試卷第=page22頁，共=sectionpages66頁試卷第=page11頁，共=sectionpages66頁01導數的概念及其意義（經典常考題）-高二下學期數學同步重點專題練習（人教A版，2019新版）一、單選題1．（2023下·北京房山·高二統考期末）函數在上的平均變化率是（

）A． B． C． D．2．（2023下·北京海淀·高二統考期末）下列四個函數中，在區間上的平均變化率最大的為（

）A． B．C． D．3．（2023下·北京東城·高二統考期末）如圖，曲線在點處的切線為直線，直線經過原點，則（

）

A． B． C． D．4．（2023下·北京海淀·高二人大附中期末）函數在附近的平均變化率是（）A． B．C． D．5．（2022下·北京西城·高二統考期末）設P為曲線上一點，Q為曲線上一點，則|PQ|的最小值為（

）A． B．1 C． D．26．（2022下·北京順義·高二統考期末）降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風換氣時間（t）的關系如下圖所示.則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．7．（2022下·北京順義·高二統考期末）已知函數的部分圖象如圖所示，其中為圖上三個不同的點，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．8．（2022下·北京房山·高二統考期末）已知函數，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2022下·北京通州·高二統考期末）已知定義在上的函數的圖象在點處的切線方程為，則等于（

）A． B． C． D．110．（2022下·北京豐臺·高二統考期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系.該運動員在t=1s時的瞬時速度（單位：m/s）為（

）A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-511．（2022下·北京大興·高二統考期末）為響應國家節能減排號召，甲、乙兩個工廠進行了污水排放治理，已知某月內兩廠污水的排放量W與時間t的關系圖如圖所示（為月末時間）.則該月內：①甲廠污水排放量逐漸減少；②乙廠的污水排放量比甲廠減少得更多；③乙廠總比甲廠的污水排放量減少得更快.其中正確說法的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．（2022下·北京·高二北京市十一學校校考期末）函數的圖象在處的切線對應的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．.13．（2021下·北京·高二北京交通大學附屬中學校考期末）已知函數，其導函數的圖像如圖所示，則函數的圖像可能是（

）A． B．C． D．14．（2021下·北京·高二首都師范大學附屬中學校考期末）對于以下四個函數：①；②；③；④．在區間上函數的平均變化率最大的是（

）A．① B．② C．③ D．④15．（2021下·北京·高二北京二十中校考期末）函數y＝f(x)在x＝0處的切線l經過點（1，0），如圖所示，則（

）A．0 B．－1 C．1 D．216．（2020下·北京西城·高二統考期末）函數在處的瞬時變化率為（

）A．2 B． C． D．117．（2020下·北京西城·高二統考期末）曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．18．（2020下·北京海淀·高二人大附中校考期末）曲線在點處的切線斜率為8，則實數的值為（

