2012-2-24第3次課四、二次曲面第三節一、曲面方程的概念二、旋轉曲面

三、柱面機動目錄上頁下頁返回結束曲面及其方程一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設軌跡上的動點為軌跡方程.

機動目錄上頁下頁返回結束定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).機動目錄上頁下頁返回結束故所求方程為例1.

求動點到定點方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.機動目錄上頁下頁返回結束例2.

研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面,或點,或虛軌跡.機動目錄上頁下頁返回結束定義2.一條平面曲線二、旋轉曲面

繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:機動目錄上頁下頁返回結束建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為當繞

z軸旋轉時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉到機動目錄上頁下頁返回結束思考：當曲線C繞y軸旋轉時，方程如何？機動目錄上頁下頁返回結束例3.試建立頂點在原點,旋轉軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方機動目錄上頁下頁返回結束例4.

求坐標面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.解:繞

x

軸旋轉繞

z

軸旋轉這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機動目錄上頁下頁返回結束三、柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,機動目錄上頁下頁返回結束定義3.若一動直線l沿定曲線C

移動,且始終與某一的直線l’平行，則這樣形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.

z

軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準線,l

叫做母線.機動目錄上頁下頁返回結束一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準線

xoy

面上的曲線l1.母線準線

yoz面上的曲線l2.母線機動目錄上頁下頁返回結束四、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數不全為0)機動目錄上頁下頁返回結束1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓機動目錄上頁下頁返回結束與的交線為橢圓：(4)當a＝b

時為旋轉橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數)機動目錄上頁下頁返回結束2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當p=q時為繞

z軸的旋轉拋物面.(p,q同號)機動目錄上頁下頁返回結束3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:機動目錄上頁下頁返回結束雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;機動目錄上頁下頁返回結束相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18目錄上頁下頁返回結束圖形4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.①機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.

空間曲面三元方程

球面

旋轉曲面如,曲線繞z

軸的旋轉曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.機動目錄上頁下頁返回結束2.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:機動目錄上頁下頁返回結束本節重點:(2)熟悉常用的二次曲面:圓柱面,拋物柱面,馬鞍面圓錐面,球面,橢球面,橢圓拋物面,旋轉拋物面.已知曲面方程,會用截痕法分析其是哪一種曲面,并畫出草圖.(1)會根據已知條件建立軌跡方程.斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習1.指出下列方程的圖形:機動目錄上頁下頁返回結束2.P31題

10機動目錄上頁下頁返回結束題10答案:在xoy

面上作業P311;2;4;5;7第四節目錄上頁下頁返回結束2011-2-28第4次課

第8章一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數方程三、空間曲線在坐標面上的投影第四節機動目錄上頁下頁返回結束空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C機動目錄上頁下頁返回結束又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.機動目錄上頁下頁返回結束二、空間曲線的參數方程將曲線C上的動點坐標x,y,z表示成參數t

的函數:稱它為空間曲線的參數方程.例如,圓柱螺旋線的參數方程為上升高度,稱為螺距

.機動目錄上頁下頁返回結束例1.將下列曲線化為參數方程表示:解:(1)根據第一方程引入參數,(2)將第二方程變形為故所求為得所求為機動目錄上頁下頁返回結束三、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程機動目錄上頁下頁返回結束例如,在xoy面上的投影曲線方程為機動目錄上頁下頁返回結束又如,所圍的立體在xoy

面上的投影區域為:上半球面和錐面在xoy面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy面上的投影曲線所圍之域.機動目錄上頁下頁返回結束內容小結

空間曲線三元方程組或參數方程

求投影曲線(如,圓柱螺線)機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習P37題

1，2，7（展示空間圖形）P37題1

(2)(1)答案:機動目錄上頁下頁返回結束(3)機動目錄上頁下頁返回結束P37題2(1)機動目錄上頁下頁返回結束思考:交線情況如何?交線情況如何?P37題2(2)機動目錄上頁下頁返回結束