西安市九年級上學期期中考試數學試卷（一）一、選擇題（共10小題）1．下列方程是一元二次方程（）A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）=2x2+3 C．3x+=4 D．x2﹣2=02．如圖為主視圖方向的幾何體，它的俯視圖是（）A． B． C． D．3．在一個不透明的盒子中裝有12個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球是白球的概率是，則黃球的個數為（）A．18 B．20 C．24 D．284．如圖，已知直角三角形ABC中，斜邊AB的長為m，∠B=40°，則直角邊BC的長是（）A．msin40° B．mcos40° C．mtan40° D．5．將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF．若AB=3，則BC的長為（）A．1 B．2 C． D．6．若點（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在反比例函數y=的圖象上，則下列結論中的正確的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的對邊分別是a、b，且滿足a2﹣ab﹣b2=0，則tanA等于（）A．1 B． C． D．8．若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠09．如圖，正方形ABCD的面積為64，△BCE是等邊三角形，F是CE的中點，AE、BF交于點G，連接CG，則CG等于（）A．4 B．6 C．3 D．410．如圖所示，已知A（，y1），B（2，y2）為反比例函數y=圖象上的兩點，動點P（x，0）在x軸正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是（）A．（，0） B．（1，0） C．（，0） D．（，0）二、填空題11．tan15°=．12．如圖，小明同學沿著格線從A點到B點，在路線最短的條件下，經過C點的概率是．13．已知函數的圖象如圖所示，當x≥﹣1時，y的取值范圍是．14．高為2米的院墻正東方有一棵樟樹，且與院墻相距3米，上午的太陽和煦燦爛，樟樹影子爬過院墻，伸出院墻影子外1米，此時人的影子恰好是人身高的兩倍，那么，請你計算這棵樟樹的高約為米．15．如圖，CD是平面鏡，光線從A點射出，經CD上點E反射后照射到B點，若入射角為α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分別為C、D，且AC=3，BD=6，CD=11，則tanα的值為．16．如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是．三、解答題17．用適當的方法解方程（1）2x2﹣4x﹣6=0；（2）（3x+2）（x+3）=x+14．18．（1）cos60°+sin45°+tan30°?cos30°；（2）﹣．19．如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．20．在一個不透明的盒子中放有三張卡片，每張卡片上寫有一個實數，分別為3，，．（卡片除了實數不同外，其余均相同）（1）從盒子中隨機抽取一張卡片，請直接寫出卡片上的實數是3的概率；（2）先從盒子中隨機抽取一張卡片，將卡片上的實數作為被減數；卡片不放回，再隨機抽取一張卡片，將卡片上的實數作為減數，請你用列表法或樹狀圖（樹形圖）法，求出兩次恰好抽取的卡片上的實數之差為有理數的概率．21．大樓AD的高為10米，不遠處有一塔BC，某人在樓底A處測得塔頂B處的仰角為60°，爬到樓頂D點測得塔頂B點的仰角為30°，求塔BC的高度．22．關于x的方程kx2+（k+2）x+=0有兩個不相等的實數根．（1）求k的取值范圍．（2）是否存在實數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，D是BC的中點，過點D的反比例函數圖象交AB于E點，連接DE．若OD=5，tan∠COD=．（1）求過點D的反比例函數的解析式；（2）求△DBE的面積；（3）x軸上是否存在點P使△OPD為直角三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．（1）如圖1，若△BPQ∽△BCA，求t的值；（2）如圖2，連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求的值；（3）證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上．參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題）1．下列方程是一元二次方程（）A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）=2x2+3 C．3x+=4 D．x2﹣2=0【考點】A1：一元二次方程的定義．【分析】只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三個特點：（1）只含有一個未知數；（2）未知數的最高次數是2；（3）是整式方程．【解答】解：A、x+2y=1是二元一次方程，故錯誤；B、方程去括號得：2x2﹣2x=2x2+3，整理得：﹣2x=3，為一元一次方程，故錯誤；C、3x+=4是分式方程，故錯誤；D、x2﹣2=0，符合一元二次方程的形式，正確．故選D．2．如圖為主視圖方向的幾何體，它的俯視圖是（）A． B． C． D．【考點】U2：簡單組合體的三視圖．【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．【解答】解：從上面看可得到三個左右相鄰的長方形，故選D．3．在一個不透明的盒子中裝有12個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球是白球的概率是，則黃球的個數為（）A．18 B．20 C．24 D．28【考點】X4：概率公式．【分析】首先設黃球的個數為x個，根據題意得：=，解此分式方程即可求得答案．【解答】解：設黃球的個數為x個，根據題意得：=，解得：x=24，經檢驗：x=24是原分式方程的解；∴黃球的個數為24．故選：C．4．如圖，已知直角三角形ABC中，斜邊AB的長為m，∠B=40°，則直角邊BC的長是（）A．msin40° B．mcos40° C．mtan40° D．【考點】T1：銳角三角函數的定義．【分析】根據銳角三角函數的定義解答即可．【解答】解：∵cos40°=，∴BC=AB?cos40°=mcos40°．故選B．5．將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF．若AB=3，則BC的長為（）A．1 B．2 C． D．【考點】L8：菱形的性質；KQ：勾股定理．【分析】根據題意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根據勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，從而可求得BC的長．【解答】解：∵AC=2BC，∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2，∴（2BC）2=32+BC2，∴BC=．故選：D．6．若點（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在反比例函數y=的圖象上，則下列結論中的正確的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【考點】G6：反比例函數圖象上點的坐標特征．【分析】易得此函數圖象分布在一、三象限，根據反比例函數的增減性即可比較y3、y1、y2的大小．【解答】解：k＞0，函數圖象在一，三象限；由題意可知：橫坐標為﹣2，﹣1的在第三象限，橫坐標為﹣1的在第一象限．第三象限內點的縱坐標總小于第一象限內點的縱坐標，那么y3最大，在第三象限內，y隨x的增大而減小，所以y2＜y1．故選C．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的對邊分別是a、b，且滿足a2﹣ab﹣b2=0，則tanA等于（）A．1 B． C． D．【考點】T7：解直角三角形．【分析】根據a、b之間的等量關系式，可以求出的值，進而得解．【解答】解：∵a、b滿足a2﹣ab﹣b2=0，等式兩邊同時除以b2得：﹣﹣1=0，解得=，∵tanA=＞0，故tanA=．故選B．8．若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0【考點】AA：根的判別式；A1：一元二次方程的定義．