§4函數的奇偶性與簡單的冪函數4．1函數的奇偶性第1課時函數奇偶性的概念水平11．對于函數y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數y＝f(x)一定是奇函數．()2．不存在既是奇函數，又是偶函數的函數．()3．奇函數f(x)的定義域為R，且f(－2)＝5，則f(2)＝－5.()4．若函數f(x)是奇函數，則f(0)＝0.()5．若f(0)＝0，則函數f(x)是奇函數．()【解析】1.提示：×.反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函數f(x)＝x2不是奇函數．2．提示：×.函數f(x)＝0，x∈R既是奇函數，又是偶函數．3．√.4．提示：×.比如：f(x)＝eq\f(1,x)是奇函數，但是f(0)不存在．5．提示：×.比如：f(x)＝eq\f(x,x＋1)滿足f(0)＝0，但是f(x)是非奇非偶函數·題組一利用定義判斷函數的奇偶性1．已知函數f(x)＝3x－eq\f(3,x)(x≠0)，則函數()A.是奇函數，且在(0，＋∞)上單調遞減B.是偶函數，且在(0，＋∞)上單調遞減C.是奇函數，且在(0，＋∞)上單調遞增D.是偶函數，且在(0，＋∞)上單調遞增【解析】選C.因為f(－x)＝－3x＋eq\f(3,x)＝－(3x－eq\f(3,x))＝－f(x)，又因為f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)是奇函數，且在(0，＋∞)上單調遞增．2．如果f(x)是定義在R上的奇函數，那么下列函數中，一定為偶函數的是()A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)C.y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)【解析】選B.因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x).令y＝g(x).對于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函數；對于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以y＝xf(x)是偶函數；對于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，所以y＝x2＋f(x)既不是奇函數也不是偶函數；對于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函數．3．下列函數為偶函數的是________(填序號).①y＝x2(x≥0)；②y＝(x－1)eq\r(\f(x＋1,1－x))；③y＝2；④y＝|x|(x≤0).【解析】對于①④，其定義域顯然不關于原點對稱，故其為非奇非偶函數；又②中，由得定義域為[－1，1)，不關于原點對稱，故②也是非奇非偶函數；對于③，其定義域為R，且對?x∈R都滿足f(－x)＝f(x)＝2，故③是偶函數．答案：③·題組二函數的奇偶性的圖象特征1．已知奇函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0對任意兩個不相等的正實數x1，x2都成立，則下列不等式中，正確的是()A.f(－5)>f(3)B．f(－5)<f(3)C.f(－3)>f(－5)D．f(－3)<f(－5)【解析】選C.設0<x1<x2，則x1－x2<0，由eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，得f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，因為f(x)為奇函數，所以f(x)在(－∞，0)上單調遞增，所以由－3>－5，可得f(－3)>f(－5).2．已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a－2，2a＋\f(1,3)))上的偶函數，則5a＋3b等于()A.eq\f(5,3)B．eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(2,3)【解析】選A.因為f(x)為偶函數，所以f(－x)＝f(x)，即ax2－bx＋1＝ax2＋bx＋1，所以b＝0.又f(x)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a－2，2a＋\f(1,3)))，所以3a－2＋2a＋eq\f(1,3)＝0，所以a＝eq\f(1,3).故5a＋3b＝eq\f(5,3).3．(1)若f(x)為奇函數，且在[a，b]上有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上有最______(填“大”或“小”)值______．(2)若f(x)為奇函數，f(x)＋2在x∈[a，b]上有最大值M，則f(x)＋2在x∈[－b，－a]上有最________(填“大”或“小”)值________．【解析】(1)設x∈[－b，－a]，則－x∈[a，b]，所以f(－x)≤M且存在x0∈[a，b]，使f(x0)＝M.因為f(x)為奇函數，所以－f(x)≤M，f(x)≥－M，且存在－x0∈[－b，－a]，使f(－x0)＝－M.所以f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(2)由(1)知，f(x)在[a，b]上有最大值M－2時，f(x)在[－b，－a]上有最小值－M＋2.所以f(x)＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.答案：(1)小－M(2)小－M＋4·題組三利用函數的奇偶性求函數的解析式、函數值1．已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于()A.4 B．3 C．2 D．1【解析】選B.因為f(x)是奇函數，所以f(－1)＝－f(1).又g(x)是偶函數，所以g(－1)＝g(1).因為f(－1)＋g(1)＝2，所以g(1)－f(1)＝2.①又f(1)＋g(－1)＝4，所以f(1)＋g(1)＝4.②由①②得g(1)＝3.2．奇函數f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，則在(－∞，0)上f(x)的函數解析式是()A.f(x)＝－x(1－x) B．f(x)＝x(1＋x)C.f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(x－1)【解析】選B.設x<0，則－x>0，因為函數f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，所以f(－x)＝－x(1＋x)，又函數f(x)是奇函數，即f(－x)＝－f(x)，則當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).3．