）A． B．6 C．12 D．19．（2020下·北京海淀·高二人大附中校考期末）一質點做直線運動，若它所經過的路程與時間的關系為（的單位：m，t的單位：s），則時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．20．（2020下·北京朝陽·高二統考期末）已知函數，，若存在使得，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．21．（2020下·北京朝陽·高二統考期末）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．22．（2020下·北京海淀·高二人大附中校考期末）設點P是曲線上的任意一點，P點處的切線傾斜角為，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、填空題23．（2022下·北京東城·高二統考期末）設函數，，，當自變量從0變到1時，它們的平均變化率分別記為，，，則，，之間的大小關系為（用“>”“<”“=”連接）；三個函數中在處的瞬時變化率最大的是.24．（2022下·北京·高二北京市十一學校校考期末）曲線在點處的切線方程為.25．（2021下·北京延慶·高二統考期末）曲線在處切線的斜率為.26．（2021下·北京密云·高二統考期末）已知a，b為正實數，直線與曲線相切，則a與b滿足的關系式為．的最小值為．27．（2020下·北京·高二統考期末）曲線在點處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積為.三、解答題28．（2022下·北京房山·高二統考期末）已知函數在處的切線l．(1)求切線l的方程；(2)在同一坐標系下畫出的圖象，以及切線l的圖象；(3)經過點作的切線，共有___________條．（填空只需寫出答案）29．（2020下·北京通州·高二統考期末）已知函數．（1）求曲線在點（0，f（0））處的切線方程；（2）求在[1，2]上的最大值和最小值．30．（2021下·北京·高二統考期末）已知函數．（1）求曲線在處的切線方程；（2）證明：當時，．答案第=page1212頁，共=sectionpages1212頁答案第=page1111頁，共=sectionpages1111頁參考答案：1．C【分析】根據平均變化率概念直接計算即可.【詳解】由題意得平均變化率為，故選：C.2．B【分析】根據平均變化率的計算即可比較大小求解.【詳解】對于A，在上的平均變化率為，對于B，在上的平均變化率為，對于C,在上的平均變化率為，對于D，在上的平均變化率為，由于，故在上的平均變化率最大，故選：B3．C【分析】根據導數的意義及直線的斜率公式求解即可.【詳解】由題意，，且，所以.故選：C.4．C【分析】令，根據，結合函數的解析式，即可用表示出，接下來再求，并將代入計算即可求得答案.【詳解】令，因為，所以，則在附近的平均變化率是，故選：C.5．C【分析】由導數求出兩曲線的切線【詳解】，，時，，，所以是圖象的一條切線，切點為，，，時，，，所以是的圖象的一條切線，切點為，，這兩條切線平行，兩切點連線恰好與切線垂直，|PQ|的最小值即為兩切點間的距離．所以，故選：C．6．C【分析】連接圖上的點，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；【詳解】解：如圖分別令、、、、所對應的點為、、、、，由圖可知，所以內空氣中微生物密度變化的平均速度最快；故選：C7．B【分析】結合函數圖形及導數的幾何意義判斷即可；【詳解】解：由圖可知函數在點的切線斜率小于，即，在點的切線斜率等于，即，在點的切線斜率大于，即，所以；故選：B8．A【分析】直接利用導數的定義求解即可.【詳解】由題意，故選：A.9．D【分析】根據導數的幾何意義即可得解.【詳解】由函數的圖象在點處的切線方程為知，，故選：D10．D【分析】先對函數求導，然后把代入即可求解．【詳解】解：因為，所以，令，得瞬時速度為．故選：D.11．A【分析】根據圖形逐一分析各個命題即可得出答案.【詳解】解：由圖可知，甲廠污水排放量逐漸減少，故①正確；乙廠的污水排放量比甲廠減少得更多，故②正確，在接近時，甲工廠污水排放量減少得比乙的更加快，故③錯誤.故選：A.12．D【分析】先求導，通過導數的幾何意義得到函數在處的切線斜率，再利用二倍角公式和平方關系式得到的值．【詳解】因為，所以，當時，，此時，∴．故選：D.13．D【分析】由導函數的圖像分析原函數切線斜率，結合選項依次判斷即可.