【分析】根據根的判別式及一元二次方程的定義得出關于k的不等式組，求出k的取值范圍即可．【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故選B．9．如圖，正方形ABCD的面積為64，△BCE是等邊三角形，F是CE的中點，AE、BF交于點G，連接CG，則CG等于（）A．4 B．6 C．3 D．4【考點】LE：正方形的性質；KK：等邊三角形的性質．【分析】要求CG的長度，求出∠CGE即可，BF是EC邊上的高，根據∠EGF=∠CGF，求∠EGF即可．【解答】解：∵BF是等邊△BEC中EC邊上的中線，即BF既是中線又是高，又是角平分線，且BE所在直線是EC的垂直平分線；∴∠FBC=30°，∠EGF=∠CGF，GE=GC，∵∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°+60°=150°，且AB=BE，∴∠BAG=15°，∴∠BGA=180°﹣∠ABG﹣∠BAG=180°﹣15°﹣120°=45°，∴∠EGF=45°，∠CGF=45°，故∠EGC=90°，且GE=GC，∴△GEC為等腰直角三角形，∴CG=×EC=．故選A．10．如圖所示，已知A（，y1），B（2，y2）為反比例函數y=圖象上的兩點，動點P（x，0）在x軸正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是（）A．（，0） B．（1，0） C．（，0） D．（，0）【考點】GB：反比例函數綜合題；FA：待定系數法求一次函數解析式；K6：三角形三邊關系．【分析】求出AB的坐標，設直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標代入求出直線AB的解析式，根據三角形的三邊關系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長AB交x軸于P′，當P在P′點時，PA﹣PB=AB，此時線段AP與線段BP之差達到最大，求出直線AB于x軸的交點坐標即可．【解答】解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函數y=得：y1=2，y2=，∴A（，2），B（2，），∵在△ABP中，由三角形的三邊關系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延長AB交x軸于P′，當P在P′點時，PA﹣PB=AB，即此時線段AP與線段BP之差達到最大，設直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標代入得：，解得：k=﹣1，b=，∴直線AB的解析式是y=﹣x+，當y=0時，x=，即P（，0），故選：D．二、填空題11．tan15°=2﹣．【考點】T7：解直角三角形．【分析】把15°變為45°﹣30°，然后利用兩角差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡可得tan15°的值．【解答】解：tan15°=tan（45°﹣30°）===2﹣．故答案為：2﹣．12．如圖，小明同學沿著格線從A點到B點，在路線最短的條件下，經過C點的概率是．【考點】X6：列表法與樹狀圖法．【分析】根據題意先求出從A到B的最短路程的情況數，再根據概率公式即可得出答案．【解答】解：從A到B的最短路程的路共有：6種；而經過C的有4種所以經過C點的概率==；故答案為：．13．已知函數的圖象如圖所示，當x≥﹣1時，y的取值范圍是y≤﹣1或y＞0．【考點】G4：反比例函數的性質．【分析】x≥﹣1時，可能在第三象限，也可能在第一象限，可分﹣1≤x＜0和x＞0兩種情況進行解答．【解答】解：∵比例系數大于1，∴圖象的兩個分支在一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小．當x=﹣1時，y=﹣1，∴當x≥﹣1且在第三象限時，y≤﹣1，當x≥﹣1在第一象限時，y＞0，故答案為：y≤﹣1或y＞0．14．高為2米的院墻正東方有一棵樟樹，且與院墻相距3米，上午的太陽和煦燦爛，樟樹影子爬過院墻，伸出院墻影子外1米，此時人的影子恰好是人身高的兩倍，那么，請你計算這棵樟樹的高約為4米．【考點】SA：相似三角形的應用．【分析】根據相似三角形對應線段成比例求解即可．【解答】解：利用投影知識解題，按此時人的影子恰好是人身高的兩倍，即墻的影子當地為4米，而樹影子爬過院墻，伸出院墻影子外1米，即樹影子全長為（3+4+1）=8米而樹高為樹影子的一半，即4米．故填4．15．如圖，CD是平面鏡，光線從A點射出，經CD上點E反射后照射到B點，若入射角為α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分別為C、D，且AC=3，BD=6，CD=11，則tanα的值為．【考點】SA：相似三角形的應用；T8：解直角三角形的應用．【分析】利用相似三角形的判定與性質得出EC的長，進而求出tanα的值．【解答】解：由題意可得：∠AEC=∠BED，又∵∠ACE=∠BDE，∴△ACE∽△BDE，∴=，即=，解得：EC=，tanA=tanα===．故答案為：．16．如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是﹣1．【考點】LE：正方形的性質．【分析】根據正方形的性質可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據全等三角形對應角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點O，連接OH、OD，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據三角形的三邊關系可知當O、D、H三點共線時，DH的長度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中點O，連接OH、OD，則OH=AO=AB=1，在Rt△AOD中，OD===，根據三角形的三邊關系，OH+DH＞OD，∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．（解法二：可以理解為點H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓上運動當O、H、D三點共線時，DH長度最小）故答案為：﹣1．三、解答題17．用適當的方法解方程（1）2x2﹣4x﹣6=0；（2）（3x+2）（x+3）=x+14．【考點】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）整理后因式分解法求解可得；（2）整理成一般式后公式法求解可得．【解答】解：（1）原方程整理得x2﹣2x﹣3=0，左邊因式分解可得：（x+1）（x﹣3）=0，則x+1=0或x﹣3=0，解得：x=﹣1或x=3；（2）原方程整理，得：3x2+10x﹣8=0，∵a=3，b=10，c=﹣9，∴△=100﹣4×3×（﹣9）=208＞0，則x==．18．（1）cos60°+sin45°+tan30°?cos30°；（2）﹣．【考點】T5：特殊角的三角函數值．【分析】（1）根據特殊角三角函數值，可得答案；（2）根據特殊角三角函數值，可得答案．【解答】解：（1）原式=+×+×=++=；（2）原式=﹣=2﹣++3．19．如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．【考點】L9：菱形的判定；L5：平行四邊形的性質；T7：解直角三角形．【分析】（1）根據平行四邊形和角平分線的性質可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，從而證明四邊形ABEF是菱形；（2）作PH⊥AD于H，根據四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，從而得到PH=，DH=5，然后利用銳角三角函數的定義求解即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分線，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．同理AB=AF．∴AF=BE．∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵AB=BE，∴四邊形ABEF是菱形．（2）解：作PH⊥AD于H，∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．20．在一個不透明的盒子中放有三張卡片，每張卡片上寫有一個實數，分別為3，，．