2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案(上海地區(qū)專用))

專題2.4分類與整合思想中的九種題型

題型一：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、填空題

1.(2022秋?上海長寧?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=:+∣2x-α∣;若存在相異的實(shí)數(shù)

x∣,χ2W(Y°，。)，使得/&)=/(%)成立，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是.

【答案】(-∞,-√2)

【分析】去掉絕對值得到分段函數(shù)，分別討論“≥0?a<0,結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再通

過存在性進(jìn)行求解.

【詳解】fω

①當(dāng)α≥0,XCo時，?(?)=-2x+a,f(x)=—^-―2<0,

則/(X)在(-∞,0)單調(diào)遞減，不滿足題意(舍)；

2x+——a-≤x<0

X92

②當(dāng)“<0,XVo時,fM='

當(dāng)x<?^時，Γ(x)=-^-2<0,F(X)在;-8,9單調(diào)遞減，

且/(x)>嗚),；

當(dāng)W≤x<O時，由/(χ)=2-4=0,得X=一立，

2X2

當(dāng)卜今即α≥-√∑時，∣≤-^<0.則/(x)≤0恒成立，

則不滿足題意(舍)；

當(dāng)H號,即”_應(yīng)時，^≤x<0,則/3在單調(diào)遞增，

在卜日'O)單調(diào)遞減，且對于任意與€仁，-孝)，/(%)>/("，

則滿足存在相異的實(shí)數(shù)力,Λ2e(γ,0),使得/(Xl)=/(W)成立，

所以α<-√Σ.

故答案為：(γ,-√∑).

二、解答題

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'sinx(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)設(shè)S(X)=e*-∕(x),χ∈θ,?,求證：0≤s(x)41;

(2)設(shè)g(x)="x)-以,若o<α<3,試討論g(x)在(0,π)上的零點(diǎn)個數(shù).(參考數(shù)據(jù)

e2≈4.8

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，從而證明結(jié)論成立即

可；

(2)由于/(x)=e'(sinx+cosx)-α,令∕ι(x)=g<x),可求得MX)在(0,目上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減，再對的?0<4≤l,l<"<3兩類討論，求得g(x)在(0㈤上的零點(diǎn)個數(shù).

【詳解】解：(1)證明：S(X)=e=/(X)=e'(l-sinx),

貝I」s'(X)=e"(l—SinX—COSx),令人(X)=I—SinX-COSX,χ∈0,-∣,

則I(X)=-COSX+sinX=忘Sin(X-顯然&'(x)在0,1遞增，

/(o)=τ,陪卜1，陪)=。,

故Xeα小時，％'(x)<0,MX)遞減，尤eg,5時，Y(X)>0,

MX)遞增,

故MXLTW)=I-應(yīng)<。，而M°)=°,佃肛

故Z(x)≤O在Xe[o蜀恒成立，即MX)4O在Xe"引恒成立，

故S(X)在0,|遞減,故S(X)3=S⑼=I-SinO=I,s(x)πIin=SO=—(I)=。，

故O≤s(x)≤l;

(2)由已知得g(x)=e*sinx-αx,r.g[x)=eX(SinX+cosx)-α,令〃(X)=g"),則

ΛZ(X)=2CACOSX,

x∈(0,π),x∈^O,y^∣?,Az(x)>O,XW(I,π)時,Λz(x)<O,

二∕z(x)在(Ogj上單調(diào)遞增，在(5,nJ上單調(diào)遞減.

g,(0)=l-α,g,(π)=-eπ-α<O,

①當(dāng)l-4≥O,即O<4≤l時，F(xiàn)(O)≥0,二噌)>0,

使得9(Xo)=。，

.?.當(dāng)Xe(O,/)，g,(?)>0,

當(dāng)Xe(Xo,π)時，g,(x)<O,

??.g(x)在(O,xo)上單調(diào)遞增，在(x0,π)單調(diào)遞減；

g(0)=0,.?.g(%)>0,

又?g(兀)=-頌<0,；,由零點(diǎn)存在定理得，此時g(χ)在(0㈤上僅有一個零點(diǎn)，

②若l<a<3時，g'(0)=l-α<0,

又9(對在?上單調(diào)遞增，在。，兀)上單調(diào)遞減，又g'(j=e'4>O,

.?.3?e(θ,∣Yx2efeπ?使得g<x1)=O,√(?)=0,

,

且當(dāng)Xe(O,xj、Xw(X2,π)時,g(x)<O,當(dāng)XWa,%)時,√(x)>0,

g(X)在(0,王)和(X2,兀)上單調(diào)遞減，在(5)單調(diào)遞增.

g(0)=0,.?.g(5)<0,?Q=e2-^α>e2-y>0,

.?.g(?)>0,又g(π)=TOTe0,

由零點(diǎn)存在定理可得，g(x)在(和當(dāng))和(々㈤內(nèi)各有一個零點(diǎn)，

即此時g(χ)在(0,兀)上有兩個零點(diǎn),

綜上所述,當(dāng)0<α≤l時,g(x)在(0,π)上僅有一個零點(diǎn),

當(dāng)l<α<3時，g(x)在((U)上有兩個零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，屬于難題.

