長春市重點中學2023-2024學年度下學期開學測試高二數(shù)學試題本試卷分客觀題和主觀題兩部分共22題，共150分，共3頁。考試時間為120分鐘。考試結(jié)束后，只交答題卡。第Ⅰ卷客觀題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求）1.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.9 D.122.計算的值是（）A.62 B.102 C.152 D.5403.若隨機變量，且，則（）A.0.26 B.0.34 C.0.36 D.0.424.新能源汽車的核心部件是動力電池，電池成本占了新能源整車成本很大的比例，從2022年年初開始，生產(chǎn)電池的某種有色金屬的價格一路水漲船高．下表是2022年前5個月我國某電池企業(yè)采購的該有色金屬價格Y（單位：千元/kg）與月份X的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．X12345Y1.73.0m6.07.4若Y與X的線性回歸方程為，則m的值為（）A.3.8 B.4.0 C.4.2 D.4.45.已知直線與圓相交于A，B兩點，則（）A. B. C. D.6.已知拋物線關(guān)于軸對稱，且焦點在直線上，則拋物線的標準方程為（）A. B. C. D.7.已知雙曲線的兩個焦點為，，為上一點，，，則的離心率為（）A. B. C. D.8.某數(shù)學興趣小組研究曲線和曲線的性質(zhì)，下面同學提出的結(jié)論正確的有（）甲：曲線都關(guān)于直線對稱乙：曲線在第一象限的點都在橢圓內(nèi)丙：曲線上的點到原點的最大距離為A.3個 B.2個 C.1個 D.0個二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計說法中正確的是（）A.兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱B.設(shè)隨機變量，若，則C.在回歸分析中，為0.89的模型比為0.98的模型擬合得更好D.某人解答10個問題，答對題數(shù)為，，則10.（多選題）下列說法正確的是（）A. B.是可能的C. D.11.已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，離心率為，若M，N為上關(guān)于原點對稱的兩點，則（）A.的標準方程為 B.C. D.四邊形的周長隨MN的變化而變化12.已知，，，記.當，中含個6時，所有不同值的個數(shù)記為.下列說法正確的有（）A.若，則B.若，則C.對于任意奇數(shù)，D.對于任意整數(shù)，第II卷主觀題三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.直線被圓截得的弦長為_________.14.2023年杭州亞運會招募志愿者，現(xiàn)從某高校的6名志愿者中任意選出3名，分別擔任語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙2人不能擔任語言服務(wù)工作，則不同的選法共有_________種.15.已知，，，則_________.16.已知點A，B為橢圓上的兩個動點，點O為坐標原點，直線OA與OB的斜率之積為，軸上存在關(guān)于原點對稱的兩點M，N，使得對于線段AB上的任意點P，都有的最小值為定值，則此定值為_________.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟）17.（10分）已知，其中.且展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大.（1）求值及二項式系數(shù)最大項；（2）求的值（用數(shù)值作答）.18.（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成角的余弦值.19.（12分）在某次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，每道燈謎由甲、乙兩名同學輪流一人一次獨立競猜，甲同學猜對概率為0.6，乙同學猜對概率為0.4，假設(shè)猜對每道燈謎都是等可能的，試求：（1）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率；（2）任選2道燈謎，恰好甲猜對了2次乙猜對1次的概率；（3）記20道燈謎猜燈謎活動中，甲猜對的次數(shù)為X，求X的期望.20.（12分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程；（2）已知點，過點的直線交拋物線于兩點，求證：.21．（12分）在政府工作報告指出，要加快建設(shè)創(chuàng)新型國家，把握世界新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革大勢，深入實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，不斷增強經(jīng)濟創(chuàng)新力和競爭力.