（卡片除了實數不同外，其余均相同）（1）從盒子中隨機抽取一張卡片，請直接寫出卡片上的實數是3的概率；（2）先從盒子中隨機抽取一張卡片，將卡片上的實數作為被減數；卡片不放回，再隨機抽取一張卡片，將卡片上的實數作為減數，請你用列表法或樹狀圖（樹形圖）法，求出兩次恰好抽取的卡片上的實數之差為有理數的概率．【考點】X6：列表法與樹狀圖法；X4：概率公式．【分析】（1）由在一個不透明的盒子中放有三張卡片，每張卡片上寫有一個實數，分別為3，，，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖即可求得所有等可能的結果與兩次好抽取的卡片上的實數之差為有理數的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵在一個不透明的盒子中放有三張卡片，每張卡片上寫有一個實數，分別為3，，．∴從盒子中隨機抽取一張卡片，卡片上的實數是3的概率是：；（2）畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，兩次好抽取的卡片上的實數之差為有理數的有2種情況，∴兩次好抽取的卡片上的實數之差為有理數的概率為：=．21．大樓AD的高為10米，不遠處有一塔BC，某人在樓底A處測得塔頂B處的仰角為60°，爬到樓頂D點測得塔頂B點的仰角為30°，求塔BC的高度．【考點】TA：解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【分析】過點B作BE⊥AD交AD延長線于點E，構造兩個直角三角形．設DE=x，分別求解可得AD與DE的值，再利用BC=AD+DE，即可求出答案．【解答】解：過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E．在Rt△BED中，∵D點測得塔頂B點的仰角為30°，∴∠BDE=60度．設DE=x，則BE=x．在Rt△BEA中，∠BAE=30度，BE=x．∴AE=3x．∴AD=AE﹣DE=3x﹣x=2x=10．∴x=5．∴BC=AD+DE=10+5=15（米）．答：塔BC的高度為15米．22．關于x的方程kx2+（k+2）x+=0有兩個不相等的實數根．（1）求k的取值范圍．（2）是否存在實數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【考點】AB：根與系數的關系；AA：根的判別式．【分析】（1）根據一元二次方程的定義和根的判別式得到k≠0且（k+2）2﹣4k?＞0，然后求出兩個不等式的公共部分即可；（2）假設存在實數k使方程的兩個實數根的倒數和等于0，利用根與系數的關系得出x1+x2=﹣，x1x2=利用兩個實數根的倒數和等于0，得出方程的解，結合k的取值范圍判定即可．【解答】解：（1）∵關于x的方程kx2+（k+2）x+=0有兩個不相等的實數根，∴k≠0且△＞0，即（k+2）2﹣4k?＞0，∴k＞﹣1且k≠0．（2）不存在．理由：假設存在實數k使方程的兩個實數根的倒數和等于0，∵x1+x2=﹣，x1x2=，∴+===0，解得：k=﹣2∵k＞﹣1，∴不存在實數k使方程的兩個實數根的倒數和等于0．23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，D是BC的中點，過點D的反比例函數圖象交AB于E點，連接DE．若OD=5，tan∠COD=．（1）求過點D的反比例函數的解析式；（2）求△DBE的面積；（3）x軸上是否存在點P使△OPD為直角三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】GB：反比例函數綜合題．【分析】（1）由四邊形OABC是矩形，得到BC=OA，AB=OC，根據tan∠COD=，設OC=3x，CD=4x，求出OD=5x=5，OC=3，CD=4，得到D（4，3），代入反比例函數的解析式即可．（2）根據D點的坐標求出點B，E的坐標即可求出結論；（3）分類討論：當∠OPD=90°時，過D作PD⊥x軸于P，點P即為所求，當∠ODP=90°時，根據射影定理即可求得結果．【解答】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，∴BC=OA，AB=OC，∵tan∠COD=，∴設OC=3x，CD=4x，∴OD=5x=5，∴x=1，∴OC=3，CD=4，∴D（4，3），設過點D的反比例函數的解析式為：y=，∴k=12，∴反比例函數的解析式為：y=；（2）∵點D是BC的中點，∴B（8，3），∴BC=8，AB=3，∵E點在過點D的反比例函數圖象上，∴E（8，），∴S△DBE=BD?BE==3；（3）存在，∵△OPD為直角三角形，∴當∠OPD=90°時，PD⊥x軸于P，∴OP=4，∴P（4，0），當∠ODP=90°時，如圖，過D作DH⊥x軸于H，∴OD2=OH?OP，∴OP==．∴P（，O），∴存在點P使△OPD為直角三角形，∴P（4，O），（，O）．24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．（1）如圖1，若△BPQ∽△BCA，求t的值；（2）如圖2，連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求的值；（3）證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上．【考點】SO：相似形綜合題．【分析】（1）分兩種情況討論：①當△BPQ∽△BAC時，，②當△BPQ∽△BCA時，，再根據BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計算即可；（2）過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB=5t，PM=3t，根據△ACQ∽△CMP，得出=，即可；（3）作PE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t代入求出DF，過BC的中點R作直線平行于AC，得出RC=DF，D在過R的中位線上，從而證出PQ的中點在△ABC的一條中位線上【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm，由運動知，BP=5t，QC=4t，①當△BPQ∽△BAC時，∵，∴，∴t=1；②當△BPQ∽△BCA時，∵，∴，∴t=，∴t=1或時，△BPQ與△ABC相似；（2）如圖1所示，在Rt△ABC中，sinB=，過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB=5t，PM=PBsinB=3t，由運動知，CQ=4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴△ACQ∽△CMP，∴==；（3）如圖，作PM⊥BC于點M，PQ的中點設為D點，作PE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，∵∠ACB=90°，∴DF為梯形PECQ的中位線，∴DF=，∵QC=4t，PE=BC﹣BM=8﹣BM=8﹣4t，∴DF==4，∵BC=8，過BC的中點R作直線平行于AC，∴RC=DF=4成立，∴D在過R的中位線上，∴PQ的中點在△ABC的一條中位線上．西安市九年級上學期期中考試數學試卷（二）一、選擇題1．下列計算正確的是（）A．a2?a3=a6 B．（﹣2ab）2=4a2b2C．（a2）3=a5 D．3a3b2÷a2b2=3ab2．不等式組的解集是（）A．﹣2≤x≤1 B．﹣2＜x＜1 C．x≤﹣1 D．x≥23．下列立體圖形中，俯視圖是正方形的是（）A． B． C． D．4．已知關于x方程x2﹣4x+m=0，如果從1、2、3、4、5、6中任選一個數作為方程常數項m，那么所得方程有實數根的概率是（）A． B． C． D．5．如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A'B'C'，已知OB=3OB'，則△A'B'C'與△ABC的面積的比為（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：96．關于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有實數根，則a滿足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠57．小軍家距學校5千米，原來他騎自行車上學，學校為保障學生安全，新購進校車接送學生，若校車速度是他騎車速度的2倍，現在小軍乘校車上學可以從家晚10分鐘出發，結果與原來到校時間相同．設小軍騎車的速度為x千米/小時，則所列方程正確的為（）A．+= B．﹣= C．+10= D．﹣10=8．已知菱形ABCD的邊長是9，點E在直線AD上，DE=3，連接BE與對角線AC相交于點M，則的值是（）A．