2023-2024（下）創(chuàng)新部高二開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（40分）1．已知，設(shè)集合，，則（）A．? B．?C．

? D．?2．已知，，則（

）A． B． C． D．3．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別取棱，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G為EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．4．設(shè)函數(shù)，若，，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．5．已知對(duì)任意，且，恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且().記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使成立的最小正整數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．87．已知函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．7 C．6 D．48．已知函數(shù)滿足：，，則（

）A．B．C． D．二、多選題（20分）9．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．事件為必然事件，則事件、是互為對(duì)立事件C．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，甲射中的概率為0.6，乙射中的概率為0.8，則恰有1人射中的概率為0.1210．已知拋物線C：，圓F：（F為圓心），點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)Q在圓F上，點(diǎn)A，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．當(dāng)最大時(shí)， D．當(dāng)最小時(shí)，11．已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為B．若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，既存在極大值又存在極小值D．當(dāng)時(shí)，恰有3個(gè)零點(diǎn)，且三、填空題（20分）13．若函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的區(qū)間．14．已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相交所得弦長(zhǎng)為，則直線的方程為.15．設(shè)函數(shù)，．若對(duì)任意的，存在，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．16．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)的都有，且，若的圖像與有個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為．四、解答題（70分）17．已知等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，滿足：.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開(kāi)，為增進(jìn)學(xué)生對(duì)黨史知識(shí)的了解，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng).競(jìng)賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對(duì)1道A類試題得20分，每答對(duì)1道B類試題得10分，答錯(cuò)都不得分，每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）.已知甲同學(xué)答對(duì)各道A類試題的概率均為，B類試題中有6道題會(huì)作答.(1)若甲同學(xué)只作答A類試題，記甲同學(xué)答這3道試題的總得分為X，求X的分布列和期望；(2)若甲同學(xué)在A類試題中抽1道題作答，在B類試題中抽2道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率.19．如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，E是PD的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)當(dāng)點(diǎn)為棱中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．20．已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)和的解析式；(2)若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率乘積為.(1)求頂點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，求證：為定值.22．已知函數(shù)，其中(1)若，求的極值；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.創(chuàng)新部高二開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)參考答案1．D【詳解】由題意，,得,故，A錯(cuò)誤；,故B錯(cuò)誤，，故屬于集合間符號(hào)使用不正確，C錯(cuò)誤，,D正確，故選：D2．C【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕剩蔬x：C3．D【詳解】如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫c(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)或到平面的距離.設(shè)到平面的距離為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，得，可求得平面的法向量為，，所以.4．D【詳解】解：函數(shù)定義域?yàn)椋遥礊榕己瘮?shù)，又當(dāng)時(shí)且與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，又，，，即，所以.故選：D5．D【詳解】由得：，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），當(dāng)恒成立時(shí)，.6．C【詳解】解析：由，可知，∴，即.時(shí)，，∴，∴，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.∴.又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.∴.又，∴，即，∴.又，∴的最小值為7.故選：C.7．C【詳解】解：設(shè)，由，得，作出，的圖象，如圖所示：設(shè)直線與相切，切點(diǎn)為，則，解得，，設(shè)直線與相切，切點(diǎn)為，則，解得，，故直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，且，由圖象可知：，由的函數(shù)圖象可知無(wú)解，有一個(gè)解，有三個(gè)解，有兩個(gè)解，所以有6個(gè)零點(diǎn)，故選：C8．