專題26專題26特殊三角形知識導航知識導航知識精講知識精講考點1：等腰三角形的性質與判定1．定義:兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.2．性質:①等腰三角形的兩腰相等;②等腰三角形的兩底角相等，即“等邊對等角”;③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，即“三線合一”;④等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸，對稱軸是底邊的垂直平分線.

3．判定:①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;②有兩個角相等的三角形是等腰三角形，即“等角對等邊”.【例1】如圖，在SKIPIF1<0的正方形網格中有兩個格點A、B，連接SKIPIF1<0，在網格中再找一個格點C，使得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個．故共有3個點，故選：B．【例2】如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點P，連結AP，則SKIPIF1<0的度數是_______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分①點P在BC的延長線上，②點P在CB的延長線上兩種情況，再利用等腰三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：①當點P在BC的延長線上時，如圖

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴∴∵以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點P，∴AC=PC∴∵∴∴②當點P在CB的延長線上時，如圖

由①得，∵AC=PC∴∴故答案為：或針對訓練針對訓練1．如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD＝5，則CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【分析】根據等腰三角形三線合一的性質即可求解．【解析】∵AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD＝5，∴CD＝5．故選：B．2．（2020?齊齊哈爾）等腰三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個等腰三角形的周長是．【分析】分3是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可．【解析】①3是腰長時，三角形的三邊分別為3、3、4，∵此時能組成三角形，∴周長＝3+3+4＝10；②3是底邊長時，三角形的三邊分別為3、4、4，此時能組成三角形，所以周長＝3+4+4＝11．綜上所述，這個等腰三角形的周長是10或11．故答案為：10或11．3．如圖，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，SKIPIF1<0，將邊SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0旋轉到SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的度數．【答案】（1）見詳解；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由題意易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，然后問題可求證；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0，進而根據三角形外角的性質可進行求解．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴根據三角形內角和可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．考點2：等邊三角形的性質與判定1．定義:三邊相等的三角形是等邊三角形.2．性質:①等邊三角形的三邊相等,三角相等,且都等于60°;②“三線合一”;③等邊三角形是軸對稱圖形,有三條對稱軸.

3．判定:①三條邊都相等的三角形是等邊三角形;②三個角都相等的三角形是等邊三角形;③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

【例3】如圖，在四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，點E是AC的中點，且SKIPIF1<0（1）尺規作圖：作SKIPIF1<0的平分線AF，交CD于點F，連結EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為等邊三角形．【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據基本作圖—角平分線作法，作出SKIPIF1<0的平分線AF即可解答；（2）根據直角三角形斜邊中線性質得到SKIPIF1<0并求出SKIPIF1<0，再根據等腰三角形三線合一性質得出SKIPIF1<0，從而得到EF為中位線，進而可證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而由有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出結論．【詳解】解：（1）如圖，AF平分SKIPIF1<0，（2）∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵AF平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0為等邊三角形．方法技巧方法技巧（1）等邊三角形與全等三角形的結合運用;（2）等邊三角形與含30°角的直角三角形的結合運用.針對訓練針對訓練1．在等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足為D，點E為AB邊上一點，點F為直線BD上一點，連接EF．圖1圖2圖3（1）將線段EF繞點E逆時針旋轉60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當點E與點B重合，且GF的延長線過點C時，連接DG，求線段DG的長；②如圖2，點E不與點A，B重合，GF的延長線交BC邊于點H，連接EH，求證：SKIPIF1<0；（2）如圖3，當點E為AB中點時，點M為BE中點，點N在邊AC上，且SKIPIF1<0，點F從BD中點Q沿射線QD運動，將線段EF繞點E順時針旋轉60°得到線段EP，連接FP，當SKIPIF1<0最小時，直接寫出SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）①SKIPIF1<0；②見解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）①連接AG，根據題意得出△ABC和△GEF均為等邊三角形，從而可證明△GBC≌△GAC，進一步求出AD=3，AG=BG=SKIPIF1<0，然后利用勾股定理求解即可；②以點F為圓心，FB的長為半徑畫弧，與BH的延長線交于點K，連接KF，先證明出△BFK是頂角為120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，從而得出結論即可；（2）利用“胡不歸”模型構造出含有30°角的直角三角形，構造出SKIPIF1<0，當N、P、J三點共線的時候滿足條件，然后利用相似三角形的判定與性質分別計算出PN與DN的長度，即可得出結論．