3：1 B．4：3 C．3：4 D．3：4或3：29．如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點，連接BE、AF，他們相交于G，延長BE交CD的延長線于點H，則圖中的相似三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對10．如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，對于下列結論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①④二、填空題11．兩三角形的相似比為1：4，它們的周長之差為27cm，則較小三角形的周長為．12．分解因式：m4﹣16n4=．13．如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，點E在AB邊上，EF⊥AC于點F，連接EC，AF=3，△EFC的周長為12，則EC的長為．14．如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為．三、解答題15．計算：（﹣3）2﹣（）﹣1+×﹣|1﹣|．16．解方程：（1）（x+1）（x﹣3）=32（2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）17．如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，請用尺規過點A作一條直線，使其將△ABC分成兩個相似的三角形（保留作圖痕跡，不寫作法）18．化簡求值：（x﹣5+）÷，其中x=﹣2．19．在以“關愛學生、安全第一”為主題的安全教育宣傳月活動中，某學校為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內隨機抽查部分學生，了解到上學方式主要有：A﹣﹣結伴步行、B﹣﹣自行乘車、C﹣﹣家人接送、D﹣﹣其它方式，并將收集的數據整理繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息，解答下列問題：（1）本次抽查的學生人數是多少人？（2）請補全條形統計圖和扇形統計圖，并在圖中標出“自行乘車”對應扇形的圓心角的度數；（3）如果該校學生有2080人，請你估計該校“家人接送”上學的學生約有多少人？20．已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．（1）求證：△ABM≌△DCM；（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論．21．昨天早晨7點，小明乘車從家出發，去西安參加中學生科技創新大賽，賽后，他當天按原路返回，如圖，是小明昨天出行的過程中，他距西安的距離y（千米）與他離家的時間x（時）之間的函數圖象．根據下面圖象，回答下列問題：（1）求線段AB所表示的函數關系式；（2）已知昨天下午3點時，小明距西安112千米，求他何時到家？22．如圖，管中放置著三根同樣的繩子AA1、BB1、CC1，小明先從左端A、B、C三個繩頭中隨機選兩個打一個結，再從右端A1、B1、C1三個繩頭中隨機選兩個打一個結，請用樹狀圖或列表法求著三根繩子能連結成一根長繩的概率．23．一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度．如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立時身高AM與影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.25m，已知李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高CD的長．（結果精確到0.1m）．24．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE=45°，請你利用（1）的結論證明：GE=BE+GD．（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面積．參考答案與試題解析一、選擇題1．下列計算正確的是（）A．a2?a3=a6 B．（﹣2ab）2=4a2b2C．（a2）3=a5 D．3a3b2÷a2b2=3ab【考點】整式的除法；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】根據同底數冪的乘法、積的乘方、冪的乘方、整式的除法，即可解答．【解答】解：A、a2?a3=a5，故正確；B、正確；C、（a2）3=a6，故錯誤；D、3a2b2÷a2b2=3，故錯誤；故選：B．2．不等式組的解集是（）A．﹣2≤x≤1 B．﹣2＜x＜1 C．x≤﹣1 D．x≥2【考點】解一元一次不等式組．【分析】分別解出每個不等式的解集，再求其公共部分．【解答】解：，由①得，x≥﹣2；由②得，x≤1；故不等式組的解集為﹣2≤x≤1．故選A．3．下列立體圖形中，俯視圖是正方形的是（）A． B． C． D．【考點】簡單幾何體的三視圖．【分析】根據從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【解答】解：A、球的俯視圖是圓，故本選項錯誤；B、正方體的俯視圖是正方形，故本選項正確；C、圓錐的俯視圖是圓，故本選項錯誤；D、圓柱的俯視圖是圓，故本選項錯誤．故選B．4．已知關于x方程x2﹣4x+m=0，如果從1、2、3、4、5、6中任選一個數作為方程常數項m，那么所得方程有實數根的概率是（）A． B． C． D．【考點】概率公式；根的判別式．【分析】由判別式判斷出m的范圍，然后根據概率公式求解可得．【解答】解：∵關于x方程x2﹣4x+m=0有實數根，∴△=16﹣4m≥0，解得：m≤4，在從1、2、3、4、5、6中符合條件的有1、2、3、4這4個數，∴所得方程有實數根的概率是=，故選：B．5．如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A'B'C'，已知OB=3OB'，則△A'B'C'與△ABC的面積的比為（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9【考點】位似變換．【分析】根據位似變換的性質得到A′B′∥AB，A′C′∥AC，根據平行線的性質求出△A'B'C'與△ABC的相似比，根據相似三角形的性質得到面積比．【解答】解：由位似變換的性質可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴==，∴==，∴△A'B'C'與△ABC的相似比為1：3，∴△A'B'C'與△ABC的面積的比1：9，故選：D．6．關于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有實數根，則a滿足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考點】根的判別式．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有實數根，那么分兩種情況：（1）當a﹣5=0時，方程一定有實數根；（2）當a﹣5≠0時，方程成為一元二次方程，利用判別式即可求出a的取值范圍．【解答】解：分類討論：①當a﹣5=0即a=5時，方程變為﹣4x﹣1=0，此時方程一定有實數根；②當a﹣5≠0即a≠5時，∵關于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有實數根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范圍為a≥1．故選：A．7．小軍家距學校5千米，原來他騎自行車上學，學校為保障學生安全，新購進校車接送學生，若校車速度是他騎車速度的2倍，現在小軍乘校車上學可以從家晚10分鐘出發，結果與原來到校時間相同．設小軍騎車的速度為x千米/小時，則所列方程正確的為（）A．+= B．﹣= C．+10= D．﹣10=【考點】由實際問題抽象出分式方程．【分析】設小軍騎車的速度為x千米/小時，則小車速度是2x千米/小時，根據“小軍乘小車上學可以從家晚10分鐘出發”列出方程解決問題．【解答】解：設小軍騎車的速度為x千米/小時，則小車速度是2x千米/小時，由題意得，﹣=．故選：B．8．已知菱形ABCD的邊長是9，點E在直線AD上，DE=3，連接BE與對角線AC相交于點M，則的值是（）A．3：1 B．4：3 C．3：4 D．3：4或3：2【考點】相似三角形的判定與性質；菱形的性質．【分析】首先根據題意作圖，注意分為E在線段AD上與E在AD的延長線上，然后由菱形的性質可得AD∥BC，則可證得△MAE∽△MCB，根據相似三角形的對應邊成比例即可求得答案．