知識點(diǎn)總結(jié)：零點(diǎn)存在性定理：若“力在［α,b］上連續(xù)且單調(diào)，若有〃0)?"b)<0,則必然存

在Xo∈(α,b),使/(J?)=0.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=YInX

(1)求f(χ)的最小值；

(2)若加>0,討論/O)在區(qū)間(w,+∞)上的單調(diào)性；

【答案】(l)-?

2e

(2)答案見解析.

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷判斷原函數(shù)單調(diào)性和最值；

(2)結(jié)合(1)中的單調(diào)性，分”］>eT和0<"7<e—兩種情況討論函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】⑴/(x)的定義域?yàn)?0,+∞),?.?∕'(x)=x(21nx+l),令/'(X)=O得χ=eT,

當(dāng)JV∈0,e^2時，Γ(x)<0,則/(%)在0,”匕單調(diào)遞減；

?√\)

當(dāng)x∈e2,+oo時，f?χ)>0,則/(X)在e2,÷∞上單調(diào)遞增；

\/\

(-∩1

?fM=fe2.

minIJ2e

(2)由(1)可得：/(x)在上單調(diào)遞減，在e-i,+∞上單調(diào)遞增，則有：

當(dāng)〃7≥e^時、則人幻在⑺，+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<m<∕時，則“幻在機(jī)3［上單調(diào)遞減，在卜凡+8上單調(diào)遞增；

綜上所述：當(dāng)相>eT時，f(x)在(見招>)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<nz<eT時，/3在機(jī)，e”上單調(diào)遞

\7

(_\\

減，在e^S+∞上單調(diào)遞增.

k7

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)"x)=αr3-3∕+l-a(α∈R,αHθ),求函數(shù)F(X)的

極大值與極小值.

343

【答案】/(χ)極大值τ-7"H極小值=-/-%+1

【分析1先求/'(X)=O的值，發(fā)現(xiàn)需要討論”的正負(fù)，分別判定在/'(X)=O的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的

符號的變化情況，來確定極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，求出極值.

【詳解】解：∕,(x)=30r2-6x=3x(αr-2),(α≠0),

,、?

令r(χ)=o,則X=O或一,

當(dāng)”>0,隨著X的變化，((x)與“%)的變化情況如下:

2

X(-∞,o)0

陷a12[

/'(X)+0—0+

極大極小

?(?)

值V值

所以/(X)極大值=/⑼=I-5/3極小值=，(務(wù)加;

U?C</C<C4

當(dāng)4<0時，隨X的變化，/'(X)與/(X)的變化如下表:

2

X0(0,+8)

[W)aW

/M)—0+0—

極小極大

/(x)

值Z值、

所以“X)極大值=〃°)=弓，"x)極小值=F(￡|='

343

綜上所述，/(χ)極大值=1一7/(χ)極小值=-∕-7+L

Qγ

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃X)=島，g(x)=bsinx,曲線y="x)和

y=g(x)在原點(diǎn)處有相同的切線/.

⑴求6的值以及/的方程；

(2)判斷函數(shù)MX)=/⑴-g(x)在(0,+e)上零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.

【答案】(1)6=1,/的方程：y=χ.

(2)MX)在(0,+8)上有1個零點(diǎn)，理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)曲線y=∕(χ)和y=g(χ)在原點(diǎn)處有相同的切線/,則可知斜率相等，進(jìn)一

步求出b的值以及/的方程；

(2)函數(shù)零點(diǎn)即是圖象與X軸的交點(diǎn)，需要用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)MX),其中要進(jìn)行二次求

導(dǎo)，運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理說明函數(shù)NX)的零點(diǎn)情況.

9

【詳解】⑴依題意得：r(x)=Q百，g'(x)=6cosx?

?,J'(o)=g'(o)"=ι,

.,力=ι,/的方程：y=χ.

Tr4YQ

(2)當(dāng)時，--=3----->l>sinx,MX)>°，此時〃(*)無零點(diǎn).

2x+3x+3

當(dāng)0<x<]時，〃,⑺=CYoSX

令H(X)=^JjT-COSX,xe］θ,?

則而l+sinx,顯然"(X)在(o,IJ上單調(diào)遞增，

又"(0)=-∣<0,唔)>0,所以存在.(O,"使得H'(r)=O,

因止匕可得O<x<f時，H'(x)<0,“(X)單調(diào)遞減；

f<x昔時，H,(Λ)>0,，(x)單調(diào)遞增；又H(O)=O,”仁)>0

所以存在λ｛局，使得"(λ)=0,

即O<x<λ時,H(X)<0,A,(x)<O,MX)單調(diào)遞減;

λ<x<^［?,W(x)>0,Λ,(x)>O,∕z(x)單調(diào)遞增；

又MO)=O,人圖>(),所以砍x)在卜吟)上有一個零點(diǎn).

綜上，砍司在(。,+8)上有1個零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、函數(shù)的零點(diǎn)、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定

理，知識考查較為綜合，對學(xué)生是一個挑戰(zhàn)，屬于難題.

