.

5γ-4

【詳解】對于8集合，—-j≥l,即W<°，二一l<x<4,??.4∏8=(-1,3);

故選：C

7_1

2若復數Z滿足--=i≡,則Bl=()

?z+1

A.2B.2023C.√2023D.1

【正確答案】D

【分析】先利用虛數單位的性質化簡i2023,從而解方程，結合復數的四則運算求得z,再利用共輾復數的

定義與模的運算公式即可得解.

【詳解】因為j2023=j505×4*3=j3=T,

所以~-=i2023=—i,貝∣Jz—1=-i(z+1),即z—1=—zi—i,故(l+i)z=l-i,

z+1

則Z=Izi=(1一.=J2i+f=τ

1+i(l+i)(l-i)2

故Z,同=1,

故選：D.

3.己知(l-2x)"的展開式中含χ3項的系數是一160,則〃為()

A.5B.6C.7D.8

【正確答案】B

【分析】由二項展開式通項公式可得.

【詳解】由題意其展開式通項公式為(+i=C：(-2x)'=(-2)'CX,

r=3時，（-2）3C^=-160,由于〃是正整數，故解得〃=6,

故選：B.

4.1614年納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化計算而發明對數；1637年笛卡爾開始使用指數運算；

1707年歐拉發現了指數與對數的互逆關系.對數源于指數，對數的發明先于指數，這己成為歷史珍聞，若

e2'=2?5,lg2=0?3010,Ige=O.4343,估計X的值約為（）

A.0.2481B.0.3471C.0.4582D.0.7345

【正確答案】C

【分析】利用對數式與指數式的互化及換底公式即可求出X的近似值.

2x

【詳解】Ve=2.5,

,5

.?.2x=ln2.5=?^=^=^≡^-=1~2?2≈O.9164'

?geIgeIgeIge

所以Xao.4582.

故選：C.

5.己知心B均為單位向量且|萬+可=1,則之在B上的投影向量為（）

A.IB.-￡C,叵D..叵

2222

【正確答案】B

----1

【分析】根據向量的模長結合向量的數量積的運算律可得-5,進而求投影向量.

【詳解】由題意，可得的=M=1,

rr

歸+可=1,所以@+力『=r2rrr2

因為a+2a?b+b=2+24?b=l,

——1

解得Q?b=__

2

11?

a.brb_

所以彳在B上的投影向量為碼助

2

故選：B.

6.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中依次不放回地取2個數，事件A為“第一次取到的是偶數”，事件B為“第二次取

到的是3的整數倍”，則尸（H4）等于（)

11113

A.—C.—D.一

32454

【正確答案】A

【分析】根據條件概率的定義和古典概型計算.

【詳解】第一次取到的是偶數有：2,4,6,8,共有4x8=32種方法，在第一次是偶數的條件下,

第二次取到的是3的倍數共有(2,3),(2,6),(2,9),(4,3),(4,6),(4,9)(6,3),(6,9),(8,3),(8,6),(8⑼11

種方法，

11

.?.P(8∣∕)

32

故選：A.

41

7.已知Q=In-,6=e"n?c=sin------,則()

3%+1

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>b>a

【正確答案】A

【分析】運用縮放法和對數的計算規則求解.

【詳解】設/'(x)=x-sinx,(x>O),則/'(x)=l-COSX≥0,∕(x)單調遞增，

f(O)=0,Λf(x)>f(O)=0,x>sinx,c=sin—<-?-<?；

π+lπ+l4

ln

,-ln4∑117-r7f4V2564；4；1

b=e=e4=—=Ine4,又一=--->3>e,.?->e4,In—>lne4=-,

4UJ81334

即α>6>c；

故選：A.

8.在三棱錐/—8Cz)中，48,8C,80兩兩垂直，且Z5=8C=8O=4,半徑為1的球。在該三棱錐

內部且與面4BC、面4BD、面BCD均相切.若平面a與球O相切，則三棱錐A-BCD的外接球被平面a

所截得的截面面積的最小值為()

A.(8+2√3)τrB.(δ+2√3kC.(8-2@乃D.(6-2碼萬

【正確答案】C

【分析】先推出球的截面面積與球心距離的關系，再根據條件將三棱錐Z-BC。看作正方體的一部分,

求出外接球的球心和半徑，運用前面推出的關系求解.

