高二數學期中綜合測試題一一．選擇題〔共10小題〕1．〔2015?山東〕當m∈N*，命題“假設m＞0，那么方程x2+x﹣m=0有實根”的逆否命題是〔〕A．假設方程x2+x﹣m=0有實根，那么m＞0B．假設方程x2+x﹣m=0有實根，那么m≤0C．假設方程x2+x﹣m=0沒有實根，那么m＞0D．假設方程x2+x﹣m=0沒有實根，那么m≤02．設數列{an}是公比為q的等比數列，那么“0＜q＜1”是“{an}為遞減數列”的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．數列{an}是等差數列，假設a2+2，a4+4，a6+6構成等比數列，這數列{an}的公差d等于〔〕A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．以下說法中，一定成立的是〔〕A．假設a＞b，c＞d，那么ab＞cd B．假設|a|＜b，那么a+b＞0C．假設a＞b＞0，那么ab＞ba D．假設，那么a＜b5．關于x的不等式〔mx﹣1〕〔x﹣2〕＜0的解為2＜x＜，那么m的取值范圍是〔〕A．m＜ B．m＞0 C．0＜m＜ D．0＜m＜26．△ABC的角A、B、C所對邊的邊為a，b，c，acosA=bcosB，那么該三角形現狀為〔〕A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形7．關于數列3，9，…，2187，…，以下結論正確的選項是〔〕A．此數列不是等差數列，也不是等比數列B．此數列可能是等差數列，也可能是等比數列C．此數列可能是等差數列，但不是等比數列D．此數列不是等差數列，但可能是等比數列8．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一．書中有一道這樣的題：把100個面包分給5個人，使每個人的所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，那么最小一份的量為〔〕A． B． C． D．9．某人要作一個三角形，要求它的三條高的長度分別是，，，那么此人將〔〕A．不能作出滿足要求的三角形 B．作出一個鈍角三角形C．作出一個直角三角形 D．作出一個銳角三角形10．不等式組所表示的平面區域為D，假設直線y=kx﹣3與平面區域D有公共點，那么k的取值范圍是〔〕A．[﹣3，3] B．〔﹣∞，]∪[，+∞〕 C．〔﹣∞，﹣3]∪[3，+∞〕 D．[]二．填空題〔共5小題〕11．〔2015?山東〕假設“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命題，那么實數m的最小值為．12．設Sn為等比數列{an}的前n項和，假設a1=1，且3S1，2S2，S3成等差數列，那么an=．13．某農戶方案種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、本錢和售價如表：年產量/畝年種植本錢/畝每噸售價黃瓜4噸韭菜6噸為使一年的種植總利潤〔總利潤=總銷售收入﹣總種植本錢〕最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積〔單位：畝〕分別為．14．數列{an}滿足a1=1，對所有正整數n≥2都有a1?a2?a3?…?an=n2，那么an=．15．設a，b，c都是正數，且滿足+=1那么使a+b＞c恒成立的c的取值范圍是．三．解答題〔共6小題〕16．命題P：“對任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命題q：“存在x∈R，x2+〔a﹣1〕x+1＜0”假設“p或q”為真，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．17．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且滿足a＜b＜c，b=2asinB．〔1〕求A的大小；〔2〕假設a=2，b=2，求△ABC的面積．18．等差數列{an}為遞增數列，其前三項和為﹣3，前三項的積為8〔1〕求等差數列{an}的通項公式；〔2〕求數列{an}的前n的和Sn．19．解關于x的不等式ax2﹣2〔a+1〕x+4＞0〔a∈R〕20．某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定〔平面圖形如下圖〕，如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計，試設計污水處理池的長與寬，使總造價最低，并求出最低總造價．