已知函數f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq\f(2,3)，則f(－a)＝________．【解析】根據題意，f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq\f(x,x2＋1)，而h(x)＝eq\f(x,x2＋1)是奇函數；故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)易錯點一忽略定義域而出錯1．若函數f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定義在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函數，則f(1)等于()A.1 B．3C.eq\f(5,2) D．eq\f(7,2)【解析】選B.因為偶函數的定義域關于原點對稱，則－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函數不含奇次項，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1.于是f(1)＝3.2．下列函數中是奇函數的為()A.f(x)＝x3＋x5B.f(x)＝|x＋1|＋|x－1|C.f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)D.f(x)＝【解析】選A.對于A，函數的定義域為R.因為f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數；對于B，f(x)的定義域是R.因為f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函數；對于C.函數f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關于原點對稱，所以f(x)是非奇非偶函數；對于D，f(x)的定義域為R，當x<0時，－x>0，f(－x)＝(－x)3＝－x3，而f(x)＝x2，所以當x<0時不滿足f(－x)＝f(x)，也不滿足f(－x)＝－f(x).故此函數是非奇非偶函數．【易錯誤區】“函數的定義域關于原點對稱”是“函數為奇函數(偶函數)”的必要條件．易錯點二忽略奇偶函數定義中的“任意”而出錯1．函數f(x)＝|x|＋x的奇偶性為()A.奇函數B.既是奇函數又是偶函數C.偶函數D.既不是奇函數也不是偶函數【解析】選D.函數的定義域為R，因為f(1)＝2，f(－1)＝0，所以f(x)既不是奇函數也不是偶函數．2．(多選)設Q表示有理數集合，已知函數D(x)＝，則下列判斷正確的是()A.D(x)的定義域為RB.D(x)的值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1))C.D(x)是偶函數D.D(x)是增函數【解析】選ABC.因為Q∪(RQ)＝R，所以定義域為R，因為D(x)只有兩個函數值，所以值域為{0，1}，對于任意的x∈Q，－x∈Q，都有D(－x)＝1，D(x)＝1，對于任意的x∈RQ，－x∈RQ，都有D(－x)＝0，D(x)＝0，所以對于任意實數x，都有D(－x)＝D(x)，所以D(x)是偶函數．所以ABC都是正確的．因為D(0)＝1>D(eq\r(2))＝0，所以D(x)不是增函數．所以D錯誤．【易錯誤區】用奇偶函數的定義判斷函數的奇偶性，需要判斷定義域內的“任意一個x”，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，不是只驗證某一個或某幾個．水平1、2限時30分鐘分值60分戰報得分______一、選擇題(每小題5分，共30分)1．下列函數中，既是偶函數又在(0，＋∞)上單調遞增的是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1 D．y＝x－eq\f(1,x)【解析】選B.因為y＝x3在定義域R上是奇函數，故A不對；y＝－x2＋1在定義域R上是偶函數，但在(0，＋∞)上是減函數，故C不對；y＝x－eq\f(1,x)是奇函數，在(0，＋∞)上是增函數，故D不對；B中y＝|x|＋1是偶函數，且在(0，＋∞)上是增函數．2．已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)等于()A.－3 B．－1 C．1 D．3【解析】選C.令x＝－1可得f(－1)－g(－1)＝1，因為函數f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(－1)－g(－1)＝1?f(1)＋g(1)＝1.3．已知f(x)＝x5－ax3＋bx＋2，且f(5)＝17，則f(－5)的值為()A.－13 B．13 C．－19 D．19【解析】選A.設g(x)＝x5－ax3＋bx，則g(x)為奇函數．f(x)＝g(x)＋2，f(5)＝g(5)＋2＝17.所以g(5)＝15，故g(－5)＝－15.所以f(－5)＝g(－5)＋2＝－15＋2＝－13.4．若函數f(x)＝eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)為奇函數，則a等于()A.1 B．2 C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【解析】選C.由題意得f(－x)＝－f(x)，則eq\f(－x,（－2x＋1）（－x－a）)＝－eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)，當x≠0時，2x2＋(2a－1)x－a＝2x2＋(1－2a)x－a，所以2a－1＝1－2a，所以a＝eq\f(1,2).當x＝0時，也符合．所以a＝eq\f(1,2).5．(多選)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f(x)＝x－x2，則下列說法正確的是()A.f(－1)＝0B.f(x)的最大值為eq\f(1,4)C.f(x)在(－1，0)上單調遞增D.f(x)>0的解集為(－1，1)【解析】選AB.f(－1)＝f(1)＝0，A正確；當x≥0時，f(x)＝x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)，所以f(x)的最大值為eq\f(1,4)，B正確；f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上是減函數，C錯誤；f(x)>0的解集為(－1，0)∪(0，1)，D錯誤．6．(金榜原創題)(多選)設a是實數，關于函數f(x)＝2x2＋eq\f(3a,x)的性質正確的為()A.當a＝0時，f(x)是偶函數B.當a≠0時，f(x)是非奇非偶函數C.