【詳解】設截面圓與球心。I的距離為九球。1的半徑為R,截面圓的半徑為八則r=&2_"，

即〃越大，截面的面積越小：

由題意三棱錐A-BCD是正方體AEGF-BCHD的一部分，

其外接球的球心為正方體對角線/，的中點。I,

外接球的半徑R，則R="'+'+’=2√J,如下圖:

以BC為X軸，80為y軸，A4為Z軸建立坐標系，則O(1,1,1),O∣(2,2,2),

222

：.\OO\=λ∕(2-l)+(2-l)+(2-l)=√3，

o1到球o球面上最遠的點距離為〃=∣oo∣I+1=百+1,

此時以最遠點為切點的平面。截外接球01截面圓的半徑為

即截面面積的最小值為S=∕71=(8-2√J)兀；

故選：C.

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列命題正確的是()

A.“事件A與事件B相互獨立”是“事件A與事件B相互獨立”的充要條件

B.樣本空間。中的事件A與8,“P(Z)+P(B)=I”是“事件A與事件8對立”的必要條件

C.已知隨機變量X~若Q(3X-2)=12,則〃=4

D.已知隨機變量J~N(4,(√),且函數/(x)=P(X<4<x+4)為偶函數，則E(4)=2

【正確答案】ABD

【分析】根據概率論中相關的定義和公式逐項分析.

【詳解】對于A,4與8相互獨立即意味著Z的發生與8無關，所以，也與8無關，

同時N與8無關，則力也與8無關，所以是充分必要條件，正確；

對于B,因為樣本空間中只有N和8,并且/與8對立，所以尸(∕)+P(8)=l,

反之如果?(Z)+尸(8)=1,并且/=8,則4與B不是對立事件，即P(4)+P(8)=l是4與8對立

的必要條件，正確;

對于C,根據二項分布的公式有r>(X)=〃x；x(l—；)=￡〃,O(3X—2)=320(X)=2〃=12,〃=6,

錯誤；

對于D,根據偶函數的定義，有〃-X)=/(x),即

一Y-L-A-L-Y

P(-x<J<-x+4)=尸(x<J<x+4),.?.E(J)=μ=-----------=2,正確;

故選：ABD.

10.已知函數［(x)=J∑(sin2x+cos2x),下列說法正確的是()

A?令，［］是該函數的一個單調遞增區間

_OO_

B.函數/(尤)的圖象向右平移弓個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱

O

C.若|/(。)—/(b)∣=4,則Ia-4的最小值為二

D.若<υ>0,函數f(s)在θ,?上有且僅有三個零點，則oe

【正確答案】AD

【分析】/(x)=2sin［2x+:J,A選項，由正弦函數單調區間可判斷選項正誤；B選項，得到平移后的

函數解析式,后由正弦函數對稱軸可判斷選項；由|/(。)-/(酬=4,要使∣α一4最小，則可取α,b為〃尤)

相鄰的兩個最值點，據此可判斷選項正誤；D選項，設/(<υx)=g(x),由g⑼，g(外，結合/(oχ)在

π

0,-上有且僅有三個零點可得關于0的不等式，即可判斷選項正誤.

【詳解】/(x)=V^(Sin2x+cos2x)=2sin(2x+：,

(3吟(τι}/哈?(吟(itτι?、、

A選項，j———2sin----,f-=2Sin—,因y=2sinX在一三,一上單調遞增,

I8JI2)18)(2)\22)

則［稱,［］是該函數的一個單調遞增區間，故A正確；

OO

B選項，函數/(X)的圖象向右平移9個單位長度后的函數解析式為

O

IπIπJiJi"

y=2sin2X--+-=2sin2x,其對稱軸滿足2x=-+"=>x=-+?—,keZ,

V8J4J242

不包含y軸，故B錯誤;

C選項，若∣∕(4)-√■他)∣=4,要使卜―耳最小，可取α/為/(x)相鄰的兩個最值點，此時|a—4為/(x)

Tt

最小正周期的一半，即一，故C錯誤;

2

ππ、

D選項，設/(<υx)=2sin2ωx+-=g(x),則g(θ)=2sin—,g2sinπω+—,因

I442

JrJT

函數/(血)在0,7上有且僅有三個零點，貝!)3兀≤兀①+—<4π=>U≤ω<―,故D正確.