21．等差數列{an}是遞增數列，且滿足a4?a7=15，a3+a8=8〔1〕求數列{an}的通項公式；〔2〕令bn=，求數列{bn}的前n項和Sn．高二數學期中綜合測試題一答案1-5DDBBC6-10DBCBC12、3n﹣113、30；20．14、．15、〔0，9〕．16、解：由命題p知，x2在[1，2]上的最小值為1，∴p：a≤1；由命題q知，不等式x2+〔a﹣1〕x+1＜0有解，∴△=〔a﹣1〕2﹣4＞0；∴a＞3或a＜﹣1；即q：a＞3，或a＜﹣1；∴假設“p或q”為真，“p且q”為假，那么p，q一真一假；∴；∴﹣1≤a≤1，或a＞3；∴實數a的取值范圍為[﹣1，1]∪〔3，+∞〕．17、解：〔1〕∵b=2asinB，∴由正弦定理化簡得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵a＜b＜c，∴A為銳角，那么A=；〔2〕∵a=2，b=2，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=12+c2﹣2×2×c×，整理得：c2﹣6c+8=0，解得：c=2〔舍去〕或c=4，那么S=bcsinA=×2×4×=2．18、解：〔1〕設等差數列{an}的公差為d，d＞0∵等差數列{an}前三項的和為﹣3，前三項的積為8，∴，∴或，∵d＞0，∴a1=﹣4，d=3，∴an=3n﹣7；〔2〕∵an=3n﹣7，∴a1=3﹣7=﹣4，∴Sn==．19、解：ax2﹣2〔a+1〕x+4＞0?〔ax﹣2〕〔x﹣2〕＞0…〔2分〕〔ⅰ〕a=0時，x﹣2＜0?x∈〔﹣∞，2〕…〔4分〕〔ⅱ〕0＜a＜1時，…〔6分〕〔ⅲ〕a=1時，〔x﹣2〕2＞0?x∈〔﹣∞，2〕∪〔2，+∞〕…〔8分〕〔ⅳ〕a＞1時，…〔10分〕〔ⅴ〕a＜0時，…〔12分〕20、解：設污水處理池的寬為x米，那么長為米．那么總造價f〔x〕=400×〔2x+〕+248×2x+80×162=1296x++12960=1296〔x+〕+12960≥1296×2×+12960=38880〔元〕，當且僅當x=〔x＞0〕，即x=10時，取等號．∴當長為，寬為10米時總造價最低，最低總造價為38880元．解：〔1〕設數列{an}的公差為d〔d＞0〕，由題意得，a4?a7=15，a3+a8=8，那么，又等差數列{an}是遞增數列，那么解得a4=3，a7=5，所以d==，且a4=a1+3d，解得a1=1，那么an=a1+〔n﹣1〕d=；〔2〕由〔1〕得，bn==，所以Sn=+…+，①Sn=+…+，②①﹣②得，=1+2〔〕﹣=1+2×﹣=，所以Sn=2﹣．

2015年10月21日雪狼王的高中數學組卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共10小題〕1．〔2015?山東〕當m∈N*，命題“假設m＞0，那么方程x2+x﹣m=0有實根”的逆否命題是〔〕A．假設方程x2+x﹣m=0有實根，那么m＞0B．假設方程x2+x﹣m=0有實根，那么m≤0C．假設方程x2+x﹣m=0沒有實根，那么m＞0D．假設方程x2+x﹣m=0沒有實根，那么m≤0考點：四種命題間的逆否關系．專題：簡易邏輯．分析：直接利用逆否命題的定義寫出結果判斷選項即可．解答：解：由逆否命題的定義可知：當m∈N*，命題“假設m＞0，那么方程x2+x﹣m=0有實根”的逆否命題是：假設方程x2+x﹣m=0沒有實根，那么m≤0．應選：D．點評：此題考查四種命題的逆否關系，考查根本知識的應用．2．〔2015?馬鞍山二模〕設數列{an}是公比為q的等比數列，那么“0＜q＜1”是“{an}為遞減數列”的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件考點：充要條件．專題：等差數列與等比數列；簡易邏輯．分析：根據等比數列的性質可判斷：當a1＜0時，“0＜q＜1”“{an}為遞增數列”；{an}為遞減數列”，a1＜0時，q＞1，根據充分必要條件的定義可以判斷答案．解答：解：∵數列{an}是公比為q的等比數列，那么“0＜q＜1”，∴當a1＜0時，“{an}為遞增數列”，又∵“0＜q＜1”是“{an}為遞減數列”的既不充分也不必要條件，應選：D點評：此題考察了等比數列的性質，充分必要條件的定義，屬于容易題．3．〔2015?貴州二模〕數列{an}是等差數列，假設a2+2，a4+4，a6+6構成等比數列，這數列{an}的公差d等于〔〕A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2考點：等比數列的通項公式．