2023-2024學年四川省成都東部新區(qū)高二下冊期中考試數(shù)學(理)

試題

第I卷(選擇題，共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

1.已知集合/={1,2,3,4},8=卜|--》-6<0},則［c8=()

A,{2}B.{l,2}C.{2,3}D.{l,2,3}

2.如圖是某賽季甲，乙兩名籃球運動員9場比賽所得分數(shù)的莖葉圖，則下列說法錯誤的是

()

甲乙

O8

75111268

42202022

323I

A.甲所得分數(shù)的極差為22

B.乙所得分數(shù)的中位數(shù)為18

C.兩人所得分數(shù)的眾數(shù)相等

D.甲所得分數(shù)的平均數(shù)低于乙所得分數(shù)的平均數(shù)

3.已知向量α=(6,ι),B=",Ji),則向量不在向量萬方向上的投影為()

A.-√3B.√3C.-C.-lD.1

x+2y-2≤0

4.若實數(shù)Xj滿足約束條件<x—120,則z=x-2y的最小值為()

y≥0

A.0B,2C.4D.6

5.若ɑ*e(萬/),且Sina=^^,sin(α—，則sin/?=()

11

?f4c.一D.-

210

.(π?

sinπx+-,x≤0/、/、

6.已知函數(shù)/(x)=<IeJ，則/(-2)+/⑴=()

2"+l,x>0

A.6+GB.6-百ID.*

22c22

7.A48C中，角4氏C的對邊分別為α,b,c,.若向量機=(α,-coM),〃=(CoSC,√?--,

且而G=0，則角〃的大小為()

RTlTlπ

A.—B.—C.—D.-

6432

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的機的值為()

開始

S=O,∕w≡l

A.5B.6C.7D.8

9.若矩形ZBCQ的對角線交點為。'，周長為4w，四個頂點都在球。的表面上，且

00'=G，則球。的表面積的最小值為()

*B.竽C.32,D.4航

22

10.已知函數(shù)/(X)=(X+ax+l)e?貝曠cι=也”是“函數(shù)/(x)在X=T處取得極小值”

的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

11.已知雙曲線C：A-4=l(α>0,b>0)的左，右焦點分別為大(一C,O),E(C,0),又點

6Zb

.若雙曲線C左支上的任意一點M均滿足IMI+1〃Nl>4b,則雙曲線C的

離心率的取值范圍為()

A?(孚,qB,(√J,√Γi)

C(I,U(?χ∕J,+<x>)D.(l,√5)0(√13,+□θ)

12.若關于X的不等式XInX-A?+2左+1〉O在(2,+e)內恒成立，則滿足條件的整數(shù)左的最

大值為()

A.2B.3C.4D.5

第∏卷(非選擇題，共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.

13.某公司一種新產(chǎn)品的銷售額歹與宣傳費用X之間的關系如下表：

X(單位：萬元)01234

y(單位：萬元)1015203035

已知銷售額V與宣傳費用X具有線性相關關系，并求得其回歸直線方程為:P=R+9,則A

的值為.

X=2cos6

14.己知曲線CM.ZI(。為參數(shù)).若點P在曲線C上運動，點0為直線

P=sm8

Γ.x+2y-4√2=0上的動點，則|尸。|的最小值為.

15.已知/(x)是定義在上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為/'(x),/H=J∑,且當

X∈(θ,?j∕,(x)sin2x+2/(x)cos2x>0.則不等式/(x)sin2x<1的解集為

16.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為/.若位于X軸上方的動點A在準線

?AF?..

/上，線段NR與拋物線C相交于點6,且丹一“丹=1，則拋物線C的標準方程為

?BI'?

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

17.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=x3-30x+2,曲線y=∕(χ)在x=l處的切線方程為3x+y+m=0.

（1）求實數(shù)0,加的值；

（2）求/（χ）在區(qū)間［1,2］上的最值.

18.（本小題滿分12分）

已知等比數(shù)列｛q,｝的前〃項和為S,公比0>1,且%+1為6，4的等差中項，§3=14.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式

（2）記4=α,,?l0g2q,,求數(shù)列｛4｝的前〃項和7；.

