20192020學年第二學期高二理科數學第一次月考試題一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1.一個物體的位移s關于時間t的運動方程為s=1－t+t2，其中s的單位是：m，t的單位是：s，那么物體在t=3s時的瞬時速度是A.5m／s B.6m／s C.7m／s D.8m／s【答案】A【解析】【分析】由位移關于時間的運動方程為，則，代入，即可求解．【詳解】由題意，位移關于時間的運動方程為，則，當時，，故選A．【點睛】本題主要考查了瞬時變化率的計算，其中解答中熟記瞬時變化率的計算公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．2.用反證法證明命題：“若能被3整除，那么中至少有一個能被3整除”時，假設應為（）A.都能被3整除 B.都不能被3整除C.不都能被3整除 D.不能被3整除【答案】B【解析】【分析】根據反證法的步驟和命題的否定，直接對“中至少有一個能被3整除”的進行否定即可.【詳解】因為“至少有n個”的否定為“至多有n1個”.“中至少有一個能被3整除”的否定是：“都不能被3整除”，故應假設都不能被3整除.故本題答案為B.【點睛】反證法即首先假設命題反面成立，即否定結論，再從假設出發，經過推理得到矛盾，得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證命題成立.故用反證法證明命題時，應先假設命題的否定成立.反證法的適用范圍是：（1）否定性命題；（2）結論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復雜，而反面情況較少.3.復數滿足，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先由條件有，求出復數，再求復數的模.【詳解】由，則所以故選：C【點睛】本題考查復數的運算，復數的模，是基礎題.4.曲線在點處的切線與直線垂直，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】曲線在點處的切線與直線垂直，則切線斜率為，利用導數計算可得答案．【詳解】設，曲線在點處的切線斜率為解得，故選：B【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查學生計算能力，屬于基礎題．5.用數學歸納法證明“”，在驗證是否成立時，左邊應該是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析題目在驗證是否成立時，把代入左邊，即可得出結果.【詳解】用數學歸納法證明“”，在驗證時，把代入，左邊.故選：C.【點睛】本題主要考查數學歸納法，屬于基礎題.6.函數f(x)在點x0處存在導數，則“”是“為函數極值點”的（）A.充分必要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分而不必要條件 D.必要而不充分條件【答案】D【解析】【分析】本題先判斷充分性不成立，再判斷必要性成立，即可給出答案.【詳解】解：充分性：當時，若恒成立，則不是函數極值點，所以充分性不成立；必要性：若為函數極值點，且函數f(x)在點x0處存在導數，則，所以必要性成立.綜上：“”是“為函數極值點”的必要而不充分條件.故選：D.【點睛】本題考查充分條件與必要條件，是基礎題.7.給出下列三個類比結論：①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(＋)2類比，則有(＋)2＝2＋2·＋2.其中結論正確的個數是（）．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據各個題干的不同情況進行分類討論，逐個排除即可得解.【詳解】對①，舉一反例，時，，矛盾，故①錯；對②，事實上，故②錯；對③，向量可以進行完全平方的運算，故③正確.故選：B.【點睛】本題考查了類比推理，類比推理的原則是兩命題的邏輯關系的相似性，由橫向和縱向兩個方向，在判斷過程中注意可行性和正確性，本題屬于簡單題.8.如圖是f(x)的導函數f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數為（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據極值點的定義，結合導函數的圖象判斷即可.【詳解】由導函數f′(x)的圖象知在x＝－2處f′(－2)＝0，且其兩側導數符號為左正右負，x＝－2是極大值；在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側導數符號為左負右正，x＝－1是極小值；在x＝－3處f′(2)＝0，且其兩側導數符號為左正右負，x＝2是極大值；所以f(x)的極小值點的個數為1，故選：A【點睛】本題主要考查極值點的定義以及數形結合思想的應用，屬于基礎題.9.設函數，則（）A.為的極大值點 B.為的極小值點C.為的極大值點 D.為的極小值點【答案】D【解析】試題分析：因為，所以．又，所以為的極小值點．考點：利用導數研究函數的極值；導數的運算法則．點評：極值點的導數為0，但導數為0的點不一定是極值點．10.若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：，∵函數在區間單調遞增，∴在區間上恒成立．∴，而在區間上單調遞減，∴．∴的取值范圍是．故選D．考點：利用導數研究函數的單調性.11.已知函數的圖象與軸恰有兩個公共點，則A.或2 B.或3 C.或1 D.或1【答案】A【解析】【分析】利用導數判斷函數的單調性求出極值點為，利用或可得結果.【詳解】因為,所以f(x)增區間為,減區間為,所以的極大值為，極小值為，因為函數的圖象與軸恰有兩個公共點,所以只須滿足或，即或,故選A.