專題：等差數列與等比數列．分析：由題意可得a4和d的方程，進而可得d的方程，解方程可得．解答：解：由題意a2+2，a4+4，a6+6構成等比數列，∴〔a4+4〕2=〔a2+2〕〔a6+6〕，∴〔a4+4〕2=〔a4﹣2d+2〕〔a4+2d+6〕，∴a42+8a4+16=a42+〔2d+6﹣2d+2〕a4+〔2d+6〕〔﹣2d+2〕，∴a42+8a4+16=a42+8a4+〔2d+6〕〔﹣2d+2〕，∴〔2d+6〕〔﹣2d+2〕=16，解得d=﹣1，應選：B．點評：此題考查等比數列的通項公式和等差數列的通項公式，屬根底題．4．〔2015春?重慶校級期中〕以下說法中，一定成立的是〔〕A．假設a＞b，c＞d，那么ab＞cd B．假設|a|＜b，那么a+b＞0C．假設a＞b＞0，那么ab＞ba D．假設，那么a＜b考點：不等關系與不等式．專題：不等式．分析：通過取特殊值，判斷A，C，D，通過絕對值的性值得到B一定成立．解答：解：對于A，假設a=2，b=1，c=﹣4，d=﹣5，顯然ab＜cd，故A不一定成立；對于B，假設|a|＜b，那么﹣b＜a＜b，故a+b＞0一定成立，對于C，假設a=4，b=3時43=64，34=81，不成立，對于D，當a=1，b=﹣2時，不成立，應選：B．點評：此題考查了不等式的性質，考查了推理能力，屬于根底題5．〔2014秋?柯城區校級期中〕關于x的不等式〔mx﹣1〕〔x﹣2〕＜0的解為2＜x＜，那么m的取值范圍是〔〕A．m＜ B．m＞0 C．0＜m＜ D．0＜m＜2考點：一元二次不等式的解法．專題：不等式的解法及應用．分析：根據一元二次不等式與二次函數之間的關系，可知m＞0，并且對于方程的兩根為，解之即可．解答：解：由關于x的不等式〔mx﹣1〕〔x﹣2〕＜0的解為2＜x＜，可得m＞0并且，解得0＜m＜；應選C．點評：此題考查了一元二次不等式的解法以及三個二次之間的關系，屬于根底題．6．〔2015春?淮南校級期中〕△ABC的角A、B、C所對邊的邊為a，b，c，acosA=bcosB，那么該三角形現狀為〔〕A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形考點：正弦定理．專題：解三角形．分析：acosA=bcosB，利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，利用倍角公式可得sin2A=sin2B，可得2A=2B或2A+2B=π，即可得出．解答：解：∵acosA=bcosB，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，化為A=B或A+B+．∴哎三角形為直角三角形或等腰三角形．應選：D．點評：此題考查了正弦定理、倍角公式、正弦函數的單調性，屬于根底題．7．〔2015春?黃山期末〕關于數列3，9，…，2187，…，以下結論正確的選項是〔〕A．此數列不是等差數列，也不是等比數列B．此數列可能是等差數列，也可能是等比數列C．此數列可能是等差數列，但不是等比數列D．此數列不是等差數列，但可能是等比數列考點：數列的概念及簡單表示法．專題：等差數列與等比數列．分析：根據等差數列、等比數列的性質驗證即得結論．解答：解：一方面∵=729，∴該數列有可能是以首項和公比均為3的等比數列；另一方面∵=363，∴該數列有可能是以首項為3、公差為6的等比數列；應選：B．點評：此題考查等差、等比數列的判定，注意解題方法的積累，屬于根底題．8．〔2015?湖北二模〕《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一．書中有一道這樣的題：把100個面包分給5個人，使每個人的所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，那么最小一份的量為〔〕A． B． C． D．考點：等差數列的通項公式．專題：等差數列與等比數列．分析：易得中間的那份為20個面包，設最小的一份為a1，公差為d，由題意可得a1和d的方程，解方程可得．解答：解：由題意可得中間的那份為20個面包，設最小的一份為a1，公差為d，由題意可得[20+〔a1+3d〕+〔a1+4d〕]×=a1+〔a1+d〕，解得a1=，應選：C．點評：此題考查等差數列的通項公式，屬根底題．9．〔2015春?雙鴨山校級期末〕某人要作一個三角形，要求它的三條高的長度分別是，，，那么此人將〔〕A．不能作出滿足要求的三角形 B．作出一個鈍角三角形C．作出一個直角三角形 D．作出一個銳角三角形考點：余弦定理．