第二章一元二次函數、方程和不等式第11課時不等關系和不等式例1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎？（1)某路段限速;（2)某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量應不少于,蛋白質的含量應不少于;（3)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（4)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；（5)火車站售票處規定，身高不足的兒童免票，身高的兒童買半價票，身高超過的兒童買全價票.]解:(1)設該路段汽車行駛速度為,則.(2)由題意知(3)設三角形三邊長分別為，則，(4)如圖,設是線段外任意一點,于點，是線段上不同于的任意一點,則.（5）如下表：文字表述身高不足身高身高超過符號表示票價免票半價票全票價例2（1)某航空公司某航班票價為元／人，可以賣出去座，據市場調查，若票價提高,銷售量會減少座，若提價后票價為元，請表示出提價后銷售總收入不低于萬元的不等關系；（2)某旅行團國慶出境游，機票總開支為美元，可網購普通機票（美元／張）和國慶特惠機票（美元／張），由于特惠機票有限，普通機票數不能超過特惠機票數的倍，寫出滿足上述關系的不等式.解:（1）.(2)設單價200美元的機票買張,單價80美元的機票買張,可列表如下.項目機票機票限制條件數量/張不能超過的3倍金額/美元不超過滿足上述關系的不等式組為.例3圖1是在北京召開的第屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如圖2,在正方形中，有四個全等的直角三角形，設直角三角形的兩條直角邊的長為,試用分別表示正方形的面積與4個直角三角形面積之和.與之間有怎樣的大小關系？并加以證明.圖1圖2解:，.由局部與整體的關系知，即，當且僅當，即直角三角形為等腰直角三角形時,等號成立.由此得到重要定理:如果,那么，當且僅當時取等號.證明：，當時,，當時,，所以.這個定理的適用范圍是,取等號的條件是.例4已知克糖水中有克糖,再添上克糖(假設全部溶解），糖水就變甜了.請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立.解：因為加糖后糖水變甜，即糖水的濃度變大，所以，其中.下面用作差比較法進行證明.,即.變式1已知克糖水中有克糖,現加入克水,糖水就變淡了，請將這一事實表示為一個不等式.提示：不等式為.變式2建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于,并且這個比值越大，住宅的采光條件越好.若同時增加相等的窗戶面積和地板面積，則住宅的采光條件是變好了還是變壞了？提示：變好了.【知能遷移】某鋼鐵廠要把長度為的鋼管截成和的兩種鋼管，按照生產的要求，鋼管的數量不能超過鋼管的倍.（1)寫出滿足上述所有不等關系的不等式組；（2)求不等式組的所有可能的結果個數.【思維啟迪】設出變量，將文字語言轉化為數學符號.解:(1)假設截得的鋼管根,截得的鋼管根.根據題意,應有以下不等關系:第一,截得兩種鋼管的總長度不能超過;第二,截得鋼管的數量不能超過鋼管數量的倍;第三,截得兩種鋼管的數量均為非負整數.由以上不等關系，可得不等式組(2)若,則;若,則;若,則;若,則;若,則;若,則.故不等式組的所有可能的結果個數為.基礎訓練一、選擇題1.鐵路旅行規定：每名旅客免費攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過,設攜帶品的外部尺寸長、寬、高分別為（單位），這個規定用數學關系式表示為.A．B.C.D.C解:之和不超過,即為.2.有一件商品若在本月初出售，可獲利元，然后將本利存入銀行（已知銀行月息為）；若在下月初出售，可獲利元,但要付元保管費.則.A.本月出售利獲利大B.下月初出售獲利大C.本月初出售獲利與下月初出售獲利相同D.本月初出售獲利與下月初出售獲利大小不能確定D解:設商品本金為元,若本月初出售,則到下月初共獲利，下月初出售獲利元,故不確定.3.如果一輛汽車每天行駛的路程比原來多,那么在8天內它的行程就超過；如果它每天行駛的路程比原來少,那么它行駛同樣的路程就得花9天以上.這輛汽車原來每天行駛的路程滿足.A.B.C.D.A解：，解得.4.某地每年消耗木材約20萬立方米，每立方米售價元，為了減少木材消耗，決定按征收木材稅，這樣每年的木材消耗量減少萬立方米，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于萬元，則的取值范圍是.A.B.C.D.C解:,解得.5.某三岔路口交通環島的簡化模型如圖，在某高峰時段，單位時間進出路口的機動車輛數如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段，，的機動車輛數（假設單位時間內在上述路段中，同一段駛入與駛出的車輛數相等），則.A.B.C.D.C解:，,,故.二、填空題6.某家庭（一家三口）準備利用假期到某地旅游，有甲、乙兩家旅行社提供兩種優惠方案.甲旅行社的方案是：如果戶主買全價票一張，其余人可享受五五折優惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集體票，每人都可按七五折優惠.如果兩家旅行社的原價相同，則選擇旅行社比較合算.甲解:設全價票價格為元,則甲方案需元,乙方案需元.7.某產品的總成本（單位：萬元）與產量（單位：臺）之間有函數關系式，其中，若每臺產品售價25萬，要使生產者不虧本，則產品要滿足的關系：.解:.8.用一批長為的條形鋼材截成長為和兩種規格的零件毛坯，若要使余下的廢料最少，則材料的利用率是.（利用率零件毛坯的總長/鋼材總長）.解:設分別截成長為、的零件毛坯根、根,則,,則,,當時，余;當時，余;當)時,余;當時,余故當時最大利用率為.三、解答題9.你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎？（1）某隧道入口豎著“限高”的警示標志；（2）與的差是非負數；（3）如圖，平面外一點到平面的距離是點與平面上任意一點的距離中最短的；（4）某商店的食用碘鹽以單價1元銷售，可以賣出2500袋，根據市場調查，若單價每提升元，銷售量就會減少50袋，若把提價后食用碘鹽的單價設為元，則銷售的總收入不低于元.解:(1)設車載貨物高度為,則.(2).(3).（4）10.汽車在行駛過程中，由于慣性作用，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停住，這段距離就是剎車距離.剎車距離是分析事故的一個重要因素.在一個限速千米/時的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對時，同時剎車，但還是相撞了.事故后，現場測得甲車的剎車距離略超過12米，乙車的剎車距離略超過10米，又已知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速之間有如下關系：，，問超速的是誰？解:由題意有，由①解得或,由②解得或，所以乙車超速.能力提高11.古希臘時期，人們認為最美的人體的頭頂至肚臍的長度至足底的長度之比是（，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”（如圖）便是如此.此外，最美的人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是.A.B.C.D.B解法1:設頭頂處為點,咽喉處為點,脖子下端處為點,肚臍處為點,腿根處為點,足底處為,，,根據題意可知,故.又，，故.所以身高,將代人可得.根據腿長為,頭頂至脖子下端的長度為可得,,即，，將代人可得,所以.解法2:由于頭頂至咽喉的長度與頭頂至脖子下端的長度極為接近,故頭頂至脖子下端的長度可估值為頭頂至咽喉的長度;根據人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是可計算出咽喉至肚臍的長