【解答】解：∵菱形ABCD的邊長是8，∴AD=BC=9，AD∥BC，如圖1：當E在線段AD上時，∴AE=AD﹣DE=9﹣3=6，∴△MAE∽△MCB，∴==；如圖2，當E在AD的延長線上時，∴AE=AD+DE=9+3=12，∴△MAE∽△MCB，∴==．∴的值是或．故選D．9．如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點，連接BE、AF，他們相交于G，延長BE交CD的延長線于點H，則圖中的相似三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【考點】相似三角形的判定；平行四邊形的性質．【分析】根據四邊形ABCD是平行四邊形，利用相似三角形的判定定理，對各個三角形逐一分析即可．【解答】解：∵在?ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點，連接BE、AF，他們相交于G，延長BE交CD的延長線于點H，∴△AGB∽△FGH，△HED∽△HBC，△HED∽△BEA，△AEB∽△HBC，共4對．故選C．10．如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，對于下列結論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①④【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質．【分析】求出BE=2AE，根據翻折的性質可得PE=BE，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根據翻折的性質求出∠BEF=60°，根據直角三角形兩銳角互余求出∠EFB=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得EF=2BE，判斷出①正確；利用30°角的正切值求出PF=PE，判斷出②錯誤；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判斷出③錯誤；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等邊三角形，判斷出④正確．【解答】解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性質得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF===60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正確；∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF＞PF，∴PF＜2PE，故②錯誤；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③錯誤；由翻折的性質，∠EFB=∠EFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°，∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等邊三角形，故④正確；綜上所述，結論正確的是①④．故選：D．二、填空題11．兩三角形的相似比為1：4，它們的周長之差為27cm，則較小三角形的周長為9cm．【考點】相似三角形的性質．【分析】利用相似三角形的對應周長比等于相似比，對應中線比等于相似比即可得出．【解答】解：令較大的三角形的周長為xcm．小三角形的周長為（x﹣27）cm，由兩個相似三角形對應中線的比為1：4得，1：4=（x﹣27）：x，解之得x=36cm，x﹣27=36﹣27=9cm．故答案為9cm．12．分解因式：m4﹣16n4=（m2+4m2）（m+2n）（n﹣2n）．【考點】因式分解﹣運用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：m4﹣16n4=（m2+4n2）（m2﹣4n2）=（m2+4m2）（m+2n）（n﹣2n）．故答案為：（m2+4m2）（m+2n）（n﹣2n）．13．如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，點E在AB邊上，EF⊥AC于點F，連接EC，AF=3，△EFC的周長為12，則EC的長為5．【考點】正方形的性質；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】由四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，得出∠EAF=45°，又因為EF⊥AC，得到∠AFE=90°得出EF=AF=3，由△EFC的周長為12，得出線段FC=12﹣3﹣EC=9﹣EC，在Rt△EFC中，運用勾股定理EC2=EF2+FC2，求出EC=5．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，∴∠EAF=45°，又∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°，∠AEF=45°，∴EF=AF=3，∵△EFC的周長為12，∴FC=12﹣3﹣EC=9﹣EC，在Rt△EFC中，EC2=EF2+FC2，∴EC2=9+（9﹣EC）2，解得EC=5．故答案為：5．14．如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為3．【考點】軸對稱﹣最短路線問題；矩形的性質．【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設A點關于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當PQ⊥AD時，則PQ最小，所以當A′Q⊥AD時AP+PQ最小，從而可求得AP+PQ的最小值等于DE的長，可得出答案..【解答】解：設BE=x，則DE=3x，∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE?DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，∴AE=3，DE=3，如圖，設A點關于BD的對稱點為A′，連接A′D，PA′，則A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等邊三角形，∵PA=PA′，∴當A′、P、Q三點在一條線上時，A′P+PQ最小，又垂線段最短可知當PQ⊥AD時，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3．故答案是：3．三、解答題15．計算：（﹣3）2﹣（）﹣1+×﹣|1﹣|．【考點】二次根式的混合運算；負整數指數冪．【分析】先進行乘方運算和開方運算，再利用負整數指數冪的意義計算，然后去絕對值后合并即可．【解答】解：原式=9﹣5+×+1﹣=4﹣+1﹣=5﹣．16．解方程：（1）（x+1）（x﹣3）=32（2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）根據因式分解法可以解答本題；（2）根據配方法可以求得方程的解．【解答】解：（1）（x+1）（x﹣3）=32去括號，得x2﹣2x﹣3=32移項及合并同類項，得x2﹣2x﹣35=0∴（x﹣7）（x+5）=0∴x﹣7=0或x+5=0，解得，x1=7，x2=﹣5；（2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）∴∴，∴．17．如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，請用尺規過點A作一條直線，使其將△ABC分成兩個相似的三角形（保留作圖痕跡，不寫作法）【考點】作圖—相似變換．【分析】過點A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，則可判斷△ABD與△CAD相似．【解答】解：如圖，AD為所作．18．化簡求值：（x﹣5+）÷，其中x=﹣2．【考點】分式的化簡求值．【分析】首先對括號內的分式進行通分相減，然后把除法轉化為乘法，計算乘法即可化簡，最后代入數值計算即可．【解答】解：原式=（÷=?=?=（x﹣1）（x﹣3）．當x=﹣2時，原式=（﹣3）×（﹣5）=15．19．在以“關愛學生、安全第一”為主題的安全教育宣傳月活動中，某學校為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內隨機抽查部分學生，了解到上學方式主要有：A﹣﹣結伴步行、B﹣﹣自行乘車、C﹣﹣家人接送、D﹣﹣其它方式，并將收集的數據整理繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息，解答下列問題：（1）本次抽查的學生人數是多少人？