第二章2.2請同學們認真完成練案[6]A級基礎鞏固一、選擇題1．命題“三角形中最多只有一個內角是直角”的結論的否定是(C)A．有兩個內角是直角 B．有三個內角是直角C．至少有兩個內角是直角 D．沒有一個內角是直角[解析]“最多只有一個”的含義是“有且僅有一個或者沒有”，因此它的反面應是“至少有兩個”．2．如果兩個數之和為正數，則這兩個數(D)A．一個是正數，一個是負數 B．都是正數C．不可能有負數 D．至少有一個是正數[解析]兩個數的和為正數，可以是一正一負，也可以是一正一為0，還可以是兩正，但不可能是兩負．3．否定“自然數a、b、c中恰有一個偶數”的正確反設為(D)A．自然數a、b、c都是奇數B．自然數a、b、c都是偶數C．自然數a、b、c中至少有兩個偶數D．自然數a、b、c中或都是奇數或至少有兩個偶數[解析]恰有一個偶數的否定有兩種情況，其一是無偶數(全為奇數)，其二是至少有兩個偶數．4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的是(B)A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(3) D．abc(a＋b＋c)≤eq\f(1,3)[解析]∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2≥3．5．用反證法證明命題：“若正系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至多有兩個是奇數”時，下列假設中正確的是(A)A．假設a，b，c都是奇數B．假設a，b，c至少有兩個是奇數C．假設a，b，c至多有一個是奇數D．假設a，b，c不都是奇數[解析]由于用反證法證明數學命題時，應先把要證的結論進行否定，得到要證的結論的反面，而命題：“a，b，c中至多有兩個是奇數”的否定為：“a，b，c中全是奇數”，故選A．6．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩名是對的，則獲獎的歌手是(C)A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]若甲獲獎，則甲、乙、丙、丁說的都是錯的，同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況，最后可知獲獎的歌手是丙．二、填空題7．設實數a、b、c滿足a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個數不小于__eq\f(1,3)__．[解析]假設a、b、c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c＜1，故a、b、c中至少有一個數不小于eq\f(1,3)．8．和兩條異面直線AB、CD都相交的兩條直線AC、BD的位置關系是__異面__．[解析]假設AC與BD共面于平面α，則A、C、B、D都在平面α內，∴AB?α，CD?α，這與AB、CD異面相矛盾，故AC與BD異面．三、解答題9．已知三個正數a，b，c成等比數列，但不成等差數列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數列．[解析]假設eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b．而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，則有a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)．即(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0．所以eq\r(a)＝eq\r(c)，從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數列．B級素養提升一、選擇題1．用反證法證明命題“設a、b為實數，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是(A)A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根[解析]至少有一個實根的否定為：沒有實根．2．設a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是“P、Q、R同時大于零”的(C)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[解析]若P>0，Q>0，R>0，則必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因為當PQR>0時，若P、Q、R不同時大于零，則P、Q、R中必有兩個負數，一個正數，不妨設P＜0，Q＜0，R>0，即a＋b＜c，b＋c＜a，兩式相加得b＜0，這與已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0．3．(多選題)下列命題適合用反證法證明的是(ABD)A．同一平面內，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交B．兩個不相等的角不是對頂角C．平行四邊形的對角線互相平分D．已知x、y∈R，且x＋y>2，求證：x、y中至少有一個大于1[解析]A中命題條件較少，不易正面證明；B中命題是否定性命題，其反設是顯而易見的定理；D中命題是至少性命題，其結論包含兩種情況，而反設只有一種情況，適合用反證法證明，故選ABD．4．(多選題)“已知函數f(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，求證：|f(1)|與|f(2)|中至少有一個不小于eq\f(1,2).”用反證法證明這個命題時，下列假設不正確的是(ACD)A．假設|f(1)|≥eq\f(1,2)且|f(2)|≥eq\f(1,2)B．假設|f(x)|＜eq\f(1,2)且|f(2)|＜eq\f(1,2)C．假設|f(1)|與|f(2)|中至多有一個不小于eq\f(1,2)D．假設|f(1)|與|f(2)|中至少有一個不大于eq\f(1,2)[解析]由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設其否定成立進行推證．假設|f(1)|＜eq\f(1,2)且|f(2)|＜eq\f(1,2)，故選ACD．二、填空題5．命題“x，y是實數，若(x－3)2＋eq\r(y－2)＝0，則x＝3且y＝2”用反證法證明時應假設為__x≠3或y≠2__．[解析]“x＝3且y＝2”的否定為“x≠3或y≠2”．6．已知f(x)＝x2－mx＋3－m，若在區間[1,2]內至少存在一點c，使f(c)>0，則m的取值范圍為__(－∞，2)__．[解析]由f(1)≤0且f(2)≤0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－2m≤0,7－3m≤0))，∴m≥2，∴若在區間[1,2]內至少存在一點c，使f(c)>0，則m的取值范圍為m＜2．三、解答題7．已知函數f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．用反證法證明：方程f(x)＝0沒有負數根．[解析]假設x0為方程f(x)＝0的負根，則有ax0＋eq\f(x0－2,x0＋1)＝0，即ax0＝eq\f(2－x0,x0＋1)＝eq\f(3－1＋x0,x0＋1)＝－1＋eq\f(3,x0＋1)，顯然x0≠－1．1°當0>x0>－1時，1>x0＋1>0，eq\f(3,1＋x0)>3，－1＋eq\f(3,1＋x0)>2．而eq\f(1,a)＜ax0＜1，這是不可能的，即不存在0>x0>－1的解．2°當x0＜－1時，x0＋1＜0，eq\f(3,1＋x0)＜0，－1＋eq\f(3,1＋x0)＜－1．而ax0>0，矛盾，即不存在x0＜－1的解．綜上所述方程f(x)＝0沒有負數根．8．用反證法證明：已知a、b均為有理數，且eq\r(a)和eq\r(b)都是無理數，求證：eq\r(a)＋eq\r(b)是無理數．[解析]解法一：假設eq\r(a)＋eq\r(b)為有理數，令eq\r(a)＋eq\r(b)＝t，則eq\r(b)＝t－eq\r(a)，兩邊平方，得b＝t2－2teq\r(a)＋a，∴eq\r(a)＝eq\f(t2＋a－b,2t)．∵a、b、t均為有理數，∴eq\f(t2＋a－b,2t)也是有理數．即eq\r(a)為有理數，這與已知eq\r(a)為無理數矛盾．故假設不成立．∴eq\r(a)＋eq\r(b)一定是無理數．解法二：假設eq\r(a)＋eq\r(b)為有理數，則(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))＝a－b．由a>0，b>0，得eq\r(a)＋eq\r(b)>0．∴eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\f(a－b,\r(a)＋\r(b))．