3．用DFT進行譜分析的誤差問題

DFT(實際中用FFT計算)可用來對連續(xù)信號和數(shù)字信號進行譜分析。在實際分析過程中，要對連續(xù)信號采樣和截斷，有些非時限數(shù)據(jù)序列也要截斷，由此可能引起分析誤差。下面分別對可能產(chǎn)生誤差的三種現(xiàn)象進行討論。(1)混疊現(xiàn)象

對連續(xù)信號進行譜分析時，首先要對其采樣，變成時域離散信號后才能用DFT(FFT)進行譜分析。

采樣頻率Fs必須滿足采樣定理，否則會在ω=π（對應模擬頻率f=Fs/2）附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。這時用DFT分析的結(jié)果必然在f=Fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。因此，理論上必須滿足Fs≥2fc(fc為連續(xù)信號的最高頻率)。對Fs確定的情況，一般在采樣前進行預濾波，濾除高于折疊頻率Fs/2的頻率成分，以免發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。

(2)柵欄效應

我們知道，N點DFT是在頻率區(qū)間［0，2π］上對時域離散信號的頻譜進行N點等間隔采樣，而采樣點之間的頻譜函數(shù)是看不到的。這就好像從N個柵欄縫隙中觀看信號的頻譜情況，僅得到N個縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。因此稱這種現(xiàn)象為柵欄效應。由于柵欄效應，有可能漏掉(擋住)大的頻譜分量。解決辦法：對有限長序列，可以在原序列尾部補零；對無限長序列，可以增大截取長度及DFT變換區(qū)間長度，從而使頻域采樣間隔變小，增加頻域采樣點數(shù)和采樣點位置，使原來漏掉的某些頻譜分量被檢測出來。對連續(xù)信號的譜分析，只要采樣速率Fs足夠高，且采樣點數(shù)滿足頻率分辨率要求(見(3.4.14)式)，就可以認為DFT后所得離散譜的包絡近似代表原信號的頻譜。(3)截斷效應

實際中遇到的序列x(n)可能是無限長的，用DFT對其進行譜分析時，必須將其截短，形成有限長序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)稱為窗函數(shù)，長度為N。w(n)=RN(n),稱為矩形窗函數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有其中對矩形窗數(shù)w(n)=RN(n)，有幅度譜Wg(ω)~ω曲線如圖3.4.12所示(Wg(ω)以2π為周期，只畫低頻部分)。圖中，|ω|<2π/N的部分稱為主瓣，其余部分稱為旁瓣。

圖3.4.12矩形窗的幅度譜例如，x(n)=cos(ω0n)，ω0=π/4,其頻譜為x(n)的頻譜X(ejω)如圖3.4.13(a)所示。將x(n)截斷后，y(n)=x(n)RN（n)的幅頻曲線如圖3.4.13(b)所示。

圖3.4.13x(n)=cos(ω0n)加矩形窗前、后的幅頻特性由上述可見，截斷后序列的頻譜Y(ejω)與原序列頻譜X(ejω)必然有差別，這種差別對譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個方面：

(1)泄露。由圖3.4.13(b)可知，原來序列x(n)的頻譜是離散譜線，經(jīng)截斷后，使原來的離散譜線向附近展寬，通常稱這種展寬為泄露。顯然，泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低。從圖3.4.13可以看出，頻譜泄露程度與窗函數(shù)幅度譜的主瓣寬度直接相關，在第7章將證明，在所有的窗函數(shù)中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。

(2)譜間干擾。在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾(簡稱譜間干擾)，特別是強信號譜的旁瓣可能湮沒弱信號的主譜線，或者把強信號譜的旁瓣誤認為是另一頻率的信號的譜線，從而造成假信號，這樣就會使譜分析產(chǎn)生較大偏差。

由于上述兩種影響是由對信號截斷引起的，因此稱之為截斷效應。由圖3.4.12可以看出，增加N可使Wg(ω)的主瓣變窄，減小泄露，提高頻率分辨率，但旁瓣的相對幅度并不減小。為了減小譜間干擾，應用其它形狀的窗函數(shù)w(n)代替矩形窗(窗函數(shù)將在FIR數(shù)字濾波其設計中介紹)。但在N一定時，旁瓣幅度越小的窗函數(shù)，其主瓣就越寬。所以，在DFT變換區(qū)間(即截取長度)N一定時，只能以降低譜分析分辨率為代價，換取譜間干擾的減小。通過進一步學習數(shù)字信號處理的功率譜估計等現(xiàn)代譜估計內(nèi)容可知，減小截斷效應的最好方法是用近代譜估計的方法。但譜估計只適用于不需要相位信息的譜分析場合。

最后要說明的是，柵欄效應與頻率分辨率是不同的兩個概念。如果截取長度為N的一段數(shù)據(jù)序列，則可以在其后面補N個零，再進行2N點DFT，使柵欄寬度減半，從而減輕了柵欄效應。但是這種截短后補零的方法不能提高頻率分辨率。因為