（2）請補全條形統計圖和扇形統計圖，并在圖中標出“自行乘車”對應扇形的圓心角的度數；（3）如果該校學生有2080人，請你估計該校“家人接送”上學的學生約有多少人？【考點】條形統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖．【分析】（1）根據“家人接送”的人數除以所占的百分比，即可得到調查學生數；（2）由總學生數求出“結伴步行”的人數，補全統計圖即可；求出“結伴步行”與“自行乘車”的百分比，補全扇形統計圖，在圖中標出“自行乘車”對應扇形的圓心角的度數即可；（3）由總人數乘以“家人接送”的百分比，即可得到結果．【解答】解：（1）∵30÷25%=120，∴本次抽查的學生人數是120人；（2）A方式的人數為120﹣（42+30+18）=40，A方式人數占總人數的百分比為×100%=30%，B方式人數占總人數的百分比為×100%=35%，則“自行乘車”對應扇形的圓心角的度數為360°×35%=126°，補全圖形如下：（3）2080×25%=520，答：估計該校“家人接送”上學的學生約有520人．20．已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．（1）求證：△ABM≌△DCM；（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論．【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質．【分析】（1）由矩形的性質得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中點，根據SAS即可證明△ABM≌△DCM；（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知條件證出ME=MF，EN、FN是△BCM的中位線，即可證出EN=FN=ME=MF，得出四邊形MENF是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，∵M是AD的中點，∴AM=DM，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS）；（2）解：四邊形MENF是菱形；理由如下：由（1）得：△ABM≌△DCM，∴BM=CM，∵E、F分別是線段BM、CM的中點，∴ME=BE=BM，MF=CF=CM，∴ME=MF，又∵N是BC的中點，∴EN、FN是△BCM的中位線，∴EN=CM，FN=BM，∴EN=FN=ME=MF，∴四邊形MENF是菱形．21．昨天早晨7點，小明乘車從家出發，去西安參加中學生科技創新大賽，賽后，他當天按原路返回，如圖，是小明昨天出行的過程中，他距西安的距離y（千米）與他離家的時間x（時）之間的函數圖象．根據下面圖象，回答下列問題：（1）求線段AB所表示的函數關系式；（2）已知昨天下午3點時，小明距西安112千米，求他何時到家？【考點】一次函數的應用．【分析】（1）可設線段AB所表示的函數關系式為：y=kx+b，根據待定系數法列方程組求解即可；（2）先根據速度=路程÷時間求出小明回家的速度，再根據時間=路程÷速度，列出算式計算即可求解．【解答】解：（1）設線段AB所表示的函數關系式為：y=kx+b，依題意有，解得．故線段AB所表示的函數關系式為：y=﹣96x+192（0≤x≤2）；（2）12+3﹣（7+6.6）=15﹣13.6=1.4（小時），112÷1.4=80（千米/時），÷80=80÷80=1（小時），3+1=4（時）．答：他下午4時到家．22．如圖，管中放置著三根同樣的繩子AA1、BB1、CC1，小明先從左端A、B、C三個繩頭中隨機選兩個打一個結，再從右端A1、B1、C1三個繩頭中隨機選兩個打一個結，請用樹狀圖或列表法求著三根繩子能連結成一根長繩的概率．【考點】列表法與樹狀圖法．【分析】首先根據題意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的結果與這三根繩子能連結成一根長繩的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表得：右端左端A1B1B1C1A1C1ABAB，A1B1AB，B1C1AB，A1C1BCBC，A1B1BC，B1C1BC，A1C1ACAC，A1B1AC，B1C1AC，A1C1∵分別在兩端隨機任選兩個繩頭打結，總共有三類9種情況，每種發生的可能性相等，且能連結成為一根長繩的情況有6種，①左端連AB，右端連B1C1或A1C1；②左端連BC，右端連A1B1或A1C1；③左端連AB，右端連A1B1或B1C1．∴這三根繩子能連結成一根長繩的概率為：=．23．一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度．如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立時身高AM與影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.25m，已知李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高CD的長．（結果精確到0.1m）．【考點】相似三角形的應用；中心投影．【分析】根據AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，從而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形對應邊的比相等列出比例式求解即可．【解答】解：設CD長為x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC=CD=x，∴△ABN∽△ACD，∴=，即=，解得：x=6.125≈6.1．經檢驗，x=6.125是原方程的解，∴路燈高CD約為6.1米24．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE=45°，請你利用（1）的結論證明：GE=BE+GD．（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面積．【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；直角梯形．【分析】（1）由四邊形是ABCD正方形，易證得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；（2）首先延長AD至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易證得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可證得△ECG≌△FCG，繼而可得GE=BE+GD；（3）首先過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的長，設AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的長，繼而求得直角梯形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°．∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）證明：如圖2，延長AD至F，使DF=BE，連接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．（3）解：如圖3，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四邊形ABCG為正方形．∴AG=BC．…∵∠DCE=45°，根據（1）（2）可知，ED=BE+DG．…∴10=4+DG，即DG=6．設AB=x，則AE=x﹣4，AD=x﹣6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．解這個方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．…∴AB=12．∴S梯形ABCD=（AD+BC）?AB=×（6+12）×12=108．即梯形ABCD的面積為108．…西安市九年級上學期期中考試數學試卷（三）一、選擇題1．比﹣1大1的數是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣22．下列幾何體是由4個相同的小正方體搭成的，其中主視圖和左視圖相同的是（）A． B． C． D．