2444

故選：AD

11.已知x>y>O,下列不等式一定成立的有()

11

A.(x+y)2<2[x2+y2)B.-+—<

Xy

x+-!—+-^->3√2

C.2025ShΛ+2025C°A≥90D.

X-yx+y

【正確答案】ACD

【分析】運用基本不等式逐項分析.

【詳解】對于A,原不等式等價于/+/>2中,卜―y)2>o,χ>y,顯然成立,正確;

對于B,x>y>0,由基本不等式知：-+->2∣1-,錯誤;

Xyχy

對于c，2025sin2X+2025COS2X≥242025^^=242025=90-

當且僅當2025SiiX=2025COS2A,即si∏2x=cos2X=；時等號成立，正確;

對于D,?.?χ>y>0,由基本不等式知:

x+，+4128j≥∣×(2√2+2√8)=3√2,

=-χ-y+------+x+γ+-------

X-yx+y2X-y----------x÷γ

2

X-y=------

即=迫正時等號成立，正確;

當且僅當《?-?XV=

8

x+y=------22

x+y

故選：ACD.

12.定義在R上的函數/(x)滿足：/(2χ3+l)的圖象關于(0,2)對稱，/(4τ)=∕(x)+4(x-2),則

)

A./(x)+∕(2-x)=4

B.5是函數y=∕(χ)+2x-4的一個零點

C./⑵=O

2023(如、

DX∕(?)sin—=2024,其中優e')

【正確答案】ABD

【分析】利用換元法得出/(χ)的圖象關于點(1,2)對稱，/(1)=2,所以/(x)+∕(2-X)=4,直接判斷

A,然后用賦值法確定函數值判斷BC,得出/(1),/(5),/(9),…,/(4左—3),…成等差數列，

/(3)J(7)J(Il),…,/(4左一1),…成等差數列，公差為一8,計算后判斷D.

【詳解】設g(x)=/(2√+l),由題意g(χ)的圖象關于點(0,2)對稱，

所以g(x)+g(-x)=4,從而/(2d+1)+/(-2/+1)=4,令2χ3=/,則有/(l+f)+∕(l-f)=4,即

/(l+x)+∕(l-x)=4,所以/(χ)的圖象關于點(1,2)對稱，/(1)=2,

所以fM+/(2-x)=4,A正確；

又/(4-X)=∕(X)+4(X-2),4-/[2-(4-x)]=/(x)+4(x-2),f(x)+f(x-2)=12-4x,

/(5)+∕(3)=12-4×3=-8,/(3)+∕(l)=12-4×3=0,所以/(5)=-6,

因此/(5)+2x5-4=0,B正確；

由以上推理得/(2)+/(0)=4,若/(0)=2,則有/(2)=2,也符合題意，即/(0)不一定為0,C錯；

∞3(∣?

∑f(k)sincjτU/(1)-/(3)+/(5)-/⑺+…+/(2021)-/(2023),

k=}IJ

/(l)+∕(3)=0,八3)=-"l)=-2,

/(x)+∕(x-2)=12-4x,則/(x+2)+/(x)=12-4(x+2)=4-4x,

/(x+2)-∕(x-2)=-8,

所以/(DJ(5)J(9),…J(4"3),…成等差數列,公差為—8,/(3),/(7),/(11)「：/(4左—1)「一成等

差數列，公差為-8,

所以/(l)+∕(5)++…+/(2021)=506x2+506^5°5×(-4),

/(3)+∕(7)++???+/(2023)=506×(-2)+506505X(-4)

2023(L\

∑∕WSin?=/(I)-〃3)+〃5)-∕?(7)+…+/(2021)-/(2023)?1012-(-1012)=2024,D

k=?、Z)

正確，

故選：ABD.

