2023-2024年池州名校九年級下學期開學考數學試題注意事項：1．數學試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．4．考試結束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，每小題都給出A，B，C，D四個選項，其中只有一個選項是正確的）1.下列圖形中．是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．【詳解】A．原圖是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B．原圖軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C．原圖是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選不項符合題意；D．原圖不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意．故選：D．2.在中，，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查正切值的計算方法，掌握直角三角形中正切函數的定義是解題的關鍵．根據題意作圖，再根據正切值的計算方法即可求解．【詳解】解：根據題意作圖如下，∴，故選：．3.若兩個相似三角形的對應高之比為，則這兩個三角形的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．根據“相似三角形的性質：相似三角形的面積比等于相似比的平方”，求解即可．【詳解】解：相似三角形的對應高之比為，這兩個三角形的面積之比為，故選：B．4.二次函數的圖象的頂點坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了求二次函數的頂點坐標，熟練掌握二次函數頂點坐標的求法是解題的關鍵．將二次函數配方，即得答案．【詳解】，該二次函數的圖象的頂點坐標為．故選A．5.在同圓或等圓中，下列說法錯誤的是（）A.等弧對等弦 B.等弧所對的圓心角相等C.等弦所對的圓心角相等 D.等弦所對的圓周角相等【答案】D【解析】【分析】本題考查了同圓或等圓中，弧、弦、圓心角、圓周角的關系．熟練掌握同圓或等圓中，弧、弦、圓心角、圓周角的關系是解題的關鍵．根據同圓或等圓中，弧、弦、圓心角、圓周角的關系對各選項進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，同圓或等圓中，等弧對等弦，A說法正確，故不符合要求；在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等，B說法正確，故不符合要求；在同圓或等圓中，等弦所對的圓心角相等，C說法正確，故不符合要求；在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等或互補，D說法錯誤，故符合要求；故選：D．6.如圖，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像相交于，兩點，已知點的橫坐標為．當時，的取值范圍是（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了反比例函數與正比例函數的交點問題，正確得出，兩點位置關系是解題關鍵．直接利用正比例函數與反比例函數的性質得出，兩點關于原點對稱，進而得出點的橫坐標為，再結合圖像即可求解．【詳解】解：正比例函數的圖像與反比例函數的圖像相交于，兩點，，兩點關于原點對稱，點的橫坐標為，點的橫坐標為，當時，的取值范圍是，故選：B．7.如圖，是的外接圓，是直徑，是的內切圓，連接，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握三角形的外接圓，內切圓的綜合運用是解題的關鍵．根據外接圓，是直徑可得，根據內切圓，可得是角平分線，再結合三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：是外接圓，是直徑，∴，∴在中，，∵是內切圓，∴是的角平分線，∴，∴在中，，故選：B．8.如圖，在矩形中，與交于點O，，，點E是的中點，連接交于點F，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質，三角形相似的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是根據勾股定理先求出，再證明，得出，然后求出，最后求出．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，，，∴，∵E為的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．9.一次函數（a是常數且）和二次函數在同一平面直角坐標系中大致圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一次函數的圖象以及二次函數的圖象，利用一次（二次）函數的圖象排除選項是解題的關鍵．可先根據一次函數的圖象判斷a的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤．【詳解】解：A、由一次函數的圖象可得：，此時二次函數的圖象應該開口向上，對稱軸，故選項正確；B、由一次函數的圖象可得：且，矛盾，故選項錯誤；C、由一次函數的圖象可得：，此時二次函數的圖象應該開口向下，對稱軸，故選項錯誤；D、由一次函數的圖象可得：且，矛盾，故選項錯誤．故選：A．10.如圖，在中，，，點P是上一點，將繞著點C按順時針方向旋轉得到．連接，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查全等三角形，勾股定理，垂線段最短．在上取一點D，使得，連接，利用證明，然后得到當時，有最小值，即有最小值，此時是等腰直角三角形，再根據勾股定理解題即可．【詳解】如圖，在上取一點D，使得，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴．∵，∴，∴，當時，有最小值，即有最小值，此時是等腰直角三角形，在中，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴的最小值為，故選：A．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.已知點是雙曲線上的點，則代數式___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查反比例函數圖象的運用，根據點在反比例函數圖象上可得，代入計算即可求解，掌握反比例函數中關于點坐標計算比例系數的方法是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意得，，∴，∴代數式，故答案為：．12.如圖，已知，若，．則的長為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查的知識點是平行線分線段成比例定理，解題關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．根據平行線分線段成比例定理得出比例式，帶入即可求解．【詳解】解：，，，，，．故答案為：．13.如圖，在中，，，以為直徑作交于點，過點作于點，連接．