A【詳解】，令得：，因?yàn)椋裕睿茫海矗瑒t，上面兩式子聯(lián)立得：，所以，故，故是以6為周期的函數(shù)，且，所以9．AC【詳解】對(duì)于，由組合數(shù)的性質(zhì)可得：，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，事件為必然事件，若互斥，則事件是對(duì)立事件；若不互斥，則事件不是互為對(duì)立事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對(duì)稱，則，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，甲射中的概率為0.6，乙射中的概率為0.8，恰有1人射中包括甲中乙不中，乙中甲不中，由相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率計(jì)算可得：恰有1人射中的概率為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.10．AC【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)，圓F：的圓心，半徑，對(duì)于A，的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，的最小值是，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值是，B不正確；對(duì)于C，如圖所示，要使最大，當(dāng)且僅當(dāng)AQ與圓F相切，AP與拋物線C相切，且P，Q在x軸兩側(cè)，所以當(dāng)最大時(shí)，，C正確；對(duì)于D，因的最小值為，即P，A，Q共線，則當(dāng)最小時(shí)，即，D不正確.故選：AC11．AD【詳解】是偶函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以是奇函數(shù)，由，，得，即，所以是周期函數(shù)，且周期為4，，在，中令得，，A正確；沒(méi)法求得的值，B錯(cuò)；令得，，，則，無(wú)法求得，同理令得，，，因此，相加得，只有在時(shí)，有，但不一定為0，因此C錯(cuò)；在中令得，，在中令得，，兩式相加得，即，D正確；故選：AD．12．BCD【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閷?duì)任意的，都有，所以在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由B選項(xiàng)知，，令，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，又在上單調(diào)遞減，所以存在，使得，又，又在上單調(diào)遞增，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故既存在極大值又存在極小值，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋蒀選項(xiàng)知，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，，，（，，），又，故有，則，即當(dāng)時(shí)，恰有3個(gè)零點(diǎn)，且，故D正確．故選：BCD．13．【詳解】設(shè)，則函數(shù)可以看成由與復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則：同增異減.又為R上的減函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以，即可.故答案為：.14．或【詳解】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，依題意，有，解得，所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.設(shè)圓的圓心到直線的距離為，則，解得①若直線的斜率不存在，則，符合題意，此時(shí)直線的方程為.②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則，解得.此時(shí)直線的方程為故答案為：或15．【詳解】解：由題意可知，所以的最小值為2，所以存在，使得成立,假設(shè)對(duì)任意，都有成立，即，,從而有，,由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)所以，從而當(dāng)存在，使得成立時(shí)，,綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為.16．【詳解】由，得，，令，則，所以，所以，因?yàn)椋裕裕裕?dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在上遞增，在和上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)取得極大值，因?yàn)椋业膱D像與有個(gè)交點(diǎn)，所以，即的取值范圍為.17．【詳解】（1）法一：因?yàn)槭枪鹊牡缺葦?shù)列，所以由，得，即，兩式相除得，整理得，即，解得或，又，所以，故，所以，法二：因?yàn)槭枪鹊牡缺葦?shù)列，所以由得，即，則，，解得或（舍去），故，則，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.18．【詳解】（1）的可能取值為，，，，，所以的分布列為：所以.（2）第一種情況：類試題答對(duì)道，類試題答對(duì)道，概率為.第二種情況：類試題答錯(cuò)道，類試題答對(duì)道，答錯(cuò)道，概率為.所以僅答對(duì)道題的概率為.19．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，．為中點(diǎn)，且，，，且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.

（2）取中點(diǎn)，連接，．為正三角形，，面面，面面，面，又，，所以為正方形，所以．如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，設(shè)與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.

20．【詳解】（1）為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，由得：，.（2）由（1）得：，由得：，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故，令，則，，即對(duì)恒成立，即上恒成立，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，在時(shí)單調(diào)遞增，所以，于是，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．【詳解】（1）設(shè)，因直線的斜率乘積為，則，整理得，所以頂點(diǎn)的軌跡的方程是.（2）依題意，過(guò)點(diǎn)與曲線交于點(diǎn)的直線斜率存在不為零，設(shè)直線MN的方程為，由消去x并整理得：，，，解得或且且，設(shè)，則，即有，直線BM：，直線CN：，令直線交點(diǎn)，由消去y并化簡(jiǎn)整理得：，，，于是得，即點(diǎn)，則有，，即為定值4.22．(1)極小值為，無(wú)極