選修2-1知識(shí)點(diǎn)

選修2-1

第一章常用邏輯用語(yǔ)

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語(yǔ)句.

假命題：判斷為假的語(yǔ)句.

2、“若〃，則q"：p稱(chēng)為命題的條件，“稱(chēng)為命題的結(jié)論.

3、若原命題為“若〃，則“”，則它的逆命題為“若勿則

4、若原命題為“若p,則鄉(xiāng)”，則它的否命題為“若可，則r”.

5、若原命題為“若〃，則則它的逆否命題為“若F，則即”.

6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真

真假假真

假真真真

假假假假

四種命題的真假性之間的關(guān)系：

⑴兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.

7,〃是“的充要條件：poq

p是q的充分不必要條件：pnq,QAP

。是q的必要不充分條件：pAqgp

〃是4的既不充分不必要條件：p*>q,qAp

8、邏輯聯(lián)結(jié)詞：

(1)用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題〃和命題9聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作〃△小全真

則真，有假則假。

(2)用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題4聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作pvq.全假

則假，有真則真。

(2)對(duì)一個(gè)命題p全盤(pán)否定，得到一個(gè)新命題，記作力.真假性相反

9、短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱(chēng)為全稱(chēng)量詞，用“V”表示.

含有全稱(chēng)量詞的命題稱(chēng)為全稱(chēng)命題.

全稱(chēng)命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立"，記作“VxeM,p(x)”.

短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱(chēng)為存在量詞，用“三”表示.

含有存在量詞的命題稱(chēng)為特稱(chēng)命題.

特稱(chēng)命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立"，記作“HxeM,p(x)命

10、全稱(chēng)命題p：VxeM,〃(x),它的否定M：HXGM,r?(x).全稱(chēng)命題的否定

是特稱(chēng)命題.

例：“a=l”是“Vx〉0,2x+gzi”的()

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

第二章圓錐曲線(xiàn)與方程

1、橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)5，E的距離之和等于常數(shù)（大于I片鳥(niǎo)|）的點(diǎn)的

軌跡稱(chēng)為橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為橢圓的焦距.

2、橢圓的幾何彳性質(zhì)：

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

r

吊

圖形

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)+方=1(?>0)1+泊(。”>。)

范圍-a<x<aSi-b<y<b-b<x<b^L-a<y<a

A[(-a,O)、A2(^,0)Aj(0,-67)>Ao(0,6f)

頂點(diǎn)

B/0,—8)、B2(O^)B"-40)、B2(/7,O)

軸長(zhǎng)短軸的長(zhǎng)=2匕長(zhǎng)軸的長(zhǎng)=2〃

焦點(diǎn)耳(-c,0)、E(G0)耳(0,-c)、鳥(niǎo)(0,c)

焦距恒閭=2,卜2=。2_從）

對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

離心率6=2=1)

a\a

3,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)與，區(qū)的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|片名|）的點(diǎn)的軌

跡稱(chēng)為雙曲線(xiàn).這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦距.

4、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)：

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

,

\|/1

圖形

2222

二一1=>0,Z?>0)匚工=1(6F>0,Z?>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程/b21

范圍x<-a^x>a>yeRy<-a^y>a,xeR

A](-a,0)、A(^,0)A,(0,、

頂點(diǎn)2-a)A2(O,?)

軸長(zhǎng)虛軸的長(zhǎng)=2）實(shí)軸的長(zhǎng)=2a

焦點(diǎn)耳（-c,0）、E（c,0）耳(o,—c)、6(0,c)

2

焦距\F{F2\=2c=a+")

對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

e=^=f?(e>1)

離心率

,bIa

漸近線(xiàn)方程y=±-x

a\b

5、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn).

6、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)戶(hù)和一條定直線(xiàn)/的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為拋物線(xiàn).定點(diǎn)戶(hù)稱(chēng)

為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)/稱(chēng)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).

7、過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱(chēng)軸且交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)的線(xiàn)段AB,稱(chēng)為拋物線(xiàn)的

“通徑"，即|AB|=2p.

8、焦半徑公式：

若點(diǎn)p(x。,%)在拋物線(xiàn)y=2px(p>o)上，焦點(diǎn)為F,則|p同=%+■!；

若點(diǎn)PG。,%)在拋物線(xiàn)丁=-2/u(p>0)上，焦點(diǎn)、為F,則|PE|=—Xo+5；

若點(diǎn)PG。,%)在拋物線(xiàn)f=2py(p>0)上，焦點(diǎn)為F，則環(huán)|=%+個(gè)

若點(diǎn)P(Xo，%)在拋物線(xiàn)f=—2刀(p>0)上，焦點(diǎn)為尸，則|PE|=-%+g

9、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)：

,2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

標(biāo)準(zhǔn)方程

(p>°)(。>。)(p>°)(〃>o)

Ak

圖形力

夕ITJiPi

頂點(diǎn)(0,0)

對(duì)稱(chēng)軸二軸y軸

萬(wàn)鳥(niǎo)o)