專題：解三角形．分析：先設出三邊來，根據面積相等和三條高的長度求得a，b和c的比，進而利用余弦定理求得cosA通過結果小于0判斷出A為鈍角．解答：解：設三邊分別為a，b，c，利用面積相等可知a=b=c，∴a：b：c=13：11：5令a=13，b=11，c=5由余弦定理得cosA=＜0，所以角A為鈍角，應選：B．點評：此題主要考查了余弦定理的應用和三角形形狀的判斷．在判斷三角形的形狀時常可通過判斷三個角的余弦值正負來判斷三角形是否是鈍角三角形．10．〔2015?蘭州一模〕不等式組所表示的平面區域為D，假設直線y=kx﹣3與平面區域D有公共點，那么k的取值范圍是〔〕A．[﹣3，3] B．〔﹣∞，]∪[，+∞〕 C．〔﹣∞，﹣3]∪[3，+∞〕 D．[]考點：簡單線性規劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區域，利用線性規劃的知識即可得到結論．解答：解：作出不等式組對應的平面區域，y=kx﹣3過定點D〔0，﹣3〕，那么kAD=，kBD==﹣3，要使直線y=kx﹣3與平面區域M有公共點，由圖象可知k≥3或k≤﹣3，應選：C點評：此題主要考查線性規劃的應用以及直線斜率的求解，利用數形結合是解決此題的關鍵．二．填空題〔共5小題〕11．〔2015?山東〕假設“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命題，那么實數m的最小值為1．考點：命題的真假判斷與應用．專題：函數的性質及應用；三角函數的圖像與性質．分析：求出正切函數的最大值，即可得到m的范圍．解答：解：“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命題，可得tanx≤1，所以，m≥1，實數m的最小值為：1．故答案為：1．點評：此題考查函數的最值的應用，命題的真假的應用，考查計算能力．12．〔2015?湖南〕設Sn為等比數列{an}的前n項和，假設a1=1，且3S1，2S2，S3成等差數列，那么an=3n﹣1．考點：等差數列與等比數列的綜合．專題：等差數列與等比數列．分析：利用條件列出方程求出公比，然后求解等比數列的通項公式．解答：解：設等比數列的公比為q，Sn為等比數列{an}的前n項和，假設a1=1，且3S1，2S2，S3成等差數列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4〔1+q〕=1+q+q2+3，q=3．∴an=3n﹣1．故答案為：3n﹣1．點評：此題考查等差數列以及等比數列的應用，根本知識的考查．13．〔2015?武侯區校級模擬〕某農戶方案種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、本錢和售價如表：年產量/畝年種植本錢/畝每噸售價黃瓜4噸韭菜6噸為使一年的種植總利潤〔總利潤=總銷售收入﹣總種植本錢〕最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積〔單位：畝〕分別為30；20．考點：簡單線性規劃的應用．專題：不等式的解法及應用．分析：設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x，y畝，總利潤z萬元，求出目標函數，以及線性約束條件，利用線性規劃求出結果即可．解答：解：設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x，y畝，總利潤z萬元，線性約束條件為即做出可行域，求得A〔0，50〕，B〔30，20〕，C〔0，45〕，平移直線z=x+0.9y，可知直線z=x+0.9y，經過點B〔30，20〕，即x=30，y=20時，z取得最大值．故答案為：點評：此題考查線性規劃的簡單應用，考查分析問題解決問題的能力．14．〔2015春?上饒期末〕數列{an}滿足a1=1，對所有正整數n≥2都有a1?a2?a3?…?an=n2，那么an=．考點：數列遞推式．專題：點列、遞歸數列與數學歸納法．分析：在原數列遞推式中，取n=n﹣1得另一遞推式，作商后求得數列的通項公式．解答：解：由a1?a2?a3?…?an=n2，得a1?a2?a3?…?an﹣1=〔n﹣1〕2〔n≥2〕，兩式作商得：〔n≥2〕，∴．故答案為：11、112、3n﹣113、30；20．14、．點評：此題考查數列遞推式，考查了由數列遞推式求數列的通項公式，屬根底題．15．〔2015?安康二模〕設a，b，c都是正數，且滿足+=1那么使a+b＞c恒成立的c的取值范圍是〔0，9〕．