19.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PALPD,

ADLCD,ΛBAD=60o,M,N分別為4D,P4的中點.

（1）證明：平面JSMN〃平面PCP；

⑵若AD=6,CD=C，求平面BMN與平面BCP所成銳二面角的余弦值.

20.（本小題滿分12分）

已知橢圓C:工+4=l（α〉b〉0）的左、右焦點分別為大（—百,0）,居（百,0）,且該橢圓過

ah

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點3（4,0）作一條斜率不為O的直線/,直線/與橢圓C相交于P,。兩點，記點尸關

于X軸對稱的點為點P',若直線P'。與X軸相交于點O,求A。。。面積的最大值.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f（x）=axex~~χ2~x-

（1）討論/（x）在（O,+e）上的單調性:

（2）若α>0時，方程/（元）=111》一；/有兩個不等實根演，巧，求證.x∣X2>e2FF

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系Xay中，過點P（1,1的直線/的參數(shù)方程為《1.α為參數(shù)）.以坐

[^=l+∕sιnα

標原點O為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為。=4COS氏

（I）求曲線C的直角坐標方程；

II

（2）若直線/與曲線C相交于43兩點，求----+-----的最小值

?PA??PB?

試題答案

一、選擇題

1-5BDAAB6-1OCBBCA11-12CA

二、填空題：（每小題5分，共20分）

2∕10（ππ??

13.6.514.---Λ----15.1-^"g"5"g"J16.y—2x

三、解答題：共70分.

17.解：⑴/'(X)=3χ2-34,

?.?曲線/lx)=/—36+2在X=I處的切線方程為3x+y+∕n=O,

八1)=3-3。=-3

解得α=2,m=0.

/(l)=3-3α=-3-w

(2)由(1)知，/a)=/—6χ+2,則/'(x)=3χ2-6,

令/'(x)=0,解得χ=±√I,

.?.∕(χ)在［1,√∑)上單調遞減，在(J5,2］上單調遞增，

又/⑴=1—6+2=—3,/(2)=23-6×2+2=-2,

/(√2)=(√2)3-6×^^+2=2-4√5^,

二/(χ)在區(qū)間［1,2］上的最大值為一2,最小值為2—4J5.

18.(1)由題意,得2(/+1)=%+的"又‘3=%+。2+。3=14，

2(4+1)=14—々g=4,

41

'.'S3=—+4+4<y=14,.?.<7=2或4=—,

42

'：q>?,：.q=2.

2

an—d-,q"-4,2"-2=2".

(2)由(1),知=2"..?.%=4,jlog24=2"?”.

23nn

.?Tll=l×2'+2×2+3×2+???+(rt-l)×2^'+n×2.

234nn+

.?.2Tn=l×2+2×2+3×2+???+(n-l)×2+∕7×2'.

234n+

.?-Tn=2+2+2+2+---+2"-n×2'

2(?-2"]

=-i------^--n×2"+'=(l-rt)2,,+'-2?

1-2v,

AT；,=(π-l)2n+l+2.

19.(1)連接BDAB=AD,NBAD=60°

:.&4BD為正三角形.

M為ZO的中點，BMIAD.

VAD±CD,CD,BMU平面ABCD,BM//CD

又BMZ平面PCD,u平面尸CQ,:〃平面PcD.

M,N分別為4。,PA的中點、，：.MN〃PD

又MNN平面PCD,P。U平面PGD,,MN〃平面尸CZλ

又BM,MNu平面BMN,BMCMN=M,

???平面BMN〃平面尸CD.

(2)連接PM.

平面尸ZDl平面ZBCZ>,平面NBCQC平面PZD=4D,PMU平面PZZ),

PMLAD，:.PMmABCD

又BMLAD,:./8,MO,MP兩兩垂直

以用為坐標原點，礪,礪,標的方向分別為X軸，y軸，Z軸的正方向，建立如圖所示

?;AD=6,CD=也,則"(0,0,0),P(0,0,3),Z(0,-3,0),

N(OLl,∣],5(36,0,0),C(6,3,0)

?'?'