【詳解】（1）解：①如圖所示，連接AG，由題意可知，△ABC和△GEF均為等邊三角形，∴∠GFB=60°，∵BD⊥AC，∴∠FBC=30°，∴∠FCB=30°，∠ACG=30°，∵AC=BC，GC=GC，∴△GBC≌△GAC（SAS），∴∠GAC=∠GBC=90°，AG=BG，∵AB=6，∴AD=3，AG=BG=SKIPIF1<0，∴在Rt△ADG中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②證明：以點F為圓心，FB的長為半徑畫弧，與BH的延長線交于點K，連接KF，如圖，∵△ABC和△GEF均為等邊三角形，∴∠ABC=60°，∠EFH=120°，∴∠BEF+∠BHF=180°，∵∠BHF+∠KHF=180°，∴∠BEF=∠KHF，由輔助線作法可知，FB=FK，則∠K=∠FBE，∵BD是等邊△ABC的高，∴∠K=∠DBC=∠DBA=30°，∴∠BFK=120°，在△FEB與△FHK中，SKIPIF1<0∴△FEB≌△FHK（AAS），∴BE=KH，∴BE+BH=KH+BH=BK，∵FB=FK，∠BFK=120°，∴BK=SKIPIF1<0BF，即：SKIPIF1<0；（2）如圖1所示，以MP為邊構造∠PMJ=30°，∠PJM=90°，則PJ=SKIPIF1<0MP，∴求SKIPIF1<0的最小值，即為求SKIPIF1<0的最小值，如圖2所示，當運動至N、P、J三點共線時，滿足SKIPIF1<0最小，此時，連接EQ，則根據題意可得EQ∥AD，且EQ=SKIPIF1<0AD，∴∠MEQ=∠A=60°，∠EQF=90°，∵∠PEF=60°，∴∠MEP=∠QEF，由題意，EF=EP，∴△MEP≌△QEF（SAS），∴∠EMP=∠EQF=90°，又∵∠PMJ=30°，∴∠BMJ=60°，∴MJ∥AC，∴∠PMJ=∠DNP=90°，∵∠BDC=90°，∴四邊形ODNJ為矩形，NJ=OD，由題，AD=3，BD=SKIPIF1<0，∵MJ∥AC，∴△BMO∽△BAD，∴SKIPIF1<0，∴OD=SKIPIF1<0BD=SKIPIF1<0，OM=SKIPIF1<0AD=SKIPIF1<0，設PJ=x，則MJ=SKIPIF1<0x，OJ=SKIPIF1<0x-SKIPIF1<0，由題意可知，DN=SKIPIF1<0CD=2，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即：PJ=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．2．在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動．（1）SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，E是邊SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖1，求SKIPIF1<0的長；（2）SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，E是邊SKIPIF1<0上的一個動點，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經過的路徑長；（3）SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，M是高SKIPIF1<0上的一個動點，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經過的路徑長；（4）正方形SKIPIF1<0的邊長為3，E是邊SKIPIF1<0上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形SKIPIF1<0，其中點F、G都在直線SKIPIF1<0上，如圖4，當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經過的路徑長為______，點G所經過的路徑長為______．【答案】（1）1；（2）3；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0即可；（2）連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，可證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在A處時，點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合．可得點SKIPIF1<0運動的路徑的長SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，可證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．又點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合．可求點SKIPIF1<0所經過的路徑的長SKIPIF1<0；（4）連接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的SKIPIF1<0上運動，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，設OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即，可求SKIPIF1<0，點G所經過的路徑長為SKIPIF1<0長=SKIPIF1<0，點H所經過的路徑長為SKIPIF1<0的長SKIPIF1<0．【詳解】解:（1）∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在A處時，點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合．∴點SKIPIF1<0運動的路徑的長SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，∴點SKIPIF1<0所經過的路徑的長SKIPIF1<0；（4）連接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的SKIPIF1<0上運動，∵四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，∴∠COB=90°，設OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，點G所經過的路徑長為SKIPIF1<0長=SKIPIF1<0，點H在以BC中點為圓心，BC長為直徑的弧SKIPIF1<0上運動，點H所經過的路徑長為SKIPIF1<0的長度，∵點G運動圓周的四分之一，∴點H也運動圓周的四分一，點H所經過的路徑長為SKIPIF1<0的長=SKIPIF1<0，故答案為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．考點3：直角三角形的性質1．性質:①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.2．判定:有一個角是直角的三角形是直角三角形.