考點：根本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：由題意得〔a+b〕〔+〕=1+4++，利用根本不等式的性質即可得出．解答：解：∵a，b，c都是正數，且滿足+=1，∴〔a+b〕〔+〕=1+4++≥5+2=5+4=9，且僅當a=3，b=6時取等號．∵a+b＞c恒成立，且c＞0．∴0＜c＜9．故答案為：點評：此題考查了根本不等式的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．三．解答題〔共6小題〕16．〔2014秋?西陵區校級期末〕命題P：“對任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命題q：“存在x∈R，x2+〔a﹣1〕x+1＜0”假設“p或q”為真，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．考點：復合命題的真假．專題：簡易邏輯．分析：根據二次函數的最值，一元二次不等式解的情況和判別式△的關系即可求出p：a≤1，q：a＜﹣1，或a＞3，而根據“p或q”為真，“p且q”為假知道p真q假，或p假q真兩種情況，所以求出每種情況的a的取值范圍并求并集即可．解答：解：由命題p知，x2在[1，2]上的最小值為1，∴p：a≤1；由命題q知，不等式x2+〔a﹣1〕x+1＜0有解，∴△=〔a﹣1〕2﹣4＞0；∴a＞3或a＜﹣1；即q：a＞3，或a＜﹣1；∴假設“p或q”為真，“p且q”為假，那么p，q一真一假；∴；∴﹣1≤a≤1，或a＞3；∴實數a的取值范圍為[﹣1，1]∪〔3，+∞〕．點評：考查二次函數在閉區間上的最值，一元二次不等式解的情況和判別式△的關系，以及p或q，p且q的真假和p，q真假的關系．17．〔2015?松江區一模〕在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且滿足a＜b＜c，b=2asinB．〔1〕求A的大小；〔2〕假設a=2，b=2，求△ABC的面積．考點：余弦定理；正弦定理．專題：解三角形．分析：〔1〕等式利用正弦定理化簡，根據sinB不為0求出sinA的值，根據A為銳角求出A的度數即可；〔2〕由a，b，cosA的值，利用余弦定理求出c的值，根據b，c，sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．解答：解：〔1〕∵b=2asinB，∴由正弦定理化簡得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵a＜b＜c，∴A為銳角，那么A=；〔2〕∵a=2，b=2，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=12+c2﹣2×2×c×，整理得：c2﹣6c+8=0，解得：c=2〔舍去〕或c=4，那么S=bcsinA=×2×4×=2．點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解此題的關鍵．18．〔2015春?大慶校級月考〕等差數列{an}為遞增數列，其前三項和為﹣3，前三項的積為8〔1〕求等差數列{an}的通項公式；〔2〕求數列{an}的前n的和Sn．考點：等差數列的前n項和；等差數列的通項公式．專題：等差數列與等比數列．分析：〔1〕設等差數列{an}的公差為d，〔d＞0〕，根據條件，建立方程組，解方程組可得a1、d，進而可得通項公式；〔2〕利用等差數列的求和公式可得結論．解答：解：〔1〕設等差數列{an}的公差為d，d＞0∵等差數列{an}前三項的和為﹣3，前三項的積為8，∴，∴或，∵d＞0，∴a1=﹣4，d=3，∴an=3n﹣7；〔2〕∵an=3n﹣7，∴a1=3﹣7=﹣4，∴Sn==．點評：此題考查等差數列的前n項和公式和通項公式，正確運用公式是關鍵．考查學生的計算能力．19．〔2014?芙蓉區校級模擬〕解關于x的不等式ax2﹣2〔a+1〕x+4＞0〔a∈R〕考點：一元二次不等式的解法．專題：不等式的解法及應用．分析：對a分類：a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1，分別解不等式即可．解答：解：ax2﹣2〔a+1〕x+4＞0?〔ax﹣2〕〔x﹣2〕＞0…〔2分〕〔ⅰ〕a=0時，x﹣2＜0?x∈〔﹣∞，2〕…〔4分〕〔ⅱ〕0＜a＜1時，…〔6分〕〔ⅲ〕a=1時，〔x﹣2〕2＞0?x∈〔﹣∞，2〕∪〔2，+∞〕…〔8分〕〔ⅳ〕a＞1時，…〔