湖南省2024屆高三九校聯盟第一次聯考

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知集合A=W以+1=°}，5={1，2}"?=4,則滿足條件的實數”的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

2.如果復數z=m2+m一是純虛數，〃7￡R,i是虛數單位，則（）

A.加工1且加/一2B.m=1

Cm=—2D.m=1或機=-2

cos26_41

3.已知.（兀）=7,貝iJsin26>=（

sine+一

I4j

1515

A.—B.---

1616

4.某農機合作社于今年初用98萬元購進一臺大型聯合收割機，并立即投入生產.預計該機第一年（今年）

的維修保養費是12萬元，從第二年起，該機每年的維修保養費均比上一年增加4萬元.若當該機的年平均

耗費最小時將這臺收割機報廢，則這臺收割機的使用年限是（）

A.6年B.7年C.8年D.9年

5.設函數/（x）=JJsin?x-,若函數y=g（x）與y=/（x）的圖象關于直線x=l對稱，則當

4

0,-時，y=g（x）的最大值為（）

A.6B.V3\_D.0

2

6.將一個棱長為4的正四面體同一側面上的各棱中點兩兩連接，得到一多面體，則這個多面體的內切球體

積為（）

,4&8

A.----nB.-itC-MD.

33

7.在一ABC中，點。滿足AO=2DB,E為△BCD重心，設8C=m,AC=〃，則AE可表示為（）

1212

A.—m+—nB.——m+—n

3333

5858

C.——m+—nD.—m+—n

9999

22

8.如圖，已知雙曲線。：=-4=1（”乃＞0）的左、右焦點分別為K，F2,過G的直線與。分別在第一、

CTb~

二象限交于A,8兩點，AAB瑪內切圓半徑為，，若忸用=r=a,則C的離心率為（）

.V10R275「而口屈

2345

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.下列說法正確的是（）

A.已知隨機變量自服從二項分布：J設〃=2J+1,則〃的方差￡＞（"）=3

B.數據1,3,5,7,9,11,13的第60百分位數為9

C.若樣本數據玉，Z的平均數為2,則3%+2,3/+2,,3"+2的平均數為8

D.用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是4

10.已知4+V=i12：（》-5）2+V=9,則（）

4

A.與人,，2均有公共點的直線斜率最大為］

B.與/［，乃均有公共點的圓的半徑最大為4

C.向小乃引切線，切線長相等的點的軌跡是圓

D.向/,引兩切線的夾角與向右引兩切線的夾角相等的點的軌跡是圓

11.已知函數/（x）=cosx+----,則（）

cos2x

A.的圖象關于直線》=兀軸對稱

B.“X）的圖象關于點g,。）中心對稱

C.“X）的所有零點為（2左+1）兀，左eZ

D./（x）是以兀為周期的函數

12.英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點.如圖，在橫坐標為七的點處作/（x）的切線，切

線與x軸交點的橫坐標為巧；用乙代替毛重復上面的過程得到七；一直下去，得到數列｛當｝，叫作牛頓

JQ+2

數列.若函數/'（%）=/-％-6,4,=111七1且4=1,%>3,數列｛4｝的前〃項和為S“，則下列說法正

4—5

確的是（）

Ax=x〃當）

B.數列｛《,｝是遞減數列

川"f'M

2023

C.數列｛%｝是等比數列D.52023=2-1

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知函數/（x）=log4（4'+l）+"（ZeR）是偶函數，貝必=

14.已知第一象限內的點P（a,b）在直線x+y=l上，則JZ+標的最大值是.

15.把個位、十位、百位上的數依次成等差數列（公差小于0）的三位數稱為“下階梯數”，則所有的“下階梯

數”共有個.

2

16.如圖所示，有兩個相同的直三棱柱，高為底面三角形的三邊長分別為3m4a,5a（a>0）.用它

們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則。的取值范圍是

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.在.ABC中，角A,8,C所對邊分別為已知2acos3-Z?cosC=ccosB.

（1）求的大小；

（2）若a=2,c=3,直線尸。分別交AB,BC于P,。兩點，且尸。把的面積分成相等的兩部分,

求|PQ|的最小值.

18.如圖，四棱柱ABCD-AgCQi的底面ABCQ是正方形，A3=A&=J5,平面B8QQ.

(1)求點4到平面ABC。的距離；

(2)若“是線段上一點，平面M4C與平面夾角的余弦值為巫時，求警的值.

5BB]

.21I

19.已知數列(｛4｝的前〃項積為"，且丁+丁=1.

⑴證明：出｝等差數列；

8

(2)設％=1+色_[)僅+3)，數列￡｝的前w項和為S“，定義國為不超過x的最大整數，例如

[0.2]=0,[3.4]=3,求｛[5“]｝的前〃項和小

20.從今年起，我國將于每年5月第四周開展“全國城市生活垃圾分類宣傳周”活動，首屆全國城市生活垃

圾分類宣傳周時間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類成為新時尚“，在此宣傳周期間，

某社區舉行了一次生活垃圾分類知識比賽.要求每個家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測試A,B,C

三個項目，三個測試項目相互不受影響.

(1)若某居民甲在測試過程中，第一項測試是等可能的從A,B,C三個項目中選一項測試，且他測試

311

A,B,C三個項目“通過”的概率分別為二,一,一.己知他第一項測試“通過”，求他第一項測試選擇的項目是A

522

的概率；

(2)現規定：三個項目全部通過獲得一等獎，只通過兩項獲得二等獎，只通過一項獲得三等獎，三項都

沒有通過不獲獎.已知居民乙選擇A-5-C的順序參加測試，且他前兩項通過的概率均為〃，第三項通過

的概率為從若他獲得一等獎的概率為2，求他獲得二等獎的概率P