方法點睛：抽象函數的求值方法主要是通過賦值法得出函數值，一是利用抽象函數滿足的條件通過賦值得

出函數可能具有的性質，如奇偶性、周期性、對稱性，二是通過賦值得出特殊的函數值，或函數值之間的

關系，如本題中的等差數列，然后結合題中要求進行判斷求解.

三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.

13.眾數、平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢，它們的大小關系和數據分布的形態有關.在如圖的分

布形態中，加、〃、P分別表示眾數、平均數、中位數，則η、〃、夕中最小值為.

【正確答案】n

【分析】將所給的直方圖近似看作為一個梯形，再根據眾數，平均數和中位數的定義求解.

【詳解】將所給的直方圖近似看作為一個梯形，則眾數機出現在最大的矩形（即從左邊數第6個矩形）內，

平均數〃出現在從左邊數第4個矩形內，中位數P必須保證中位數P兩邊矩形面積相等，所以出現在從左

邊數第5個矩形內，

所以〃最小;

故n.

14.已知在"8C中，ZB=2,ZC=Ji7,5C=3,P為平面ZBC內一點，則定?（蘇+方）的最小值是

【正確答案】-6

【分析】先用余弦定理求出48,建立坐標系，再用坐標的方法求解.

以8點為原點，8C為X軸，建立直角坐標系如圖,

2

則4點的橫坐標為肛=一I/asin[)=I∕3∣cosNB=-g,縱坐標為yA=J2-

/ΓT?

即4-y?,B(0,0),C(3,0),設尸(XM,

貝IJ蘇=-∣?-x,^^-y,而=(-x,-y),正=(3-x,-y),

<?3?

PC?(PA+PB^=(2>-x^-^-2x?-y[^^-2y=2x2+2y2-^-x-^^-y-2

當x=±N=也時，上式最小=-6；

3J3

故答案為?-6

15.某節目錄制現場要求三位選手回答六道題，已知每位選手至少答一題，且不能連續答三題，每題限一

人答題，則不同答題方案有種.

【正確答案】414

【分析】將三個人進行編號，通過分析三個人的符合要求的做題量，即可求出不同的答題方案的種類.

【詳解】由題意，

三位選手回答六道題，已知每位選手至少答一題，且不能連續答三題，每題限一人答題，

設三位選手分別的編號為A,B,C,

.?.三個人可能做題量有以下幾種情況：

①三人做題量為：2,2,2,此時有C：C；C；=90種方法

②三人做題量為：1,2,3,此時一個人必須有間隔，一人不能出現做1,2,3;2,3,4;3,4,5;4,5,6題，此時有

A；(C：C汨一Cq)=288種方法

③三人做題量為：1,1,4,此時有C；A：A；=36種方法，

.?.共有90+288+36=414種方法.

16.若對任意x>0,不等式(3ɑv+ɑ)e3x-xlnx+xlnɑ-x≥0恒成立，則實數”的最小值是.

【正確答案】—

3e

【分析】依題意可同構成(3x+l)e3、+b(lnX-Ina+1)即1標"恒成立，令/(x)=Xejt,問題等價于

/(3x+l)>∕(lnx-lnα+l)恒成立，利用導數說明函數的單調性，考慮到3x+l>l,則只需

3x+l≥lnx-lnα+l恒成立，參變分離可得lnα≥Inx-3x,再令g(x)=lnx-3x,x∈(0,+∞),利用導

數求出函數的最大值，即可求出參數的取值范圍，即可得解.