題型二：三角函數(shù)與解三角形

1.(2022?上海?高三專題練習(xí))若AX)在區(qū)間

〃上的最大值存在，記該最大值為K｛。｝,則滿足等式K｛［0,α)｝=3?K｛［α,20I｝的實(shí)數(shù)a的取值集

合是.

【答案】

【分析】先確定/(χ)在區(qū)間［0,G上有最大值5且TqM)，因此/O)在區(qū)間網(wǎng)上的

最大值為立.然后按AX)在X=。處或X=勿處取最大值也分類討論，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)而可得結(jié)

33

果.

【詳解】依題意可知，/(X)在區(qū)間［0,α)上有最大值必然為6,且所以/(X)在區(qū)

間［。,2可上的最大值為日.

(1)若“X)在x=α處取最大值且，即_述.“+36=走，解得α=等，此時

3π39

=所以“=學(xué)適合題意；

9o9

(2)若/(X)在x=2α處取最大值立，即tan24=W,解得。=?，此時〃>萼，所以。=與

3312912

適合題意.

綜上可知，α的取值集合是［萼,二］.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于確定/(X)在區(qū)間[0,α)上有最大值G,且

。€序號)’進(jìn)而可得/3在區(qū)間[”，2句上的最大值為空

2.(2022?上海市松江二中高三開學(xué)考試)某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣污染

狀況后，建立了一個預(yù)測該市一天中的大氣污染指標(biāo)/0與時間f(單位：小時)之間的關(guān)系

的函數(shù)模型："f)=g(r)+∕+2α,問0,24),其中g(shù)(/)jin(切18|),代表大氣中某

類隨時間/變化的典型污染物質(zhì)的含量，參數(shù)”代表某個已測定的環(huán)境氣象指標(biāo)，且“e1θ,'.

現(xiàn)環(huán)保部門欲將/⑺的最大值M(α)作為每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)予以發(fā)布.

⑴求g(f)的值域;

(2)若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過2.0,請求出M(α)的表達(dá)式，并預(yù)測該

市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會超標(biāo)？請說明理由.

tz+-,0≤≤—

612

【答案】(I)?；]：(2)M(G=ι73,不會超標(biāo)，理由見解析.

【分析】(1)由題設(shè)可得最”18∣∈[0,?],理由正弦函數(shù)的性質(zhì)求g(f)的值域即可.

(2)令∕=g(∕)+!∈d3,討論的大小關(guān)系求出∕ι(M=∣"-α∣+勿的分段函數(shù)形式，在討

論α的范圍求對應(yīng)M(q)表達(dá)式，并判斷M(?)的值域，由其最大值與2的大小關(guān)系判斷是否會

超標(biāo).

⑴由題設(shè)，∣r-18∣∈[0,18],則卻一18∣∈[O,爭,

所以g(f)=軻圖I昨嗚],即喇的值域?yàn)閱?

(2)由(1)知：〃=g(f)+!e[]m，∣Jl∣Jh{μ)=/(r)=?μ-c^+2a,

336

一…

所以〃(〃)=、?u^-a,μ≥a，

?3a-μ,μ<a

當(dāng)OWaWg時，人(〃)=〃+α在日島上遞增，故Ms)=力(3=4+3；

33666

r1

3α-χ∕,-<μ<a

13在［〃垓］上

當(dāng)<α≤嚴(yán)〃(〃)=<此時在g,α)上M(α)=叫=3α-g,

5

μ-va,a<μ<-O

M(t?)—〃(竟)=4+,；

51

ClH—,一

63

而==0得：a=-f故Mg)=1

36612?1

57

6Z+-,0≤a≤一

612-易知：恒成立，故該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)

綜上，M(")~173M(α)<2Q

3a——,—<a≤-

3124

不會超標(biāo).

題型三：平面向量

一、單選題

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知向量α=(l,2x),6=(0,2),則絲的最大值為

a

()

A.2y∕2B.2C.√2D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得絲=4L,分x≤0和x>0兩種情況討論，結(jié)合基本不等式即可得出

a74χ-+7l

答案.

【詳解】解：由向量α=(l,2x),?=(0,2),

/口a`b4x

得了R，

當(dāng)X≤O時，一—≤O,

a

ab_4x4

當(dāng)X>O時，24x2+1~Γ

a4x+-

X

當(dāng)且僅當(dāng)4xj即T時，取等號,

練上粵的最大值為L

Cl

故選：D.

二、解答題

2.(2023春?上海閔行?高二校聯(lián)考階段練習(xí))我們稱〃(〃eN*)元有序?qū)崝?shù)組(％,x2,,匕)為

〃維向量,∣?η∣+∣?∣++同為該向量的范數(shù),已知W維向量d=(%,j?,?,丁),其中

X,.∈{-l,O,l},∕≈1,2,n,記范數(shù)為奇數(shù)的〃維向量。的個數(shù)為4,這4個向量的范數(shù)之和為

BK.

⑴求&和生的值；

(2)求的值；

⑶當(dāng)”為偶數(shù)時，證明：紇=〃?(3"L1).