焦點(diǎn)"?與。)小圖

y

準(zhǔn)線(xiàn)方程x=——x_p.TT

_______2_________2

離心率e=i

范圍x>0x<0y>0y<0

解題注意點(diǎn)：

1、“回歸定義”是一種重要的解題策略。如：

（1）在求軌跡時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線(xiàn)的定義，則根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的方程，寫(xiě)出所求的軌

跡方程；（2）涉及橢圓、雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題時(shí)，常用定義結(jié)合解三角

形（一般是余弦定理）的知識(shí)來(lái)解決；（3）在求有關(guān)拋物線(xiàn)的最值問(wèn)題時(shí)，常利用定義把到焦點(diǎn)的

距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決。

2、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系

（1）有關(guān)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系有三種情況：相交、

相切、相離.聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程，經(jīng)過(guò)消元得到一個(gè)一元二次方程（注意在和雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)方

程聯(lián)立時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0）,直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)相交、相切、相離的充分必要條件分別是A>0、

△=0、A<0.

應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合（例如雙曲線(xiàn)中，利用直線(xiàn)斜率與漸近線(xiàn)的斜率之間的關(guān)系考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的

位置關(guān)系）

常見(jiàn)方法：①聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理等；

②密差法

（主要適用中點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)而不求，注意需檢驗(yàn)，化簡(jiǎn)依據(jù)：士*==2%,上二也=k）

22x2-x,

（2）有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理來(lái)解決；（注意斜率是否存在）

①直線(xiàn)具有斜率電，兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（斗次）,8（蒞,力）

也一力|

②直線(xiàn)斜率不存在，則|A6|=|y—

（3）有關(guān)對(duì)稱(chēng)垂直問(wèn)題，要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及韋達(dá)定理，設(shè)而不求，筒化運(yùn)算。

考查三個(gè)方面：A存在性（相交）；B中點(diǎn)；C垂直（4&=-1）

注：1.圓錐曲線(xiàn)，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線(xiàn)最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練

掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。

2.當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理；二是點(diǎn)差法.

3.圓錐曲線(xiàn)中參數(shù)取值范圍問(wèn)題通常從兩個(gè)途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；

二是建立不等式，通過(guò)解不等式求范圍。

4.注意向量在解析幾何中的應(yīng)用（數(shù)量積解決垂直、距離、夾角等）

（4）求曲線(xiàn)軌跡常見(jiàn)做法：定義法、直接法（步驟：建一設(shè)一現(xiàn)（限）一代一化）、代入法（利

用動(dòng)點(diǎn)與已知軌跡上動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系）、點(diǎn)差法（適用求弦中點(diǎn)軌跡）、參數(shù)法、交軌法等。

例1、已知定點(diǎn)耳（-3,0）,8（3,0）,在滿(mǎn)足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是（答：C）；

A.|尸國(guó)+|尸闖=4B.忸耳|+|尸閭=6C.|P周+|尸聞=10D.|尸耳『+歸國(guó)2=12

例2已知雙曲線(xiàn)的離心率為2,B、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且NF/B=60°，

S.F=1273.求該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(答：土—匕=1)

86行412

例3已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上，若由焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3.

(1)求橢圓分方程；(2)設(shè)橢圓與直線(xiàn)相交于不同的兩點(diǎn)M,N,當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求m的取值

f1

范圍。(答：—+/=1;/ne(-,2))

32

2

例4過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)/一±=1相交于兩點(diǎn)Pi、P2,求線(xiàn)段P1P2中點(diǎn)的軌跡

2

方程。

第三章空間向量與立體幾何

1、空間向量及其運(yùn)算設(shè)a=(凡，如4),b=(x2,y2,z2)9則⑴〃=(玉+/,乂+%，4+z2).

(2)a-b=(xi-x2.y{-y2,zy-z2).

(3)Za=(AX],4必,/lZj).

(4)ab=xlx2-byly2-i-zlz2?

⑸若a、b為非零向量，則a_LZ?<^>a-b=0<^>xlx2-^yly2+ziz2=0.

(6)若bwO,貝(jQ〃。oa=肪0%=Ax2,yl=Ay2,zt=Az2.

⑺悶=y/a-a=[x；+y；+z；.

(8)cos〈a/〉=^XW+XM+ZiZ2

\a\\b\Jx；+y；+z；.J/+y；+z；

(9)A(X|，x，zJ,B=(程分，Z2)，貝u>ABTAB|="(W_xj2+(%_X1+仁_zj2.

(10)共面向量定理：p,a,旗面u>p=xa+y伙x,yeR)；

=AP=xAB+yAC

P、A、B,C四點(diǎn)共面<^OP=OA+xAJB+yXc

=0P=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)

(11)空間向量基本定理p=xa+yh+zc{x,y,z&R)(不共面的三個(gè)向量。力,c構(gòu)成一組基

底，任意兩個(gè)向量都共面）

2、平行：（直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量）（a,〃是a,b的方向向量，〃是平面a的法向量）

線(xiàn)線(xiàn)平行:a//b<=>a//b

線(xiàn)面平行：a//tzoa_L〃或aI!b,bua或a=x〃+yc（〃,c是a內(nèi)不共線(xiàn)向量）

面面平行：

3、垂直

線(xiàn)線(xiàn)垂直：aA-b<=>aA.ba-b=