【詳解】因為對任意χ>0,不等式(3αr+a)e"-XInX+xlnα-x≥0恒成立，

所以(3αx+α)e3XFX≥lnx-ln4+l恒成立，顯然α>O,

所以(3x+1)e3jt^lnx+lnaNlnX-Ina+1恒成立，

即(3x+l)e3x+'>(lnx-Ina+1)ehli'"∣恒成立，

令f(%)=xex,則問題等價于/(3%+l)>/(InXTna+1)恒成立，

又jf(x)=(x+l)e"當X>—1時/心)〉0,當x<-l時/'(x)<0,

所以/(x)在(-1,+⑹上單調遞增，在(-叱-1)上單調遞減，

又/(0)=0,當x<0時f(x)<O,

因為x>0,所以3x+l>l,

所以只需3x+1≥InX-Irk7+1恒成立，

所以Ina≥lnx-3x,令g(x)=lnx-3x,x∈(θ,+∞),

11?1

則g'(x)=f-3=二所以當0<x<5時g'(x)>0,g(x)單調遞增，

當x>；時g'(x)<0,g(x)單調遞減，

所以g(x)niaχ=g[2]=ln《一1,所以UiaNlnL-I,則InaNln」-,

max⑶333e

所以。》工，所以實數。的最小值是J-.

3e3e

故—

3e

關鍵點睛：本題解答的關鍵是通過將式子變形同構成(3x+l)e3z>(l?ir-lnα+l)elnt-lna+',再構造函數

/(X)=xe?將問題轉化為3x+1≥Inx—lnα+1恒成立.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在-48C中，∕B=12,8C=5,NC=13,∕8的中點為。，把-46C繞NC旋轉一周，得到一個旋轉

體.

(1)求旋轉體的體積；

(2)設從。點出發繞旋轉體一周到達8點的最近路程為S,探究S與6,5+2√Σ的大小，并證明你的結

論.

,丁…,、1200

【正確答案】(1)------兀

13

(2)S>6λ∕5+2√Σ,證明見解析

【分析】（1）過B作BE_LNC于E,得到旋轉體由兩個同底圓錐組成，求出其半徑和高，利用圓錐體積

公式即可；

（2）得到展開的扇形，求出其圓心角，再利用余弦定理即可得到答案.

【小問1詳解】

旋轉體由兩個同底的圓錐組成，

過5作。于E，則==竺，AE=y∣AB2-BE2=—,CE=AC-AE=-,

13131313

“1（60?1441（6θf251200

旋轉體3U3）133113）1313

【小問2詳解】

?77×----

把圓錐ZE沿ZB展開得到一扇形，則13_10.

Z-JD√ZIZ√.——兀

11213

從D沿旋轉體表面一周到達B的最短路程：

S=DBl=./62+122-2×6×12×cos-π=JI80+144COS』兀.

'V13V13

?.?CoSQ>cos：=等.?.S=J180+144cos^π>√180+72√2=6√5+2√2，

所以從。沿旋轉體表面一周到達B的最短路程S大于6√5+2√2.

18.人工智能正在改變我們的世界，由OPenAl開發的人工智能劃時代標志的ChatGPT能更好地理解人類

的意圖，并且可以更好地回答人類的問題，被人們稱為人類的第四次工業革命.它滲透人類社會的方方面面,

讓人類更高效地生活.現對130人的樣本使用ChatGPT對服務業勞動力市場的潛在影響進行調查，其數據

的統計結果如下表所示：

服務業就業人數的

ChatGPT應

合計

用的廣泛性

減少增加

廣泛應用601070

沒廣泛應用402060

合計10030130

(1)根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗，是否有99%的把握認為ChatGPT應用的廣泛性與服務業就業

人數的增減有關？

(2)現從“服務業就業人數會減少”的100人中按分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3

人，記抽取的3人中有X人認為人工智能會在服務業中廣泛應用，求X的分布列和均值.

?2Mad-be)?

附：X=7r7T7,其中〃=α+b+c+d.

[a+b?)[c+d)?[a+c)[b+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

9

【正確答案】(1)沒有(2)分布列見解析，-

【分析】(1)根據題意求,2,并與臨界值對比判斷；

(2)根據分層抽樣求各層人數，結合超幾何分布求分布列和期望.

【小問1詳解】

零假設為Ho：ChatGPT對服務業就業人數的增減無關.

用用士和坨殂2130×(60×20-40×10)2,(SU

根據表中rh數據得χ2=--------------------------—≈6.603<6.635=Xl

70×60×100×300(I0(1I

所以根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗，

沒有充分證據推斷HO不成立，因此可以認為無關.