某手機生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)政府號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，爭創(chuàng)世界名牌.為了對研發(fā)的一批最新款手機進行合理定價，將該款手機按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：單價x（千元）345678銷量y（百件）706562595648（1）若變量，具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量（百件）關(guān)于試銷單價（千元）的線性回歸方程；（2）用（1）中所求的線性回歸方程得到與對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計值.當銷售數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取2個，求“好數(shù)據(jù)”至少有1個的概率.參考數(shù)據(jù)：，（參考公式：線性回歸方程中的估計值分別為，）22.（12分）已知拋物線（）上的點到焦點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）點在拋物線上，直線l與拋物線交于A，B兩點（第一象限），過點A作軸的垂線交于點H，直線AH與直線OT、OB分別交于點M，N（O為坐標原點），且，證明：直線過定點.長春市重點中學2023-2024學年度下學期開學測試高二數(shù)學試題答案參考答案：1.D【分析】寫出每一項的表達式，即可得出的系數(shù).【詳解】由題意，在中，每一項為，當即時，，故選：D.2.A【分析】利用組合和排列數(shù)公式計算【詳解】故選：A3.C【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性可求得的值.【詳解】因為隨機變量，且，則.故選：C.4.D【分析】計算出，代入回歸方程，求出的值.【詳解】由題意得，，則，解得.故選：D.5.B【分析】求得圓心為到直線的距離，求出弦長，計算即可得出結(jié)果.【詳解】因為圓心為到直線的距離為：，所以=所以，即.故選：B6.D【分析】求出直線與軸的交點坐標，從而得到拋物線的焦點坐標，得到答案.【詳解】直線與軸的交點為，所以拋物線的焦點為，故，解得，拋物線的標準方程為.故選：D.7.D【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合雙曲線的定義與性質(zhì)計算即可.【詳解】如圖，取線段的中點，連接，因為，，所以，且，所以，設(shè)，則，所以的離心率.故選：D8.C【分析】對于甲，直接舉反例即可推翻，對于乙，由條件，通過比較和0的大小關(guān)系即可得解，對于丙，直接由三角換元法即可判斷.【詳解】對于甲，曲線上的點關(guān)于直線的對稱點不在曲線上，故甲錯誤；對于乙，若，則，故乙正確；對于丙，用依次分別代替曲線方程中的方程依然成立，故曲線關(guān)于坐標軸以及坐標原點對稱，所以不妨設(shè)，，所以，故丙錯誤；綜上所述，同學提出的結(jié)論正確的有1個.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：判斷乙的關(guān)鍵是由條件，通過比較和0的大小關(guān)系即可順利得解.9.BD【分析】A項，通過相關(guān)系數(shù)的定義即可得出結(jié)論；B項，通過求出即可求出的值；C項，通過比較相關(guān)指數(shù)即可得出哪個模型擬合更好；D項，通過計算即可求出.【詳解】由題意，A項，兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，越小，與之間的相關(guān)性越弱，故A錯誤，對于B，隨機變量服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布概念知若，則，故B正確，對于，在回歸分析中，越接近于1，模型的擬合效果越好，∴為0.98的模型比為0.89的模型擬合的更好故C錯誤，對于，某人在10次答題中，答對題數(shù)為，則數(shù)學期望，故D正確.故選：BD.10.BCD【分析】ACD選項，根據(jù)條件概率公式及概率的性質(zhì)判斷；B選項，舉出例子；【詳解】A選項，及知，A選項錯誤；B選項，當事件A包含事件B時，有，此時，故B選項正確；C選項，由概率的性質(zhì)可知，C正確；D選項，，D正確.故選：BCD11.ABC【分析】對于A，利用已知求出方程即可，對于B，運用橢圓的定義結(jié)合基本不等式‘1’的代換處理即可，對于C，設(shè)出點，求斜率定值即可，對于D，運用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為定值即可.【詳解】由題意得，上頂點為，離心率為，故，，，故C的標準方程為，顯然A正確，連接，由對稱性得，結(jié)合橢圓的定義得，故，當且僅當時取等，故B正確，設(shè)，，而，故，故，，故，故C正確，易知四邊形的周長為，為定值，故D錯誤.故選：ABC12.AC【分析】對于選項A，當時寫出，由，中不含6，根據(jù)題意即可求得；對于選項B，當時寫出，由，，，中含有個6，可得，，解不等式即可；對于選項C，，設(shè)，，由二項式定理求解即可；對于選項D，構(gòu)造二項分布，利用均值求解即可.