【詳解】由導函數圖像可知，原函數在區間的切線斜率逐漸減小，在處的切線斜率為1，在區間的切線斜率逐漸增大，結合選項可知，A、B選項不滿足在處的切線斜率為1，排除；C選項在區間的切線斜率先減小再增大，排除；D選項滿足要求.故選：D.14．C【分析】分析求出四個函數的平均變化率，然后比較即可.【詳解】①，②，③，④．故選：C．15．B【分析】根據導數的幾何意義求出在處的切線方程，進而求出；結合圖像可得在處的切線的斜率等于0，從而得出結果.【詳解】由題意，得在處的切點為，所以在處的切線l方程為：，即，又l過點，所以；結合圖像，在處的切線的斜率等于0，所以，所以.故選：B16．B【解析】函數在某點處的瞬時變化率即為函數在改點的導數值，求導得解【詳解】，所以函數在處的瞬時變化率為故選：B【點睛】本題考查函數在某點處的導數值，屬于基礎題.17．A【解析】求出函數在處的導數值，即切線斜率，即可求出切線方程.【詳解】，，當時，，故切線斜率為，切線方程為，即.故選：A.【點睛】本題考查利用導數求切線方程，屬于基礎題.18．A【解析】先求導函數,再利用導數的幾何意義,建立方程,即可求得的值.【詳解】由，得，則曲線在點處的切線斜率為，得.故選：A.【點睛】本題考查導數的幾何意義，函數導數的計算，考查學生的計算能力，屬于基礎題.19．D【解析】利用導數求瞬時速度即可【詳解】∵，∴故選：D【點睛】本題考查利用導數求瞬時速度，屬于基礎題.20．B【分析】利用，把問題轉化為與在有交點，利用數形結合進行分析，即可求解【詳解】，所以，，即與在有交點，分情況討論：①直線過點，即，得；②直線與相切，設切點為，得，切點為，故實數a的取值范圍是故選：B【點睛】本題考查函數方程的交點問題，主要考查學生的數形結合能力，屬于中檔題21．A【解析】首先求函數在處的導數，再根據導數的幾何意義求切線方程.【詳解】，，根據導數的幾何意義可知曲線在處的切線的斜率，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：A【點睛】本題考查導數的幾何意義，重點考查計算能力，屬于基礎題型.22．A【解析】先求函數的導數的范圍，即曲線斜率的取值范圍，從而求出切線的傾斜角的范圍．【詳解】由函數得設，則曲線在點P處的切線的斜率又點P處的切線傾斜角為α，則.又，所以故選：A.【點睛】本題考查導數的幾何意義，直線的傾斜角與斜率，屬于基礎題.23．/【分析】（1）根據平均變化率的定義求解即可；（2）求導判斷在處的導函數的值的大小即可【詳解】（1）由題意，，，，故；（2）由題意，，，，故，，，故三個函數中在處的瞬時變化率最大的是故答案為：；.24．.【分析】根據導數的幾何意義進行求解即可.【詳解】因為，所以，而，，因此曲線在點處的切線方程為：，故答案為：.25．【分析】求導可得，代入數據，即可得答案.【詳解】因為，所以，所以，即曲線在處切線的斜率為.故答案為：26．【分析】求出原函數的導函數，結合在切點處的斜率值是2，求出切點，得到切線方程，求得，然后利用基本不等式求的最小值．【詳解】解：由，得，因此曲線在切點處的切線的斜率等于2，，即，此時．則切點為，所以相應的切線方程為，則，．又，，．當且僅當時上式等號成立．故答案為：；．27．【解析】由導數的幾何意義可得切線的斜率，進而可得切線的方程，即可得解.【詳解】由題意，，當時，，所以曲線在點處的切線斜率為2，所以該切線方程為即，易得該切線與坐標軸的交點分別為，，所以該切線與坐標軸圍成的三角形面積.故答案為：.28．(1)；(2)圖象見解析；(3)3.【分析】（1）利用導數的幾何意義求切線方程即可；（2）利用函數解析式畫圖即可；（3）切點未知，設切點，求導數得斜率，表示切線方程，利用過點，得關于的一元三次方程，利用函數性質判斷方程根的個數，從而得切線條數.【詳解】（1）解：，，切點縱坐標為，切線斜率為：故切線l的方程為：；（2）解：如下圖所示：（3）解：設切點坐標為，，所以切線斜率為：所以，故切線方程為：又切線過點，所以，整理得：令，，解得，又，，且，故有三個根.此方程在實數上有三個不同的根，經過點做的切線有3條.故答案為：3.29．（1）；（2）最大值為，最小值為．【分析】（1）利用導數的幾何意義求切線方程，（2）利用二次函數的性質求其最值【詳解】（1）由，得，所以切線的斜率為，因為，所以所求切線方程為，即，（2）因為的對稱軸為，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值，當或時，取得最大值30．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先求解出，然后求解出，根據直線的點斜式方程求解出切線方程；（2）采用分類討論的方法進行分析：、、