【例4】如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數為．【分析】求出∠ACD，根據三角形內角和定理求出∠AFC，求出∠DFB，根據三角形的外角性質求出即可．【詳解】如圖，∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，∵∠A＝60°，∴∠DFB＝∠AFC＝180°﹣∠ACD﹣∠A＝180°﹣25°﹣60°＝95°，∵∠D＝45°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案為：140°．針對訓練針對訓練1．如圖，已知點SKIPIF1<0是菱形的對角線延長線上一點，過點分別作、延長線的垂線，垂足分別為點、．若，，則的值為（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據菱形的基性質，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，則AP=+PC，PE=AP=+PC，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC，最后算出結果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，∴∠CAE=30?，∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，∴AC=，∴AP=+PC，在直角△AEP中，∵∠PAE=30°，AP=+PC，∴PE=AP=+PC，在直角△PFC中，∵∠PCF=30°，∴PF=PC，∴=+PC-PC=，故選：B．考點4：勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;②勾股定理的逆定理:若一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個三角形是直角三角形.【例5】《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦的頂部B恰好碰到岸邊的B'（示意圖如圖，則水深為尺．【答案】12【分析】依題意畫出圖形，設蘆葦長AB=AB'=x尺，則水深AC=（x﹣1）尺，因為B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【詳解】解：依題意畫出圖形，設蘆葦長AB=AB'=x尺，則水深AC=（x﹣1）尺，因為B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，解之得x=13，即水深12尺，蘆葦長13尺．故答案為：12．．方法技巧方法技巧（1）已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長.（2）已知直角三角形的一邊長，求另兩邊長的關系.（3）用于證明平方關系的問題.針對訓練針對訓練1．如圖，，，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點B，則點B的坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據題意得出OA=8，OC=2，再根據勾股定理計算即可【詳解】解：由題意可知：AC=AB∵，∴OA=8，OC=2∴AC=AB=10在Rt△OAB中，∴B(0，6)故選：D2．如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點都在同一個圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定圓的圓心在直角三角形斜邊的中點，然后利用全等三角形的判定和性質確定△ABC是等腰直角三角形，再根據直角三角形斜邊中線的性質得到，再由勾股定理解得，解得，據此解題即可．【詳解】解：如圖所示，正方形的頂點都在同一個圓上，圓心在線段的中垂線的交點上，即在斜邊的中點，且AC=MC，BC=CG，∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，∴AG=BM，又∵OG=OM，OA=OB，∴△AOG≌△BOM，∴∠CAB=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，，，．故選：C．專題26特殊三角形考點1：等腰三角形的性質與判定1．如圖．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】54°【分析】首先根據等腰三角形的性質得出∠A=∠AEF，再根據三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度數，最后根據三角形的內角和定理求出∠B的度數即可．【詳解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故答案為：54°．2．如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______（用含SKIPIF1<0的代數式表示）．【答案】SKIPIF1<0【分析】由等腰的性質可得：∠ADB=SKIPIF1<0，∠BDC=SKIPIF1<0，兩角相加即可得到結論．【詳解】解：在△ABD中，AB=BD∴∠A=∠ADB=SKIPIF1<0在△BCD中，BC=BD∴∠C=∠BDC=SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0．3．將一張圓形紙片（圓心為點O）沿直徑SKIPIF1<0對折后，按圖1分成六等份折疊得到圖2，將圖2沿虛線SKIPIF1<0剪開，再將SKIPIF1<0展開得到如圖3的一個六角星．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數為______．【答案】135°【分析】利用折疊的性質，根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理解題．【詳解】解：連接OC，EO由折疊性質可得：∠EOC=SKIPIF1<0，EC=DC，OC平分∠ECD∴∠ECO=SKIPIF1<0∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即SKIPIF1<0的度數為135°故答案為：135°4．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0；交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數．