【答案】(1)4=4,約=4

⑵三

2

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)新定義計算即可；

(2)類比(1),結(jié)合排列組合的知識，二項(xiàng)式定理，求解人⑼即可;

(3)類比(2)的考慮方法，可得A,=C?2"+C>2i++cr?2,

,,

紇=(〃T)CJ2"T+(〃-3>C>2"-3++q-'?2,由二項(xiàng)式定理可得A；3-l,根據(jù)組合數(shù)的

2

運(yùn)算性質(zhì)化簡紇得解.

【詳解】(1)范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對有：(1,0),(-1,0),(0,1),(0.-1),

它們的范數(shù)依次為1』,1,1,

A2=4,B2=4；

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時，在向量ɑ=(?η,%,%)的“個坐標(biāo)中，

要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個數(shù)一定是偶數(shù)，

.,.可按照含0個數(shù)為0,2,4,,〃-1進(jìn)行討論：

。的“個坐標(biāo)中含0個0,其余坐標(biāo)為1或T,

共有C：-2"個，每個α的范數(shù)為“；

4的〃個坐標(biāo)中含2個0,其余坐標(biāo)為1或-1,

共有C,"一個，每個。的范數(shù)為〃-2；

4的"個坐標(biāo)中含n-l個0,其余坐標(biāo)為1或T,

共有cr'?2個，每個4的范數(shù)為1；

.?.A,,=C^2"+C?-2"-2++C;n'-2,

π,,n2

(2+l)=Cθ?2+C^?2^++C"-'-2+C"t,

(2-1)"=Cθ?2,,-C^?2"-2++(-1),,C",

γ?1

兩式相加除以2得：AY2+CA++-2=丁

_32。23+1

,.4()23=2.

(3)當(dāng)〃為偶數(shù)時，在向量〃=(5,々，鼻，，x")的”個坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，貝IJO的個數(shù)

一定是奇數(shù)，所以可按照含0個數(shù)為：1,3,…進(jìn)行討論：α的〃個坐標(biāo)中含1個0,其余坐標(biāo)

為1或T,共有C??2"T個，每個α的范數(shù)為〃-1；

。的“個坐標(biāo)中含3個0,其余坐標(biāo)為1或T,共有C>2"τ個，每個α的范數(shù)為〃—3；

4的”個坐標(biāo)中含〃T個0,其余坐標(biāo)為1或T,

共有C<?2個，每個。的范數(shù)為1；所以A,,=C?2"T+C>2"-3++CT?2,

B,,=(M-1)?C>2n^'+(〃-3)C?N-++C7?2.

因?yàn)?2+?)"=C-2"+C：?2"-'+C;-2"++C；,①

(2-1),,=Cθ?2"-C],?2"-'+C；?2"-2-+(-irc；；,②

n

①一②得，C'll-2~'+C：?2"τ+=?-??

22

所以4=h二1

2

思路一：因?yàn)閚("∕C=5叫?頊臺硅=〃喘,&)!=&,

所以O(shè)=(ZIT?C?2"T+("-3)G?2"-3++Cf2

=MeT?2"T+C>2"-3+y?2)

24

=2n(cL1?2-+CLl?2"-++<；)

=2"?p^≡l)="?(3"'-l).

思路二：口詈得，C?2"+C?2"-2+=號.

又因?yàn)镼i?Ii?Γ"?忌器礦心,

所以AC=h及??="?(J標(biāo)2心?-：

,3,,3

=n(c'll?2"-'+C：?2,^++C7.2)-??2"τ+3?C：?2^+?+(〃-1)?C'∣-2)

=M-MCW.27+…+C[[2)="?仔尹一若耳="0τ-l)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于理解新定義，學(xué)會類比的方法從特殊到一般，其次對組

合數(shù)，二項(xiàng)式式定理的的靈活運(yùn)用，化簡變形要求較高，屬于難題.

3.(2022春?上海徐匯?高一上海中學(xué)校考期末)我們學(xué)過二維的平面向量，其坐標(biāo)為

A=(M2)&eR%=l,2),那么對于〃(〃eN*,〃Z2)維向量，其坐標(biāo)為

a=(tl,t2,L,tn)(fkwRk=1,2,L,〃).設(shè)”(〃eN"≥2)維向量的所有向量組成集合

An=[a?a=(ti,t2,W),<teR,%=l,2,,〃}.當(dāng)上收聲上,幻&e{0,l},A=l,2,L,〃)時，稱為Al

的“特征向量”，如A2=?=(rm),kRM=l,2}的“特征向量”有4=(0,0),a2=(0,l),

UllUIUUU

a3=(∣,0),設(shè)a=(χ∣,Λ?,L,%)和P=(y∣,y2,L,y“)為A,的“特征向量”，定義

k,4=g[(%+yTXLm)+(%+%一區(qū)-%I)+L+(X“+%-卜-y,,∣)].