設平面BWN的法向量加=(x∣,乂,z∣),平面BC尸的法向量〃=(%，%/2)

?v??i—O

in?MB=O

，由得(33可取方=(0,1,1)

in-MN=O一?l+-?i=O

I22'

?.?BC=(-2√3,3,0),5?=(-3^,0,3)，

n?BC=O-2,?^3X2+3%=θ

由可取元=(JJ,2,3)

n-BP=O[-3√3X2+3Z2=0

ih?n2+355√2

.?.COS〈成,萬〉=

所Il萬I√2×√16^4√2^8

c/7

???平面BMN與平面BCP所成銳二面角的余弦值為?

8

20.(1)由橢圓的定義可得2α=∣Z耳∣+∣ZFj

=J(2百『+出+；=4,

解得〃=2.

又y=a2—(V3)2=1,

所以橢圓C的標準方程為三+丁=1

4-

（2）由題意可設直線/的方程為x=wy+4（〃?≠0）.

設P（XI,凹）,。（％2，%），則P（Xl，一%）?

X=my4,

2

由＜X2_1'肖去X可得2+4)J?+8叩+12=O

彳+y=1，

?.?Δ=16(w2-12)>0,.?.w2>12

一8〃？12

2,122

Λ+y2m+4-''m+4

,Λ+Λ-y2+yi

w一玉〃?（％一凹）’

二直線PQ的方程為V+必=)(xτJ?

/W(V9-V1)V1

令y=O,可得X=-------------^-+myx+4

8+必

2加12

.-.X=+4=J?÷4+4=駟+4=L，。(1,0)

y1-Fy2一麗-&7?

W2+4

?'?SADPQ=∣SABQ0-SABDP|=~IBDH必一%|=3/(弘+%)-4%為=~^^?-------

22v"+4

令r=J加2-12/∈(0,+∞)?

_6，_63

則SADPO=J+16=]6”K當且僅當1=4,即加=±2近時等號成立，

14----

t

.?.△。尸。面積的最大值為三3

4

21.(1)由題意得/'(x)=α(x+l)e*-x-I=(X+l)?(αe*-l).

因為χ>0,所以x+l>O.

x

當α≤0時，βe-l<0,/'(x)<0,所以/(x)在(0,+功上單調遞減.

當。>0時，令QeX-I=0，則X=-In

①若α≥l,則X=-InaWO,當x>0時，*㈤〉。,所以/(x)在(0,+功上單調遞增;

②若O<α<i,則X=-Ina>0,當Xe(O,-Ina)時,∕,(x)<0,所以/(x)在(0,-Ina)上

單調遞減;當x∈(-lnα,+∞)時，*(x)>0,所以/(x)在(-lnα,+OO)上單調遞增.

綜上，

當α≤0時，/(x)在(0,+功上單調遞減；

當α≥l時，/(x)在(O,+e)上單調遞增；

當owl時，/(x)在(0,-Ina)上單調遞減，在(—Ina,M)上單調遞增.

(2)證明：方程/(x)=InX-5xt即axex-InX—x=O，

因為OXex—(InX+x)=O,則axe"-In(XeJC)=0,

令f=xe'(x>0),f=(x+l)ev>0,所以函數(shù)/=χe'在(。,+司上單調遞增,

x2

因為方程依砂一(InX+x)=0有兩個實根外,Xz，令f[=x∣e*,t2=x2e,

則關于f的方程G-Inf=O也有兩個實根f∣,t2,且f∣≠f2,

要證XIX2〉e2^x'~x2>即證Xlerl?X2e*>e2,即證￡也>e2,即證ln∕∣+In^>2,

at,-Int.)

1Qa-%2=ln(-InZ2Z1+t2_InZ1÷InZ2

1,整理可得

at-IntQ(4+，2)=Inf1+InZtλ-t2In∕∣-InZ2

{222