【答案】（1）見詳解；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由題意易得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，然后問題可求證；（2）由題意易得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，然后由（1）可求解．【詳解】（1）證明：∵BD平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0．5．如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于點O．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）判斷△BOC的形狀，并說明理由．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性質可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得結論．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．考點2：等邊三角形的性質與判定6．）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，P為AB邊上一動點，過點P作SKIPIF1<0的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為________．【答案】3【分析】連接OC和PC，利用切線的性質得到CQ⊥PQ，可得當CP最小時，PQ最小，此時CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【詳解】解：連接QC和PC，∵PQ和圓C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，∴當CP最小時，PQ最小，∵△ABC是等邊三角形，∴當CP⊥AB時，CP最小，此時CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵圓C的半徑CQ=SKIPIF1<0，∴PQ=SKIPIF1<0=3，故答案為：3．7．如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F是邊BC上的三等分點．分別過點E，F沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是．【分析】根據三等分點的定義可求EF的長，再根據等邊三角形的判定與性質即可求解．【解析】∵等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F是邊BC上的三等分點，∴EF＝2，∵DE∥AB，DF∥AC，∴△DEF是等邊三角形，∴剪下的△DEF的周長是2×3＝6．故答案為：6．8．如圖，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發．（1）如圖1，連接AQ、CP．求證：△ABQ≌△CAP；（2）如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，AQ、CP相交于點M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數；（3）如圖2，當點P、Q在AB、BC的延長線上運動時，直線AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數．【分析】（1）根據等邊三角形的性質，利用SAS證明△ABQ≌△CAP即可；（2）先判定△ABQ≌△CAP，根據全等三角形的性質可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝60°；（3）先判定△ABQ≌△CAP，根據全等三角形的性質可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝120°．【解析】（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵點P、Q運動速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，AB=CA∠ABQ=∠CPAAP=BQ，∴△ABQ≌△CAP（（2）點P、Q在AB、BC邊上運動的過程中，∠QMC不變．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如圖2，點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動時，∠QMC不變理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，∠QMC的度數為120°．考點3：直角三角形的性質9．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．（1）求證：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度數．【分析】（1）根據DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中點，AAS求證△BED≌△CFD即可得出結論．（2）根據直角三角形的性質求出∠B＝50°，根據等腰三角形的性質即可求解．【解答】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，在△BED與△CFD中，∠BED=∠CFD∠B=∠CBD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．10．小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點F是線段CE上一點．探究發現：（1）當點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2）），小明經過探究，得到結論：BD⊥DF．你認為此結論是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結論互換，即：BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長．【分析】（1）證明∠FDC+∠BDC＝90°可得結論．（2）結論成立：利用等角的余角相等證明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再證明FD＝FC即可解決問題．（3）如圖3中，取EC的中點G，連接GD．則GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性質解決問題即可．【解析】（1）如圖（2）中，∵∠EDC＝90