【詳解】當，，故，A正確；當，，，當時，，解得，B錯誤；，設(shè)，，則，于是，C正確；因為，構(gòu)造二項分布，則，因此，D錯誤.故選：AC.【點睛】方法點睛：本題考查計數(shù)原理、二項式定理、二項分布的均值；根據(jù)題意利用計數(shù)原理得到，根據(jù)二項式定理和二項分布求解.13.6【分析】首先求出圓心到直線的距離，再根據(jù)弦長公式計算可得.【詳解】由圓，可得圓心，半徑.所以圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為.故答案為：6.14.80【分析】應(yīng)用排列組合知識及計數(shù)原理可得答案.【詳解】先從甲、乙之外的4人中選取1人擔任語言服務(wù)工作，再從剩下的5人中選取2人分別擔任人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，則不同的選法共有種.故答案為：80.15.【分析】由全概率公式計算得出結(jié)果.【詳解】由，得，解得.故答案為：.16./【分析】考慮的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)斜率之積為得到為的切線，考慮的斜率不存在時，也滿足要求，利用橢圓定義和幾何性質(zhì)得到最小值，即定值.【詳解】當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)為，與聯(lián)立得，設(shè)，則，則由題意得，化簡得，①因為x軸上存在關(guān)于原點對稱的兩點M，N，使得對于線段上的任意點P，都有的最小值為定值，所以直線為某一個橢圓的一條切線，聯(lián)立與，得，由得，②，比較①②得，解得，故直線為橢圓的切線，當直線的斜率不存在時，設(shè)，則，由可得，，聯(lián)立可得，此時直線的方程為，為橢圓的切線，由橢圓定義和幾何性質(zhì)可知，當且僅當為切點，為的焦點時，等號成立，故此定值為.故答案為：【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.17.（1）（2）3281【分析】（1）根據(jù)題意知最大得出的值，再計算即可；（2）利用賦值法，分別令和，得出兩式，相加即可得出的值.【詳解】（1）因為展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大，即僅有最大，所以，故.即，二項式系數(shù)最大項為第5項：；（2）令，得，令，得.兩式相加可得.18.（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)余弦定理、勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）因為，，所以由余弦定理可得，因此有，即，又因為底面，平面，所以，又因為平面，所以底面，又因為平面，所以；（2）以D為坐標原點，的長為單位長，射線為X軸的正半軸建立空間坐標系，，，設(shè)平面PAB的法向量，則，可取，平面PBC的法向量，則，可取，設(shè)平面PAB與平面PBC所成的角為，則.19.（1）（2）（3）期望為12【分析】（1）設(shè)出事件，得到，，利用求出結(jié)果；（2）根據(jù)獨立重復(fù)性試驗求概率公式求出結(jié)果；（3）判斷出X服從二項分布，代入公式即可.【詳解】（1）設(shè)事件A表示“甲猜對”，事件B表示“乙猜對”，則，，任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率為：；（2）任選2道燈謎，恰好甲猜對了2次，乙猜對1次的概率為：.（3）甲猜對的次數(shù)為，期望為.20.（1）（2）證明見解析【分析】（1）利用拋物線的焦半徑公式，可求得p的值，即得答案；（2）設(shè)出直線CD的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，化簡，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意點為拋物線：的焦點，點在拋物線上，且.得，解得，故拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，，，由，得，，.，，即直線關(guān)于x軸對稱，故.21.（1）；（2）.【分析】（1）利用最小二乘法求出回歸直線.（2）根據(jù)回歸直線分別計算出各個估計值，從而得到好數(shù)據(jù)的個數(shù)，利用古典概型求得結(jié)果.【詳解】（1）依題意，，，而，于是，，所以所求線性回歸方程為.（2）利用（1）中所求的線性回歸方程得：當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，，與銷售數(shù)據(jù)對比知滿足的共有個“好數(shù)據(jù)”：，記個銷售數(shù)據(jù)中的4個“好數(shù)據(jù)”分別為，另兩個數(shù)據(jù)為，從個銷售數(shù)據(jù)中任取個的試驗的樣本空間：，共15個樣本點，“好數(shù)據(jù)