【小問2詳解】

由題意得，采用分層抽樣抽取出的5人中，

有把X5=3人認為人工智能會在服務業中廣泛應用，

100

40

有一×5=2人認為人工智能不會在服務業中廣泛應用，

100

則X的可能取值為1,2,3,

又P(X=I)=等磊尸(χ=2)=等=∣,P(X=3)爺=/

^?5?UVx2Jv./?JLU

所以X的分布列為

X123

19.已知在銳角ABC中，內角48,C所對的邊分別是α,"c,且CSirL4=WcosC.

(1)求C；

(2)記/6C面積為S,求8S-H'+2＞的取值范圍.

Ibc

2bab+ss

【正確答案】(1)60°(2)^efι+2^√5

2bc2

【分析】(1)運用正弦定理求解;

8S-αb+2/

(2)運用正弦定理和面積公式將轉化為三角函數求解.

2bc

【小問1詳解】

TcsiM=J^QcosC,由正弦定理得，SinCSirL4=JJsin/lcosC，

又SirL4>0,cosC≠0,/.sinC=VJcosC,tanC=也,:.C=60°；

【小問2詳解】

/7

4x"Sin力一SinZ+2SinB

*212

85-a6+2b_4absinC-ab-?-2b2___________________

2hc2bc2sinC

2>∕3sin力-SinN+2Sin(120-Z)

=2sin4+cos?l

2×——

2

=J^Sin(4+夕)，其中Sin*COSe=2^

???銳角A48C,.?./,從而得效~~?+8S=λ^sin(/+夕)￡1+9，石

V62J2bc2

8S-"+2Z?2J1+”

綜上，C=6()0，

2hc

1

20.已知函數/(%)H.+.?滿足/(x)=∕(2-x),其中α>0.

(I)求實數b的值；

(2)若對于任意的X∈[0,2],均有/(x)≥A√成立，求實數％的取值范圍.

【正確答案】(1)h=-?

1

(2)k≤

4(α+iy

【分析】(1)根據題意代入運算求解即可；

(2)根據分析可得」《[.._；+“)]2,結合分段函數以及二次函數求g(x)=X

+α)的最值,進

而可得結果.

【小問1詳解】

1_1

因為/a)=/。—")，即(k+6∣+α)2=(∣2-x+b∣+“，

可得卜+4=∣2-x+∕)∣,

若x+b=2—x+力，則2x—2=0,不恒成立，不合題意；

若X+b=—2+X—b>則b=~l;

綜上所述.b=T

【小問2詳解】

當x=0時，不等式/(x)≥Aχ2顯然成立;

1

當XWO時，/(x)≥A√等價于左"

[x(∣x-l∣+α)]2'

-X2+(Q+1)X,X∈(0,1]

設g(x)=x(∣x-l∣+α)=

X1÷(Λ-l)x,x∈(1,2]

(i)當^?vl,即O<α<l時，

2

當Xe(0,l]時?，g(χ)≤g(等)=

當XG(1,2]時,g(x)<g(2)=2α+2∈(2,4)；

所以g(2)>g]-,故[g(x)]nm=g(2)=2α+2;

(ii)當四21,即αNl時，

2

當Xe(0,1]時，g(x)≤g⑴=〃；

當x∈(l,2]時，g(x)≤g⑵=2a+2；

因為8(2)_8(1)=(2°+2)-4=口+2>O,即g(2)>g(l)。

所以[g(x)]tnax=g(2)=2α+2;

綜上所述：［g(切nm=g⑵=2"2,可得心吊甲

?(I

所以實數左的取值范圍-∞,-~~-T.

、4(<z+1)_

2兀

21.如圖，三棱柱ZBC-4gG中，ABYAC,AB^AC=2,側面BCG4為矩形，///8=手，二

面角力—BC-4的正切值為

(1)求側棱441的長；

(2)側棱CG上是否存在點。，使得平面D4#與平面48C所成的銳二面角的余弦值為半？若存在,

判斷D點的位置并證明；若不存在，說明理由.

【正確答案】(1)2(2)存在。在CG的三等分點靠近G的分點處，證明見解析

【分析】(1)根據題意三垂線法可得二面角4的平面角為4∣E4,進而可得結果；

(2)法一：建系，利用空間空間向量處理二面角問題；法二：根據題意三垂線法可得二面角。-48-C

的平面角為NHND,進而可得結果.