⑴若α,β≡A3,且2=(1,1,0),7=(0,1,1),計算向鼻，向耳的值;

IiaUUI國斗

(2)設(shè)B=A且8中向量均為4的“特征向量”，且滿足：Vα,βeB,當(dāng)&=￡時，

為奇數(shù)；當(dāng)時，向/為偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值；

⑶設(shè)BqA,("wN',心2),且B中向量均為A,,的“特征向量”，且滿足：匕，‰B,且

α≠∕時?，日,力=0.寫出一個集合B,使其元素最多，并說明理由.

|11國I∣lfιr∣、

【答案】(1)卜,α∣=2,卜,4=1；(2)4；(3)B={z(0,0,,0),(l,0,,0),,(0,0,,1)).

【分析】(1)根據(jù)定義直接計算即可得出答案；

(2)根據(jù)題意，得僅有1個1或3個1,再分僅有1個1時?，僅有3個1時，αeg,peB2時，三種情

況分類討論即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)αx∕7時，向力=0,則*?+e)=t∣αi∣,得(知幻只有3種情況,

I=I/=I

(0,0),(1,0),(0,1),且(1,0),(0,1)成對出現(xiàn)，從而可得出答案.

illHi1.-

【詳解】解：(1)k,q=5[(1r+1)+(1+1)+(z0+0)]1=2,

卜聞=g[(ι+o-∣I-OI)+(1+1Tl-ι∣)+(o+ι-∣o-1∣)]=1；

(2)設(shè)￡=(4,42，/，%)，夕=(〃也也也)，ai,hi∈{0,l},Z=1,2,3,4,

3=》時，k，4=卬+。2+4+4為奇數(shù)，貝IJ僅有1個1或3個1,

l4

=5工(4+2-血-用)為偶數(shù)，

RZ<=1

①當(dāng)僅有1個1時，S(q+b,)=2,為使融I為偶數(shù)，

/=!

則ZIq-M=2,即不同時為1,

/=I

此時餐={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},共4個元素，

②當(dāng)僅有3個1時,,&+幻=6,為使向4為偶數(shù),

i=l

則i>i∣=2,即4也不同時為0,

/=I

此時4={(1,1』,0),(1,1,0,1),(1,0,1,。,(0,1」」)},共4個元素，

③當(dāng)tze綜廣時，則向力=1,不符題意，舍去，

綜上所述，集合B中元素個數(shù)的最大值為4；

UU

⑶Va=(XI,J?,L,4)，夕=(如必1,y,),

a”時，KM=。，則Sm+e)=t∣4f∣,

i=?i=?

則Q,偽)只有3種情況,(0,0),(1,0),(0,1),且(1,0),(0,1)成對出現(xiàn),

所以腫最多有〃+1個元素，β={(o,o,,o),(ι,o,,0),,(0,0,,1)).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的新定義及集合間的關(guān)系，考查了分類討論思想及分析問題的能

力，難度較大.

題型四：數(shù)列

1.(2022?上海?高三專題練習(xí))若數(shù)列{叫,也}的通項(xiàng)公式分別為4=(-1)"M2°α,

/.yι+2OI9

4=2+口----且凡<々對任意〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

n

A.[-2,1)B.-2,C.一D.[T,l)

【答案】B

【分析】由可得分別討論〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)的情況，即可求解.

/[\“+2019(1\

),+2020

【詳解】因?yàn)椤?,<2,則Qi)*網(wǎng)+-----gp(-l)^+-J<2,

因?yàn)閷θ我?CN*恒成立，

當(dāng)“為奇數(shù)時，。>-2—4,貝4-2-']<-2,所以。之一2：

當(dāng)〃為偶數(shù)時,"2」,則(2」]=2-U所以

nIn)min222

故4e-2,∣^>

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的不等式恒成立問題求參數(shù)范圍,考查分類討論思想.

2.(2020?上海閔行?一模)已知各項(xiàng)為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列{4}滿足。向=4%,有以下兩個

結(jié)論:①若?3>出，則數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列；②數(shù)列｛4｝奇數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列則

()

A.①對②錯B.①錯②對C.①②均錯誤I).①②均正確

【答案】D

【解析】按照4>1和0<4<l分類討論，分別判斷①②即可得解.

【詳解】?.｛4｝為各項(xiàng)為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列，.?.?,>0HMX1,

⑴當(dāng)4>1時，顯然｛4｝為遞增數(shù)列，①②均正確；

2a

⑵當(dāng)O<α∣<l時，a2=ay"'∈(al,l),<?=αl°∈(a1,αl'),不滿足①的前提的>生；

?=a?,∈(a∣a2,α∣u,)=(?,?),%=靖e(q%,4"')=(4,α4),

依此類推，%ie(45%y),"uw(%τ,%)即偶數(shù)項(xiàng)遞減，奇數(shù)項(xiàng)遞增.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于中檔題.