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數的極值以及函數的零點，屬于中檔題.對于與“三次函數”的零點個數問題，往往考慮函數的極值符號來解決,設函數的極大值為，極小值為：一個零點或；兩個零點或；三個零點且.12.若a＞0，b＞0，且函數f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】試題分析：求出導函數，利用函數在極值點處的導數值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因為在x=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當且僅當a=b=3時取等號所以ab的最大值等于9故選D點評：本題考查函數在極值點處的導數值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.定積分=_________．【答案】【解析】【解析】令，則表示以坐標原點為圓心，為半徑在軸上方的圓，由定積分的幾何意義，得：定積分，綜上所述，答案是：.14.已知函數的圖像在點處的切線方程是，則____.【答案】【解析】【分析】由切線的方程找出切線的斜率，代入得到的值，又切點在切線方程上，所以把代入切線方程，求出的的值即為，進而可得結果．【詳解】由切線方程，得到斜率，即，又切點在切線方程上，所以把代入切線方程得，解得，即，則，故答案為.【點睛】本題主要考查學生會利用導數求曲線上在某點切線方程的斜率，是一道基礎題．15.已知，則=________.【答案】2【解析】試題分析：把給出的函數求導，在其導函數中取x=2，則f′（2）可求．解：由f（x）=x2+3xf′（2），得：f′（x）=2x+3f′（2），所以，f′（2）=2×2+3f′（2），所以，f′（2）=﹣2．故答案為﹣2．考點：導數的運算．16.觀察下列等式：根據上述規律，第四個等式為.【答案】=【解析】三、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共6小題，70分）17.求曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積.【答案】【解析】【分析】先計算交點的橫坐標，再利用定積分計算得到答案.【詳解】曲線與直線所圍成的封閉圖形如圖，由，得，面積.所以曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為.【點睛】本題考查了定積分計算面積，意在考查學生的計算能力和應用能力，屬于基礎題.18.數列滿足.（1）計算并由此猜想通項公式；（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由遞推關系，求出前幾項，得出規律，即可猜想出通項公式；（2）根據數學歸納法的一般步驟，逐項證明，即可得出結論成立.【詳解】（1）當時，，.當時，，.當時，，.當時，，.由此猜想.（2）證明①當時，左邊，右邊，左邊＝右邊，結論成立.②假設（且）時，結論成立，即，那么時，，，，這表明時，結論成立，由①②知猜想成立.【點睛】本題主要考查由前幾項歸納數列通項公式，考查數學歸納法，屬于常考題型.19.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數在區間上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）根據曲線在點處的切線方程的斜率為即可求解；（2）討論的正負來判斷的單調性，進而得到最值.【詳解】（1）因為，所以.又因為，所以曲線在點處的切線方程為.（2）設，則，當時，，所以在區間上單調遞減，所以對任意有，即，所以函數在區間上單調遞減，因此在區間上的最大值為，最小值為.【點睛】本題主要考查導數在研究函數中的應用,利用單調性求最值.20.已知函數，曲線在點處切線方程為．（1）求的值；（2）討論的單調性，并求的極大值．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）求導函數，利用導數的幾何意義及曲線在點處切線方程為，建立方程，即可求得，的值；（2）利用導數的正負，可得的單調性，從而可求的極大值．試題解析：（1）．由已知得，．故，．從而，．（2）由（1）知，，．令得，或．從而當時，；當時，．故在，上單調遞增，在上單調遞減．當時，函數取得極大值，極大值為．考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．【方法點晴】本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．求極值的步驟是：(1)確定函數的定義域；(2)求導數；(3)解方程，求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢驗在的根左右兩側值的符號，如果左正右負，那么在處取極大值，如果左負右正，那么在處取極小值．21.已知函數．（Ⅰ）求的單調區間；（Ⅱ）求在區間上的最小值．【答案】（Ⅰ）單調遞減區間是（）；單調遞增區間是（Ⅱ）見解析【解析】【詳解】（Ⅰ）令，得．與的情況如下：x

（）

（

—

0

+

↗

↗

所以，的單調遞減區間是（）；單調遞增區間是（Ⅱ）當，即時，函數在[0，1]上單調遞增，所以（x）在區間[0，1]上的最小值為當時，由（Ⅰ）知上單調遞減，在上單調遞增，所以在區間[0，1]上的最小值為；當時，函數在[0，1]上單調遞減，所以在區間[0，1]上的最小值為22.設函數f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．（1）若a＝1，求函數f(x)的單調區間；（2）若函數f(x)在區間(0，1]上是減