若，則的面積為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、三角形內角和定理、含角的直角三角形的性質、勾股定理，連接，由等腰三角形的性質結合三角形內角和定理可得，，根據含角的直角三角形的性質結合勾股定理得出，，求出，再由進行計算即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，，是圓的直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．14.已知拋物線（m是常數）．（1）當時，拋物線的對稱軸為___________；（2）若該拋物線不經過第四象限．則m的取值范圍是___________．【答案】①.直線②.【解析】【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，一元二次方程根的判別式等知識．熟練掌握二次函數的圖象與性質，一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．（1）當時，，進而可求該拋物線對稱軸；（2）令時，則，由，可知該方程有兩個實數根，且，，由該拋物線不經過第四象限，且拋物線的開口向上，可知存在以下兩種情況：①當該拋物線與x軸只有一個交點時；②當該拋物線與x軸有兩個交點時，則這兩個交點都位于原點左側時；兩種情況求解作答即可．【詳解】（1）解：當時，，∴該拋物線的對稱軸為直線，故答案為：直線．（2）解：由題意知，，當時，，∴，∴該方程有兩個實數根，且，，∵該拋物線不經過第四象限，且拋物線的開口向上，∴存在以下兩種情況：①當該拋物線與x軸只有一個交點時，，解得；②當該拋物線與x軸有兩個交點時，則這兩個交點都位于原點左側，∴且，解得，綜上所述，m的取值范圍是，故答案為：．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計算：．【答案】1【解析】【分析】本題考查了實數的運算，掌握零指數、實數的運算順序、特殊角的函數值的意義是解決本題的關鍵．先代入特殊角的函數值計算乘方，零指數，最后算加減．【詳解】解：原式．16.如圖，是的弦，點是的中點，連接并反向延長交于點．若，求的半徑．【答案】【解析】【分析】本題主要考查垂徑定理與勾股定理的運用，掌握垂徑定理是解題的關鍵．設的半徑為，根據點是的中點，是過圓心的直線，可得，在中，由勾股定理得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，設的半徑為，則，，∵點是的中點，是過圓心的直線，∴，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴的半徑為．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點都在網格點上，點，的坐標分別為，．（1）將繞點按順時針方向旋轉，得到，畫出；（2）以點為位似中心，在網格內畫出，使，與位似，且相似比為．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查作圖—旋轉變換與位似變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換與位似變換的定義與性質，并據此得出變換后的對應點．（1）將點，分別繞點順時針旋轉得到其對應點，再與點首尾順次連接即可得出答案；（2）根據位似變換的概念作出點，的對應點，再與點首尾順次連接即可．【小問1詳解】如圖，即為所求，【小問2詳解】如圖，即為所求．18.如圖，在中，，，；求證：（1）；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）4【解析】【分析】（1）根據等邊對等角，以及兩組對應角對應相等的三角形相似，即可得證；（2）根據，推出，再根據，利用對應邊對應成比例，求出，進而求出，再利用勾股定理即可得解．【小問1詳解】∵，∴，∵，∴，∴．【小問2詳解】∵∴設，，∴，∵，，∴，，∴，．∵，∴．在中，．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質．熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題的關鍵．五、（本大題共2小題．每小題10分，滿分20分）19.如圖，某數學興趣小組測位一座古塔的高度，從點處測得塔頂的仰角是，由點向古塔前進米到達點處，由點處測得塔頂的仰角是．塔底點與點共線，且，求古塔的高．（參考數據：，，，）【答案】米【解析】【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形，掌握解直角三角形的方法即可求解．在中，根據的正切值可求出，在中，根據的正切值可求出，由即可求解．【詳解】解：由題意知，，，，米，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∴米，解得：米，答：該古塔的高為米．20.如圖，在中，，以為直徑的交于點D，交的延長線于點E，連接，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）25【解析】【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得，再根據等腰三角形三線合一的性質結合圓周角定理得出結論；（2）由圓周角定理結合已知可得，設，則，求出，然后在中，利用勾股定理構建方程求出x即可．【小問1詳解】證明：∵是的直徑，∴，即，∵，∴，，∵，∴；【小問2詳解】解：∵，∴．∵是的直徑，∴，∴．設，則，∴，∴，∴．∵，，∴．在中，，∴，解得（負值舍去），∴．【點睛】本題考查了圓周角定理及其推論，等腰三角形的性質，正切的定義，勾股定理的應用等知識．靈活運用相關性質定理進行推理論證是解題的關鍵．21.柚子含有極為豐富的維生素，胡蘿卜素，鈣、鉀、鐵等微量元素，可以預防血栓、糖尿?。吵袕墓r處進購柚子的成本價為3元/千克，在銷售過程中發現，每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系如圖所示，其中為反比例函數圖象的一部分，為一次函數圖象的一部分．（1）求y與x的函數關系式；（2）當銷售單價為多少元時，該超市每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）（2）當銷售單價為10時，該經銷商每天的銷售利潤最大，最大利潤是980元【解析】【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用，反比例函數的實際應用，二次函數的實際應用：（1）分兩段：當時，當時，利用待定系數法解答，即可求解；（2）設利潤為w元，分兩段：當時，當時，求出w關于x的函數解析式，再根據反比例函數以及二次函數的性質，即可求解．【小問1詳解】解：當時，設y與x函數關系式為，∵點在該函數圖象上，∴，解得：，∴當時，y與x的函數關系式為，當時，設y與x的函數關系式為，，解得，即當時，y與x的函數關系式為，綜上所述，y與x的函數關系式為；【小問2詳解】解：設利潤為w元，當時，，∵，∴y隨x的增大而增大，∴w隨x的增大而減小，∴當時，w取得最大值，此時，當時，，∴當x=10時，w取得最大值，此時w=980，∵980>480，∴當銷售單價為10時，該經銷商每天的銷售利潤最大，最大利潤是980元，答：當銷售單價為10時，該經銷商每天的銷售利潤最大，最大利潤是980元．22.如圖，已知，是正方形的對角線，點，分別是，上的點，且，，分別與交于點，，連接，．（1）求證：；（2）求證：；（3）求的值．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據正方形的性質可得出，由已知，通過等量代換得到，即可得出，（2）根據正方形的性質可得出，由已知，通過等量代換得到，得出，，由（1）結論可得，，即可求解，（3）由