3.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Y?sinx各項(xiàng)均不相等的數(shù)列｛x,,｝滿足

∣x,?∣≤5(i=l,2,3,,〃).令尸(〃)=(%+%+L+X,,)?[∕(XI)+∕(X2)+L+/(x,,)]("eN").給出下列三個

命題：(1)存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列｛x,,｝,使得產(chǎn)(〃)=0；(2)若數(shù)列*“｝的通項(xiàng)公式為

X.=(-；)"(〃eN*)，貝UF(2%)>0對％∈N*恒成立；(3)若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，貝I」尸(")≥°對

鹿eN*恒成立，其中真命題的序號是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

π

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=∕?sinx是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在Xe0,-的性質(zhì)，此時

y=f,y=sinx都是增函數(shù)，所以/(X)=Fsinx在XWO,∣?上也是增函數(shù)，即玉+々*。時，

(xl+x2)?[∕(xl)+∕(x2)]>O,對于(1),-^≤Λ1=-X3≤pX2=0,即可判斷；對于(2),運(yùn)

用等比數(shù)列求和公式和和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；對于(3),運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，

及不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)/(x)的單調(diào)性，即可判斷；

【詳解】由題意得/(-尤)=(一丫)%皿-》)=-*飛沿*=--1),所以/(x)=f?sinx是奇函數(shù)，只

TT

需考”函數(shù)作Xe0，彳的性質(zhì)，此小jy=『，.V=Sinx都是增函數(shù)，所以J(X)=asin”：

7TTT77"TTTT

Xe0，-上也是增函數(shù),即函數(shù)/(X)=Fsinx在Xe上也是增函數(shù),設(shè)西,％e-5巧

若占+々<0,則王<-%，???∕(xj</(-%)=-f(w),即/(玉)+/(工2)<0

若Λ1+W>O,則%>-々，???∕(XI)>∕(-W)=—/(占)，即/(χj+∕(w)>o

所以X1+X2HO時,(XI+Λ?)?[∕(X∣)+∕(X2)]>0,

TTTr

對于(1),取-5≤X∣=-W≤2,*2=O，F(xiàn)(3)=(玉+X2+X3>"(x∣)+f(X2)+f(X3)]=0，故(I)

正確；

則尸"UI+"T=-4sin2a+sinα

=-8Sinacosα+Sina=Sina(1—8cosa)

又ZeNZ知OVa≤-,貝IJSina>0,cos—≤cosa<l,貝Ij-7<1—8cosa≤1—8cos—,

444

八π(πππ.π.πJ2+J3I

Qcos—=CoS------冗-、=cos-cos—+sin-sin—=------------->-,

12U4)343448

又y=cos%在］θ,?I上單減，二.cos'>cos?,即COSL>［，1-8cos,v0

V2；412484

(1Y2ATz1、2攵

.?.sinα(l-8cosa)vθ,即一4Sin—I+SinQJ<0則f(jτ)+∕(??)<0,

由女的任意性可知，/(X)+∕0?)+L+f(x2k)<0,

Xxl+x2+L+x2k<0,所以尸(2%)=(x∣+占+L+??)?"(x∣)+∕(x2)+L+/(??)]>0,故(2)正

確；

對于(3),數(shù)列是等差數(shù)列，

若++X,=0,則尸(")=0;

若%+x,,>0,即Λ,>-X,,又/(X)是奇函數(shù)也是增函數(shù)有fa)>/(-x,,)=-f(x,)，可得

/^1)+∕?)>0;同理：

若通+%一I>0,可得/(。)+/(%)>。；

若覆+?-2>0，可得/*3)+∕U,-2)>0:

LL

相加可得：若%+9+L+x,,>0,可得/(X∣)+∕(X2)+L+F(X,)>O,即尸(〃)>0；

同理若為+W+L+弓<0,可得/(玉)+/(鄉(xiāng))+1+〃/)<0,即F(〃)>0,故(3)正確：

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查真假命題的判斷，關(guān)鍵是要理解新定義的函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考

查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的問題，考查了等差等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推

理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.

4.(2022?上海?高三專題練習(xí))對于數(shù)列｛4｝,如果存在最小的一個常數(shù)T(TeN*),使得

對任意的正整數(shù)恒有4+T=4成立，則稱數(shù)列｛q｝是周期為T的周期數(shù)列.設(shè)

m=qT+r?m,q,T,r≡N^,數(shù)列前機(jī),7,廠項(xiàng)的和分別記為鼠,Sr,S,,則S三者的關(guān)系式

—;已知數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為".=l"-13∣,那么滿足為+q”++&u9=102的正整

數(shù)k=.

【答案】Stn=qSτ+S,左=2或A=5

【分析】利用前利用前"項(xiàng)和的定義展開，然后每T項(xiàng)分一組，最后剩下「項(xiàng)，結(jié)合周期數(shù)列

的性質(zhì)即可求得S,,=贅7+S,；

先求出｛4｝的前〃項(xiàng)和，然后將問題轉(zhuǎn)化為S*s-s*τ=102,通過討論左≤13與A>13兩種情況

下求得方程的根，即可得到k的值.

【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列｛4｝是周期為7的周期數(shù)列，m=qT+r,則

S,"=(q+4++aτ)+｛a^τ+a^τ++a2τ)++(a^(q_l)T+a2+(q_l)T++aqτ)

+(α∣+<∕T+a2+qT^*^+ar+qT^=焚？+Sr,

所以SM=gSτ+s,.

故答案為：Sιn=qSτ+Sl..