【小問1詳解】

取3C,4G的中點E,尸，連接∕E,M,4區4尸，

因為/B=ZC=2,則ZEJ.BC,

又因為側面8CC￡為矩形，則8C_LEE,EF//CC1,

且44〃CG，則E/〃44,即瓦￡44四點共面，

EFIAE=E,EFU平面AEFAvAEU平面ZEF^l,

所以8C1平面AEFAi,則BC1AlE,

則NAwA是二面角4一8C—4的平面角，

則tanZΛtEA=；,所以sin/AIEA=-?,cos/AIEA=，

設力&=x,

因為/8J_NC,ZB=ZC=2,則4E=CE=BE=?<∕^,

又因為N∕∣∕8=—?則A.B2=X2+22-2×2x?cos-=x2+2x+4,

3'3

J

可得A0=AiB?-BE?=Λ+2X+4-2=f+2χ+2,

22

在A∕E4中，由余弦定理Z∣∕=AiE+AE-2×AiEXAE×cos^AiEA

得：x2=f+2χ+4-?Jx2+2x+2，即?J/+2x+2=2x+4，

2

平方整理得3χ2-4x-4=0，得χ=2或X=-一（舍去），

3

即AAx為2.

解法一：如圖，建立以E為坐標原點，E4E3,Ez分別為X,RZ軸的空間直角坐標系,

過4作4"，底面Z6C，

因為M=2,可得MB?=∕+2χ+4=i2,

22

則48=2GAiE=y/A1B-BE=√10,

可得A1H=AtEsinZAiEA=^~×M=6,AH=6，

所以4(2√2,0,√2),^(√2,0,0),5(0,√2,0),c(0,-√2,0),

則港=卜2√Σ,√Σ,-√Σ),元=(θ,-2√∑,θ),CC1=Σξ=(√2,O,√2),

設平面48C的法向量為比=(X,y,z),貝*__,

m-BC=-2y∣2y=0

則N=O,令x=l,則Z=—2,即J=(l,0,-2),

設CD=InCG=(V2W,0,V2∕Mj,0<m<?,

設Z>(x,y,z),則(x,y+&,Z)=(V∑"z,0,V∑m),O(√‰,—加,V∑"z),

設平面的法向量為萬=(α,b,c),

因為BA1=^2-?∕2,-72,5/2j,5Z)=2>∕Σ,V∑m),

萬?麗=267-揚+岳=0

則<_k,

n?BD-y∣2ma-2y∕2b+y∣2mc-0

P

令a=2-m,則c=m-4,6=一加，即〃=(2-m,-加，加一4),

平面。Zf與平面48C所銳二面角為。,

LLjIIIΓ-

m?∏10—3/w2Λ∕62

可得CoSa=LJI=a,解得m=一，

∣mIl?I√5?√3W2-12W+2053

所以存在，。在CG的三等分點靠近￡的分點處.

解法二：把三棱柱ZBC-44C補為四棱柱，如圖，M∣為中點，過。作。

由(1)知：A1C=AiB,則4EJ.8C,

由棱柱的性質易得：AiMy=CE且AMuCE,即A1MYCE為平行四邊形，

所以4E∕∕∕∣C,故8CJ?Λ11C,又BC工ClC,

MlC∩C1C=C,MC,GCu面陷CC，則6C1面Λ∕∣CC∣,Z)H在面MCG內,

所以BCj.DH,而SCIMlC=C,8C,M∣Cu面ZRC,

則。“，平面48C,且48U平面48C,則。4_L48,

過〃作助J.48,連DN,DHCHN=H,DH,HNu面DHN,

則48"L平面。"N,且DNU平面DHN,可得&BLDN,

則ZHND為二面角D-AxB-C的平面角，

沒HN=2√6∕,Z)C=x,則。N=5t,DH=t,MC=√W,

33x

可得CoSNMCG=^,〃C=^=,sin∕MCC=

?/ioVio

由點，到48的距離為2疝，

2√10-??42

則2疝=—八而解得、亍產

所以存在，。在