重難點專題05三角形中的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：周長問題題型二：面積問題題型三：長度問題題型四：轉化為角范圍問題題型五：倍角問題題型六：與正切有關的最值問題題型七：最大角問題題型八：三角形中的平方問題題型九：等面積法、張角定理【方法技巧與總結】1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；(4)根據三角形解的個數求范圍或最值；(5)利用二次函數求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數的定義域)找完善，避免結果的范圍過大.2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：(1)求角的最值；(2)求邊和周長的最值及范圍；(3)求面積的最值和范圍.【典例例題】題型一：周長問題【例1】（2024·湖北武漢·高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的值；(2)若，求的周長最小值.【變式11】（2024·江蘇南京·高二校考階段練習）在銳角中，，，（1）求角；（2）求的周長l的范圍.注：在①，且，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并對其進行求解.【變式12】（2024·山西運城·高二校考階段練習）在銳角中，內角A、B、C，的對邊分別是a、b、c，且(1)求角A的大?。?2)若，求周長的范圍.【變式13】（2024·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）在銳角中，三個內角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，求周長的范圍.題型二：面積問題【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學?？奸_學考試）在中，角所對的邊分別為，且滿足.(1)已知為線段上一點，且滿足，若，求的長；(2)若為銳角三角形，求面積的范圍.【變式21】（2024·河南開封·高二校聯考期中）在銳角中，內角，，的對邊分別為，，．且滿足：．(1)求角的大??；(2)若時，求面積的范圍．【變式22】（2024·湖南長沙·高二長沙市明德中學?？茧A段練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若角的平分線交于點，且，求面積的最小值．【變式23】（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求A；(2)若，求面積的最大值.題型三：長度問題【例3】（2024·江西宜春·高二?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)已知，且角有兩解，求的范圍.【變式31】（2024·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習）銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的值；(2)若，D為AB的中點，求中線CD的范圍．【變式32】（2024·河南濮陽·高二校聯考期末）已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量＝(cosB，cosC)，＝(2a＋c，b)，且⊥．(1)求角B的大小；(2)若b＝，求a＋c的范圍．【變式33】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學?？奸_學考試）在中，角所對的邊分別是，且滿足，則的最大值為.【變式34】（2024·貴州黔東南·高二統考期末）在中，角的對邊分別為，若，且，則的最大值為.題型四：轉化為角范圍問題【例4】（2024·陜西渭南·高二渭南市瑞泉中學?？茧A段練習）在，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等差數列.(1)證明：成等差數列；(2)求角B的范圍.【變式41】（2024·浙江嘉興·高二?？计谥校┰谥校瑑冉?、、所對的邊分別為、、.已知.（1）求角的大?。唬?）若，，求角的大小；（3）求的范圍.【變式42】（2024·浙江臺州·高一校聯考期中）已知在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且滿足．(1)判斷角B與角C的關系，并說明理由；(2)若，求的范圍．【變式43】（2024·山東臨沂·高一校考期末）記的內角的對邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求的范圍.題型五：倍角問題【例5】（2024·安徽·高三校聯考階段練習）在銳角中，內角所對的邊分別為，且.(1)證明：；(2)若，求的周長的取值范圍.【變式51】（2024·全國·模擬預測）在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【變式52】（2024·重慶·高三西南大學附中校聯考階段練習）在中，內角所對的邊分別為，滿足(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的最大值．題型六：與正切有關的最值問題【例6】（2024·湖南衡陽·高三衡陽市八中校聯考階段練習）在中，為邊上的高，已知.(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值及取最小值時k的值.【變式61】銳角是單位圓的內接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型七：最大角問題【例7】（2024·山東濱州·統考二模）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.【變式71】（2024·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂離地面12米，樹上另一點離地面8米，若在離地面2米的處看此樹，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式72】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）1471年米勒提出了一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長即可見角最大后人稱其為“米勒問題”.我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為直線l上兩點A，，則上述問題可以轉化為如下模型：如圖1，直線l垂直于平面，l上的兩點A，B位于平面同側，求平面上一點C，使得最大.建立圖2所示的平面直角坐標系.設，當最大時，（

）A．2ab B． C． D．ab【變式73】（2024·安徽·高三校聯考階段練習）1471年德國數學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角），這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（

）A． B．C． D．題型八：三角形中的平方問題【例8】（2024·浙江湖州·高三統考期末）已知實數，，滿足，則的最小值是A． B． C．1 D．【變式81】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習）在中，，，所對的邊長為，，，的面積為，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式82】（2024·全國·高三專題練習）設為的三邊，為的面積，若，則的最大值為．【變式83】（2024·四川成都·高一成都外國語學校?？茧A段練習）在中，a，b，c為三邊，若，則面積的最大值為.【變式84】（2024·河南鄭州·校聯考模擬預測）在中，角、、的對邊分別為、、，設的面積為，若，則的最大值為．【變式85】（2024·安徽·南陵中學校聯考模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是.題型九：等面積法、張角定理【例9】（2024·湖北·高一校聯考階段練習）在中，角??所對的邊分別為??，，的平分線交于點，且，則的最小值為.【變式91】（2024·新疆伊犁·高一奎屯市第一高級中學統考期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則