.-fl3-H,π≤13

⑵因?yàn)樯?∣l"i3∣,所以〃〃=(

所以當(dāng)〃≤13時，｛q｝的前〃項(xiàng)和為S,,=生不，

當(dāng)〃>13時，｛%｝的前“項(xiàng)和為5“=幾+(1+〃一；)5-13)_3(〃2_25〃+312)；

滿足％+/++4+19=102,

即4+α*+ι++%i9=S*+[9^^5*τ=1°2,?∈N*.

而=g[(∕+19了-25(?+19)+312]=∣(?2+13?+I98),

127

(1)當(dāng)％—1≤13時，Sl=—耳左~+"?k—13,

1127

所以Sjt+19—Sk_]=—(Λ*^÷13Λ+198)—(—―?^^13)=102,

解得％=2或&=5；

2

⑵當(dāng)k—1>13時，Sk,t=l[(fc-l)-25*-1)+312]=g(公-27%+338),

；

所以SM9-SJ=；(二+13k+198)-(公-27%+338)=102,

解得Z不是整數(shù)，舍去.

故答案為：A=2或A=5.

【點(diǎn)睛】此題兩個小問，第一小問解題的關(guān)鍵是弄清楚數(shù)列求和的定義，利用定義將各前〃項(xiàng)

和求出化簡即可；第二小問通項(xiàng)公式中含有絕對值符號，所以需要用到分類討論的思想，分別

求出k.

5.(2022?上海師大附中高三階段練習(xí))已知｛4｝是公差為d3>0)的等差數(shù)列，若存在實(shí)

sinx1+sinx2+sinx3÷+sinA9=0

數(shù)A，馬滿足方程組:則〃的最小

4sinx1+a2sinx2+a3sinx3++%sinx9=25

值為—

【答叫

【分析】把方程組中的%都用的和"表示，求得"的表達(dá)式，根據(jù)三角函數(shù)有界性可得出答

案.

【詳解】解：把方程組中的%都用應(yīng)和"表示得：

M-4√)sinx1+(%—3d)sin/+(?-2J)sinx3+...+(^5÷4J)sinj?=25,

把SinN+sin/+…+sin/=0代入得：

,25

d=~~^~?~^^■~~~~~~■■■^^.,

-4sinX1一3SinX2-2sin%3-sinx4+sinx6+2sinx7+3sinx8+4sinx9

要使d最小，則-4SinXI-3sin%+…+4SinX9要最大，

因?yàn)閟inxλ+sinx2+...+sin=0,

所以SinX5=O，

sinJC1=sinx2=sinx3=sinx4=-l,sinx6=sinx1=sin∕=SinK9=1時分母取最大值20

所以公

4

所以"的最小值為3.

4

故答案為：I

6.(2022?上海楊浦?二模)已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列｛〃“｝滿足：①4=。；②

,,,3

?+1=<^若存在一個非零常數(shù)TeN,,對任意〃eN*,*=。“都成立，則

稱數(shù)列｛6｝為周期數(shù)列.

(1)當(dāng)。=3時，求α∣+%+%+%的值；

(2)求證：存在正整數(shù)〃，使得0≤α,,43;

⑶設(shè)S,,是數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a滿足：①數(shù)列｛凡｝為周期數(shù)列；②存在正奇數(shù)

k,使得&=2%.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)8(2)證明見解析(3)存在，2

【分析】(1)根據(jù)題意分別求出勾，/，％，4，即可得解；

(2)當(dāng)α>3時，=4,-3.可知在數(shù)列｛α,｝中直到第一個小于等于3的項(xiàng)出現(xiàn)之前，數(shù)列

｛4｝是以。為首項(xiàng)，-3為公差的遞減的等差數(shù)列.寫出通項(xiàng)公式，可得當(dāng)〃足夠大時，總可以

找到〃，使040,,43,當(dāng)"≤3,易證得0≤%43;

(3)分α<3和α>3兩種情況討論，結(jié)合(2)可得當(dāng)α>3時，不合題意，再根據(jù)當(dāng)α≤3時，

數(shù)列的周期性，即可得出結(jié)論.

(1)解：當(dāng)”=3時，αl=3,α2=4-3=1,<23=4-1=3,α4=4-3=1,

所以q+4+4+%=8；

⑵證明:當(dāng)4>3時，an+l=an-3,

所以，在數(shù)列｛““｝中直到第一個小于等于3的項(xiàng)出現(xiàn)之前，數(shù)列｛《,｝是以。為首項(xiàng)，-3為公差的

遞減的等差數(shù)列，

即all=α+(n-1)(-3)=α+3-3〃，

所以，當(dāng)“足夠大時，總可以找到〃，使0≤q≤3,

當(dāng)α=3時，則存在〃=1,使得0≤%≤3,

當(dāng)”3時，則存在〃=1,使得04α,,43,

綜上所述存在正整數(shù)〃，使得0≤α,≤3;

(3)解：當(dāng)α≤3時，a,,a2=4-ai,a3=al,ali=4-α1,

故此時數(shù)列｛??｝是以2為周期的周期數(shù)列，

當(dāng)α>3時，貝!|4>3,

由(2)得，存在正整數(shù)〃，使得0≤q,≤3,

因此此時不存在不存在““=4，

所以此時數(shù)列數(shù)列｛可｝不是周期數(shù)列，

所以時，數(shù)列｛為｝是以2為周期的周期數(shù)列，

aλ=a,a2=4-a9

所以S2,,+∣=〃(4+02)+4=4n+a,

又因品=24,

所以4"+a=2(2"+l),

所以4=2,

所以存在α=2,使得S=2k.

