專題08特殊平行四邊形的綜合問題【中考考向導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】 1【考向二特殊平行四邊形中旋轉問題】 7【考向三特殊平行四邊形中定值問題】 13【考向四特殊平行四邊形最小值問題】 19【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】 25【考向六特殊平行四邊形中的動態問題】 33【直擊中考】【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】例題：（2022秋·甘肅蘭州·九年級統考期中）將矩形紙片沿折疊得到，與交于點E，若，則的度數為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【變式訓練】1．（2022秋·九年級課時練習）如圖，把菱形沿折疊，使點落在上的點處，若，則的大小為（

）．A． B． C． D．2．（2021·云南紅河·統考一模）如圖，菱形的周長為8厘米，，點M為的中點，點N是邊上任一點，把沿直線折疊，點A落在圖中的點E處，當_________厘米時，是直角三角形．3．（2022·安徽合肥·校考二模）如圖，在菱形中，，，點是邊上一點，以為對稱軸將折疊得到，再折疊使落在直線上，點的對應點為點，折痕為且交于點．（1）______；（2）若點是的中點，則的長為______．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖1，在正方形中，點E為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．【考向二特殊平行四邊形中旋轉問題】例題：（2021秋·陜西渭南·九年級統考階段練習）如圖，四邊形是矩形，以點B為旋轉中心，順時針旋轉矩形得到矩形，點，，的對應點分別為點，，，點恰好在的延長線上．(1)求證：：(2)若，求的長．【變式訓練】1．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第一一三中學校考期中）如圖，將矩形繞點A順時針旋轉后，得到矩形，如果，那么_______．2．（2022秋·天津河北·九年級天津二中校考期末）在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，點，點．以點A為中心，順時針旋轉矩形，得到矩形，點O，B，C的對應點分別為D，E，F，記旋轉角為．(1)如圖1，當時，求點D的坐標；(2)如圖2，當點E落在的延長線上時，求點D的坐標；(3)當點D落在線段上時，直接寫出點E的坐標．3．（2022秋·山西呂梁·九年級統考期中）綜合與實踐【情境呈現】如圖1，將兩個正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點A旋轉．(1)【數學思考】如圖1，當點E在邊上，點G在邊上時，線段與的數量關系是，位置關系是．(2)如圖2，是將正方形繞著點A逆時針旋轉度得到的，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長度（直接寫出答案）．【考向三特殊平行四邊形中定值問題】例題：（2022秋·山東棗莊·九年級校考階段練習）如圖，在矩形中，，，是上異于和的任意一點，且于，于，則為_____．【變式訓練】1．（2023秋·吉林長春·八年級長春外國語學校校考期末）如圖，菱形的周長為20，面積為24，是對角線上一點，分別作點到直線、的垂線段、，則等于______2．（2022春·四川成都·九年級成都市第二十中學校校考階段練習）如圖，已知點是菱形的對角線延長線上一點，過點分別作，延長線的垂線，垂足分別為點，若，，則的值為______．3．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，已知四邊形為正方形，，點E為對角線上一動點，連接，過點E作交于點F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．4．（2022春·四川德陽·八年級統考期末）已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH＝1，連接CF．(1)當點G在邊DC上運動時；探究：點F到邊DC的距離FM是否為定值？如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由．(2)當DG為何值時，△FCG的面積最小，并求出這個最小值．【考向四特殊平行四邊形最小值問題】例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學校聯考期末）如圖，為正方形邊上一點，，，為對角線上一個動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．10【變式訓練】1．（2022秋·江西新余·九年級新余四中校考階段練習）如圖，矩形中，，，，分別是直線，上的兩個動點，，沿翻折形成，連接，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）如圖，中，，，．點D為邊上一個動點，作、，垂足為E、F，連接．則長度的最小值為______．3．（2022秋·重慶大渡口·九年級校考期末）如圖，在矩形中，，，點在邊上，點在邊上，且，連接，則的最小值為______．4．（2022秋·陜西漢中·九年級校考期中）如圖，在正方形中，，為邊上一點，．為對角線上一動點（不與點、重合），過點分別作于點、于點，連接、，則的最小值為______．5．（2022春·江西贛州·八年級統考期末）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，點E，F分別在菱形的邊BC，CD上滑動，滿足∠EAF=60°，連接EF，且E，F不與B，C，D重合．(1)求證：不論E，F在BC，CD上如何滑動，總有BE=CF；(2)當點E，F在BC，CD上滑動時，分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最小值．【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】例題：（2022春·安徽合肥·八年級校考期中）如圖，、、、分別是四邊形四條邊的中點，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當四邊形是矩形時，四邊形是菱形B．當四邊形是菱形時，四邊形是矩形C．當四邊形滿足時，四邊形是菱形D．當四邊形滿足，時，四邊形是矩形【變式訓練】1．（2022春·北京西城·八年級校考期中）四邊形的對角線，交于點，點，，，分別為邊，，，的中點．有下列四個推斷：①對于任意四邊形，四邊形都是平行四邊形；②若四邊形是平行四邊形，則與交于點；③若四邊形是矩形，則四邊形也是矩形；④若四邊形是正方形，則四邊形也一定是正方形．所有正確推斷的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，在四邊形中，，分別是，的中點，，分別是對角線，的中點，依次連接，，，，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當時，與有怎樣的位置關系？請說明理由；3．（2021春·上海長寧·八年級統考期末）如圖，、是四邊形的對角線，點E、F、G、H分別是線段、、、上的中點（1）求證：線段、互相平分；（2）四邊形滿足什么條件時，？證明你得到的結論．4．（2021秋·陜西寶雞·九年級統考期末）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結論；(2)當四邊形的對角線滿足______條件時，四邊形是菱形；(3)你學過的哪種特殊的平行四邊形的中點四邊形是菱形？請寫出一種．5．（2021春·河北石家莊·八年級統考期中）四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，順次連接各邊中點得到的新四邊形EFGH稱為中點四邊形．（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形為__________形；②當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請利用（1）中的結論，判斷四邊形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀并進行證明．【考向六特殊平行四邊形中的動態問題】例題：（2022春·河北保定·八年級統考期末）如圖，在菱形中，，點E是邊的中點．點M是邊上一動點（不與點A重合），連接并延長交的延長線于點N，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當時，求證：四邊形是矩形；(3)填空：當的值為時，四邊形是菱形．【變式訓練】1．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級校考期末）如圖①，在矩形ABCD中，AB>AD，對角線AC，BD相交于點O，動點P由點A出發，沿A→B→C運動．設點P的運動路程為x，△AOP的面積為y，y與x的函數關系圖象如圖②所示，則AB邊的長為（

）A．6 B．6.4 C．7.2 D．82．（2023秋·河南鄭州·九年級校考期末）如圖1，菱形ABCD中，，動點P以每秒1個單位的速度自點A出發沿線段AB運動到點B，同時動點Q以每秒2個單位的速度自點B出發沿折線運動到點D．圖2是點P、Q運動時，△BPQ的面積S隨時間t變化關系圖象，則a的值是（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3．（2022秋·廣西防城港·九年級統考期中）如圖，已知是正方形內一點，，，將繞點旋轉至，連結．(1)直接寫出、的長度和的度數．(2)求的長．(3)試判斷的形狀并說明理由．4．（2022春·廣東江門·八年級校考期中）如圖，在矩形中，，，點P在邊