當a＝1時，f(x)在(－∞，0)上單調遞增D.當a＝2時，f(x)在(0，＋∞)上的最小值為12【解析】選AB.因為當a＝0時，f(x)＝2x2，所以f(x)是偶函數．當a≠0時，f(－1)＝2－3a，f(1)＝2＋3a，所以f(－1)－f(1)＝－6a≠0，即f(－1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函數，因為f(－1)＋f(1)＝4，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函數，所以f(x)是非奇非偶函數．當a＝1時，在(－∞，0)上2x2是減函數，eq\f(3,x)也是減函數，所以f(x)在(－∞，0)上是減函數．當a＝2時，f(1)＝8<12，所以f(x)在(0，＋∞)上的最小值為12是錯誤的．二、填空題(每小題5分，共20分)7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函數，則f(0)，f(1)，f(－2)從小到大的排列是________．【解析】因為f(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.因為f(x)的圖象開口向下，對稱軸為y軸，在x∈[0，＋∞)上單調遞減，所以f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0).答案：f(－2)<f(1)<f(0)8．已知f(x)在R上是奇函數，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0，2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝________．【解析】f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，因為f(x)為奇函數，所以f(－1)＝－f(1)，因為1∈(0，2)，所以f(1)＝2×12＝2，所以f(7)＝－f(1)＝－2.答案：－29．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數．當x<0時，f(x)＝x2－4，則x>0時，f(x)的解析式為________，不等式f(x)<0的解集為________．【解析】當x>0時，－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－4＝x2－4，因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－x)＝x2－4＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋4，即x>0時，f(x)＝－x2＋4.當x<0時，f(x)<0，即x2－4<0，解得－2<x<2，又因為x<0，所以－2<x<0；當x>0時，f(x)<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2，又因為x>0，所以x>2.綜上可得，f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞).答案：f(x)＝－x2＋4(－2，0)∪(2，＋∞)10．設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，則函數f(x)，g(x)的解析式分別為__________________________________________．【解析】因為f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.答案：f(x)＝x2，g(x)＝2x三、解答題11．(10分)已知f(x)是定義在R上的不恒為0的函數，且對于任意的x，y∈R，有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判斷函數f(x)的奇偶性，并證明你的結論．【解析】(1)因為f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)，令x＝y＝0，得f(0)＝0＋0＝0，即f(0)＝0.令x＝y＝1，得f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)是奇函數．因為f(1)＝f[(－1)·(－1)]＝(－1)f(－1)＋(－1)f(－1)＝0，所以f(－1)＝0.對任意的x∈R，f(－x)＝f[(－1)·x]＝(－1)f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數．【加練備選】已知函數f(x)對任意實數x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)<0,又f(1)=2.(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)求證:f(x)是R上的減函數;(3)求f(x)在區間[3,3]上的值域;(4)若對任意x∈R,不等式f(ax2)2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范圍.【解析】(1)取x=y=0,則f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0.取y=x,則f(xx)=f(x)+f(x)=f(0)=0,所以f(x)=f(x)對任意x∈R恒成立,所以f(x)為奇函數.(2)任取x1,x2∈(∞,+∞),且x1<x2,則x2x1>0,f(x2)+f(x1)=f(x2x1)<0,所以f(x2)<f(x1).又f(x)為奇函數,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上的減函數.(3)由(2)知f(x)在R上為減函數,所以對任意x∈[3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(3),因為f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=2×3=6,所以f(3)=f(3)=6,f(x)在[3,3]上的值域為[6,6].(4)f(x)為奇函數,整理原式得f(ax2)+f(2x)<f(x)+f(2),則f(ax22x)<f(x2),因為f(x)在(∞,+∞)上是減函數,所以ax22x>x2,當a=0時,2x>x2在R上不是恒成立,與題意矛盾;當a>0時,ax22xx+2>0,要使不等式恒成立,則Δ=98a<0,即a>QUOTE;當a<0時,ax23x+2>0在R上不是恒成立,不合題意.綜上所述,a的取值范圍為QUOTE.已知函數f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n