7.(2022?上海寶山?一模)已知函數(shù)/(幻=2-IX無窮數(shù)列&｝滿足=/&),neN*.

(1)若q=2,寫出數(shù)列｛6』的通項(xiàng)公式(不必證明)；

(2)若q>0,且4,出，％成等比數(shù)列，求4的值；問｛凡｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

⑶證明：%,L,%,L成等差數(shù)列的充要條件是q=l.

2,〃為奇數(shù)

【答案】⑴4=o,〃為偶數(shù);

⑵q=ι,為等比數(shù)列；4=2+也，不為等比數(shù)列，理由見解析；

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)遞推關(guān)系寫出前幾項(xiàng)，直接得到通項(xiàng)公式；

(2)o<q≤2時?，由％,松，4成等比數(shù)列可求出q=ι判斷數(shù)列即可，q>2時同理可求出

α,=2+√2,由等比數(shù)列定義判斷即可；

(3)結(jié)合(2)先證明充分性，再分別討論q≤O,0<q≤2,%>2證明必要性即可.

【詳解】(1)因?yàn)?,+1=/(4),所以生=°，。3=2,。4=0，

_J2,〃為奇數(shù)

所rrιq’"'To,W為偶數(shù)；

,.Ii,IE(O<W≤2)

⑵因?yàn)椤?=2-同=2-〃],%=2-同=2-|2-《|=<4—Q?2).

當(dāng)0<4≤2時，由a；=a1X%=(2-4)2=a；nq=1,

所以q=a2=a3=1,

所以4=1,即%=1為等比數(shù)列；

當(dāng)q〉2時，由a；=qx%=>(2-aJ2=a](4-ajnq=2+V∑(q=2一夜舍)，

所以4=-V2,?=2-Λ∕2,?=Λ∕2,

因?yàn)殓?W=H幺=邛?

%2-??∕2g-V2

所以數(shù)列不是等比數(shù)列；

綜上，當(dāng)0<q≤2時，｛凡｝是等比數(shù)列，當(dāng)q>2時，｛““｝不是等比數(shù)列：

⑶充分性：當(dāng)4=1時，由⑵知q=1,此時｛凡｝為等差數(shù)列；

必要性：當(dāng)4≤0時，七=2+4，所以"=々一％=2,

所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，

易知，存在q>0,此時”=4"+|-4“=2-2a,,,<2,與d=2矛盾，舍去；

當(dāng)0<a∣42時，由2%=&+<?n2(2-q)=2q=>a∣=1,所以4=%=%="

所以，J=I,即4=1為等差數(shù)列;

當(dāng)q>2時，由2%=4+%n2(2-q)=a∣+(4-a∣)nq=0與4=1不符，舍去；

綜上，q,出，L,%,L成等差數(shù)列的充要條件是q=l.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：注意在涉及數(shù)列的證明求解過程中，分類討論方法的應(yīng)用，本題求解過程

一定要分別考慮a的范圍對解題的影響，分為0<q≤2,q>2,q≤0去考慮問題即可.

8.(2022?上海?高三專題練習(xí))對于數(shù)列｛%｝,若存在WWN*,使得々…=4對任意

1≤A≤2能—都成立，則稱數(shù)列代｝為“機(jī)-折疊數(shù)列”.

(1)若％=|25”-200|(〃eN"),判斷數(shù)列｛。“｝是否是“俄-折疊數(shù)列”，如果是，指出加的

值，如果不是，請說明理由；

(2)若斗=∕("∈M),求所有的實(shí)數(shù)4,使得數(shù)列｛%｝是3-折疊數(shù)列；

(3)給定常數(shù)p∈N*,是否存在數(shù)列｛怎｝,使得對所有機(jī)eN*,代｝都是P"-折疊數(shù)列，且

｛x,,｝的各項(xiàng)中恰有0+1個不同的值，請說明理由.

【答案】⑴｛/｝是“用-折疊數(shù)列"，加=8；(2)g=0或4=1或夕=-1；(3)存在，證明

見解析.

【分析】(1)結(jié)合給的定義列出關(guān)于加的方程，判斷方程是否有解，可判斷數(shù)列｛%｝是否是

“〃”折疊數(shù)列”，

(2)根據(jù)題中的定義，列方程得到(Aj*=q*,再討論4是否為O可得出結(jié)果，

(3)只需列舉出例子即可證明，結(jié)合定義，數(shù)列卜“｝的圖像有無數(shù)條對稱軸，可聯(lián)想三角函

數(shù)求解，設(shè)%=Cos工X,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性即可證明

P

【詳解】解：(1)若存在a∈N*,使得Zi=々對任意l≤A≤2m-1(A∈N*)都成立，可知數(shù)列

｛x,,｝在1≤"≤2∕〃-1內(nèi)關(guān)于"=%對稱即可，