3．下列運算正確的是（）A．2a2+a=3a3 B．（﹣a）2÷a=a C．（﹣a）3?a2=﹣a6 D．（2a2）3=6a64．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，則AE：AC等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：55．如圖，過反比例函數y=（x＞0）的圖象上一點A作AB⊥x軸于點B，連接AO，若S△AOB=2，則k的值為（）A．2 B．3 C．4 D．56．如圖，菱形ABCD的周長為8cm，高AE長為cm，則對角線AC長和BD長之比為（）A．1：2 B．1：3 C．1： D．1：7．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x經過點A，作AB⊥x軸于點B，將△ABO繞點B逆時針旋轉60°得到△CBD．若點B的坐標為（2，0），則點C的坐標為（）A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）8．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高．若AB=5，AC=3，則tan∠BCD為（）A． B． C． D．9．如圖，四邊形ABCD和四邊形BEFD都是矩形，且點C恰好在EF上．若AB=1，AD=2，則S△BCE為（）A．1 B． C． D．10．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F是線段BC上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是（）A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4二、填空題11．一元二次方程x2﹣3x=0的根是．12．請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一題計分．A．在平面直角坐標系中，線段AB的兩個端點的坐標分別為A（﹣2，1）、B（1，3），將線段AB經過平移后得到線段A'B'．若點A的對應點為A'（﹣3，2），則點B的對應點B'的坐標是．B．比較8cos31°．（填“＞”、“=”或“＜”）13．如圖，平行四邊形ABCD中，A（﹣1，0），B（0，﹣2），頂點C、D在雙曲線y=（x＞0）上，邊AD交y軸于點E，若點E恰好是AD的中點，則k=．14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，若AD=6，BC=14，則四邊形ABCD面積的最大值是．三、解答題15．計算：（1）sin260°+cos260°﹣tan45°；（2）|﹣|+﹣4cos45°+2sin30°．16．解方程：．17．如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，請用尺規過點A作一條直線，使其將△ABC分成兩個相似的三角形（保留作圖痕跡，不寫作法）18．某校為了了解學生家長對孩子使用手機的態度情況，隨機抽取部分學生家長進行問卷調查，發出問卷140份，每位學生家長1份，每份問卷僅表明一種態度，將回收的問卷進行整理（假設回收的問卷都有效），并繪制了如圖兩幅不完整的統計圖．根據以上信息解答下列問題：（1）回收的問卷數為份，“嚴加干涉”部分對應扇形的圓心角度數為．（2）把條形統計圖補充完整（3）若將“稍加詢問”和“從來不管”視為“管理不嚴”，已知全校共1500名學生，請估計該校對孩子使用手機“管理不嚴”的家長大約有多少人？19．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F．（1）求證：AB=AF；（2）當AB=6，BC=10時，求的值．20．如圖，某中學九年級數學興趣小組測量校內旗桿AB的高度，在C點測得旗桿頂端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到達D點，在D點測得旗桿頂端A的仰角∠BDA=60°，求旗桿AB的高度．（結果保留根號）21．如圖，一次函數y=﹣x+4的圖象與反比例y=（k為常數，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B（b，1）兩點，（1）求反比例函數的表達式及點A，B的坐標（2）在x軸上找一點，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標．22．四張小卡片上分別寫有數字1、2、3、4，它們除數字外沒有任何區別，現將它們放在盒子里攪勻．（1）隨機地從盒子里抽取一張，求抽到數字3的概率；（2）隨機地從盒子里抽取一張，將數字記為x，不放回再抽取第二張，將數字記為y，請你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結果，并求出點（x，y）在函數y=圖象上的概率．23．如圖，平面直角坐標系中，在四邊形OABC中，BC∥OA，OC=AB，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點P是x軸上一個動點，點P不與點O、A重合，連接CP，點D是邊AB上一點，連接PD．（1）求點B的坐標；（2）若△OCP是等腰三角形，求此時點P的坐標；（3）當點P在邊OA上，∠CPD=∠OAB，且=時，求此時點P的坐標．24．提出問題在一個圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長，我們稱這條直線為這個圖形的“等分積周線”．探究問題（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=4，請你過點C畫出△ABC的一條“等分積周線”，與AB交于點D，并求出CD的長；（2）如圖②，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，過點C畫一條直線CE，其中點E為AB上一點，你覺得CE可能是△ABC的“等分積周線”嗎？請說明理由；解決問題（3）西安市區的環境越來越美，隨處可見的街心花園成為人們休閑的好去處．在某地的街心花園中有一塊如圖③所示的空地ABCD，其中∠A=∠B=90°，AB=4，BC=6，CD=5，現要在這塊空地上修建一條筆直的水渠（渠寬不計），使這條水渠所在的直線既平分四邊形ABCD的周長，又平分四邊形ABCD的面積，且要求這條水渠必須經過BC邊．請你畫出所有滿足條件的水渠，說明理由，并求出該水渠與BC邊的交點到點B的距離．參考答案與試題解析一、選擇題1．比﹣1大1的數是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【考點】有理數的加法．【分析】根據有理數的加法，可得答案．【解答】解：（﹣1）+1=0，故比﹣1大1的數是0，故選：C．2．下列幾何體是由4個相同的小正方體搭成的，其中主視圖和左視圖相同的是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【分析】根據從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【解答】解：A、主視圖是第一層三個小正方形，第二層中間一個小正方形，左視圖是第一層一個小正方形，第二層一個小正方形，故A錯誤；B、主視圖是第一層兩個小正方形，第二層中間一個小正方形，第三層中間一個小正方形，左視圖是第一層一個小正方形，第二層一個小正方形，第三層一個小正方形，故B錯誤；C、主視圖是第一層兩個小正方形，第二層左邊一個小正方形，左視圖是第一層兩個小正方形，第二層左邊一個小正方形，故C正確；D、主視圖是第一層兩個小正方形，第二層右邊一個小正方形，左視圖是第一層一個小正方形，第二層左邊一個小正方形，故D錯誤；故選：C．3．下列運算正確的是（）A．2a2+a=3a3 B．（﹣a）2÷a=a C．（﹣a）3?a2=﹣a6 D．（2a2）3=6a6【考點】同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】A、原式不能合并；B、原式先計算乘方運算，再計算除法運算即可得到結果；C、原式利用冪的乘方及積的乘方運算法則計算得到結果，即可做出判斷；D、原式利用冪的乘方及積的乘方運算法則計算得到結果，即可做出判斷．【解答】解：A、原式不能合并，故A錯誤；B、原式=a2÷a=a，故B正確；C、原式=﹣a3?a2=﹣a5，故C錯誤；D、原式=8a6，故D錯誤．故選：B．4．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，則AE：AC等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5【考點】平行線分線段成比例．【分析】由DE∥CB，根據平行線分線段成比例定理，可求得AE、AC的比例關系．【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB=3：2，∴AE：EC=3：2，∴AE：AC=3：5．故選：D．5．如圖，過反比例函數y=（x＞0）的圖象上一點A作AB⊥x軸于點B，連接AO，若S△AOB=2，則k的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】反比例函數系數k的幾何意義；反比例函數的性質．【分析】根據點A在反比例函數圖象上結合反比例函數系數k的幾何意義，即可得出關于k的含絕對值符號的一元一次方程，解方程求出k值，再結合反比例函數在第一象限內有圖象即可確定k值．【解答】解：∵點A是反比例函數y=圖象上一點，且AB⊥x軸于點B，∴S△AOB=|k|=2，解得：k=±4．∵反比例函數在第一象限有圖象，∴k=4．故選C．6．如圖，菱形ABCD的周長為8cm，高AE長為cm，則對角線AC長和BD長之比為（）A．1：2 B．1：3 C．1： D．1：【考點】菱形的性質．【分析】首先設設AC，BD相較于點O，由菱形ABCD的周長為8cm，可求得AB=BC=2cm，又由高AE長為cm，利用勾股定理即可求得BE的長，繼而可得AE是BC的垂直平分線，則可求得AC的長，繼而求得BD的長，則可求得答案．【解答】解：如圖，設AC，BD相較于點O，∵菱形ABCD的周長為8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE長為cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB==（cm），∴BD=2OB=2cm，∴AC：BD=1：．故選D．7．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x經過點A，作AB⊥x軸于點B，將△ABO繞點B逆時針旋轉60°得到△CBD．若點B的坐標為（2，0），則點C的坐標為（）A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）【考點】坐標與圖形變化﹣旋轉；一次函數圖象上點的坐標特征．【分析】作CH⊥x軸于H，如圖，先根據一次函數圖象上點的坐標特征確定A（2，2），再利用旋轉的性質得BC=BA=2，∠ABC=60°，則∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出CH=BC=，BH=CH=3，所以OH=BH﹣OB=3﹣2=1，于是可寫出C點坐標．【解答】解：作CH⊥x軸于H，如圖，∵點B的坐標為（2，0），AB⊥x軸于點B，∴A點橫坐標為2，當x=2時，y=x=2，∴A（2，2），∵△ABO繞點B逆時針旋轉60°得到△CBD，∴BC=BA=2，∠ABC=60°，∴∠CBH=30°，在Rt△CBH中，CH=BC=，BH=CH=3，OH=BH﹣OB=3﹣2=1，∴C（﹣1，）．故選：A．8．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高．若AB=5，AC=3，則tan∠BCD為（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數的定義；勾股定理．【分析】易證∠BCD=∠A，則求cos∠BCD的值就可以轉化為求∠A的三角函數值．從而轉化為求△ABC的邊長的比．【解答】解：由勾股定理得，BC==4，由同角的余角相等知，∠BCD=∠A，∴tan∠BCD=tan∠A==，故選A．9．如圖，四邊形ABCD和四邊形BEFD都是矩形，且點C恰好在EF上．若AB=1，AD=2，則S△BCE為（）A．1 B． C． D．【考點】矩形的性質．【分析】根據題意可得出△BCD的面積占矩形BDFE的一半，再根據CD：BC=AB：AD=1：2可得出△BCE和△DCF的面積比，從而可求出S△BCE．【解答】解：由題意得：△BCD的面積占矩形BDFE的一半，∴S△BCD=1，∴S△BCE+S△CDF=1，又∵CD：BC=AB：AD=1：2，∴S△BCE：S△CDF=4：1，故可得S△BCE=．故選D．10．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F是線段BC上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是（）A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4【考點】翻折變換（折疊問題）．【分析】當∠BFE=∠B'FE，點B′在DE上時，此時B′D的值最小，根據勾股定理求出DE，根據折疊的性質可知B′E=BE=2，DE﹣B′E即為所求．【解答】解：如圖，當∠BFE=∠B'FE，點B′在DE上時，此時B′D的值最小，根據折疊的性質，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB邊的中點，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AD=6，∴DE==2，∴DB′=2﹣2．故選：A．二、填空題11．一元二次方程x2﹣3x=0的根是x1=0，x2=3．【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．【解答】解：x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，∴x1=0，x2=3．故答案為：x1=0，x2=3．12．請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一題計分．A．在平面直角坐標系中，線段AB的兩個端點的坐標分別為A（﹣2，1）、B（1，3），將線段AB經過平移后得到線段A'B'．若點A的對應點為A'（﹣3，2），則點B的對應點B'的坐標是（0，4）．B．比較8cos31°＞．（填“＞”、“=”或“＜”）【考點】解直角三角形；實數大小比較；坐標與圖形變化﹣平移．【分析】A、根據A點的坐標及對應點的坐標可得線段AB向左平移6個單位，向下平移了1個單位，然后可得B′點的坐標；B、分別求出8cos31°與的近似值，再比較即可．【解答】解：A、∵A（﹣2，1）平移后得到點A′的坐標為（﹣3，2），∴向左平移1個單位，向上平移了1個單位，∴B（1，3）的對應點坐標為（1﹣1，3+1），即B'（0，4）；B、解：∵8cos31°≈8×0.8572=6.8576，≈5.9161，∴8cos31°＞的．故答案為：（0，4），＞．13．如圖，平行四邊形ABCD中，A（﹣1，0），B（0，﹣2），頂點C、D在雙曲線y=（x＞0）上，邊AD交y軸于點E，若點E恰好是AD的中點，則k=4．【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征；平行四邊形的性質．【分析】設點D的坐標為（m，n），根據平行四邊形的性質結合點A、B、D的坐標即可得出點C的坐標為（m+1，n﹣2），由點E為線段AD的中點可得出m=﹣1，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出k=n=2（n﹣2），解之即可得出k值．【解答】解：設點D的坐標為（m，n），則點C的坐標為（m+1，n﹣2），∵邊AD交y軸于點E，點E恰好是AD的中點，∴m=1．∵k=mn=（m+1）（n﹣2），即k=n=2（n﹣2），解得：n=k=4．故答案為：4．14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，若AD=6，BC=14，則四邊形ABCD面積的最大值是100．【考點】平行四邊形的判定與性質；等腰三角形的性質．【分析】先判斷出四邊形ABCD的面積等于三角形BDE的面積，再求出BE，最后判斷出三角形BDE是等腰直角三角形時，面積最大，用三角形的面積公式求出即可．【解答】解：如圖，過D作DE∥AC，交BC延長線于E．∴四邊形ACED為平行四邊形，由等底同高的兩三角形面積相等，得出S△ABD=S△DCE，∴S四邊形ABCD=S△BDE，∵AC⊥BD，∴△BDE為直角三角形，∵AD=6，BC=14，∴BE=20．∵S四邊形ABCD=S△BDE，∴當△BDE為等腰直角三角形時，面積最大，∴，故答案為100．三、解答題15．計算：（1）sin260°+cos260°﹣tan45°；（2）|﹣|+﹣4cos45°+2sin30°．【考點】實數的運算；特殊角的三角函數值．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函數值計算即可得到結果；（2）原式利用絕對值的代數意義，